1、- 1 - 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三） 一、选择题 ： 18小题 ， 每小题 4分 ， 共 32分 .下列每题给出的四个选项中 ， 只有一个选项符合题目要求的 ， 请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 . (1) 设 nx 是数列 ,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若 lim nn xa,则 2 2 1lim lim nnnnx x a(B) 若2 2 1lim lim nnnnx x a, 则 lim nn xa(C) 若 lim nn xa,则 3 3 1lim lim nnnnx x a(D) 若3 3 1lim lim nnnnx x a,则 lim n
2、n xa(2) 设函数 fx在 , 内连续 ,其 2 阶导函数 fx 的图形如右图所示 ,则曲线 y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 设 2 2 2 2, 2 , 2 D x y x y x x y y, 函数 ,fxy 在 D 上连续 , 则 , d dD f x y x y ( ) (A) 2 c o s 2 s i n420 0 04d c o s , s i n d d c o s , s i n df r r r r f r r r r (B) 2 s i n 2 c o s0 0 04d c o s , s i n d d c
3、o s , s i n df r r r r f r r r r (C) 210 1 12 d , dx xx f x y y (D) 21202 d , dxxxx f x y y (4) 下列级数中发散的是 ( ) (A) 13nnn(B) 111ln(1 )n nn (C) 2( 1) 1lnnn n (D) 1!nnnn- 2 - (5) 设矩阵21 1 11214aaA ,21ddb .若集合 1,2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) ,ad (B) ,ad (C) ,ad (D) ,ad (6) 设二次型 1 2 3,f x x x 在正交变换
4、x Py 下的标准形为 2 2 21 2 32y y y，其中1 2 3( , , )P e e e ，若 1 3 2( , , )Q e e e 则 1 2 3( , , )f x x x 在正交变换 x Qy 下的标准形为( ) (A) 2 2 21 2 32y y y (B) 2 2 21 2 32y y y (C) 2221 2 32yyy (D) 2221 2 32yyy (7) 若 ,AB为任意两个随机事件 ， 则 ： ( ) (A) P AB P A P B (B) P AB P A P B (C) 2 P A P BP A B (D) 2 P A P BP A B (8) 设总
5、体 , ,X B m 12, , , nX X X 为来自该总体的简单随机样本 ， X 为样本均值 ，则 21niiE X X ( ) (A) 11mn (B) 11mn (C) 1 1 1 mn (D) 1mn 二、填空题： 914小题 ， 每小题 4分 ， 共 24分 .请将答案写在 答题纸 指定位置上 . (9) 20 ln ( c o s )lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .x xx (10) 设函数 ()fx连续， 20( ) ( )d ,xx xf t t 若 (1) 1, (1) 5,则 (1) _ .f (11) 若函数 ( , )z z x y 由方程 23e
6、1x y z xyz 确定，则 ( 0 ,0 )d _ _ _ _ _ _ _ _ _ .z - 3 - (12) 设函数 ()y yx 是微分方程 20y y y 的解，且在 0x 处取得极值 3，则( ) _ .yx (13) 设 3阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， 2 , B A A E其中 E为 3阶单位矩阵，则行列式 _ .B (14) 设二维随机变量 ( , )XY 服从正态分布 (1,0;1,1;0)N ，则 0 _ .P XY Y 三、解答题： 15 23 小题 ， 共 94 分 . 请将解答写在 答题纸 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (1
7、5)(本题满分 10 分 ) 设函数 3( ) l n ( 1 ) s i n , ( )f x x a x b x x g x c k x .若 ()fx与 ()gx在 0x 时是等价无穷小，求 ,abk 的值 . (16)(本题满分 10 分 ) 计算二重积分 ( )d dD x x y x y，其中 2 2 2 ( , ) 2 , .D x y x y y x (17)(本题满分 10分 ) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 Q 为该商品的需求量，P 为价格， MC为边际成本， 为需求弹性 ( 0) . (I) 证明定价模型为11MCP ； (II) 若该商品的成
8、本函数为 2( ) 1600C Q Q，需求函数为 40QP，试由（ I）中的定价模型确定此商品的价格 . (18)(本题满分 10 分 ) 设函数 ()fx在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0xI ，曲线 ()y f x 在点00( , ( )x f x 处的切线与直线 0xx 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 (0) 2f ，求 ()fx表达式 . - 4 - (19)(本题满分 10分 ) （ I）设函数 ( ), ( )ux vx 可导，利用导数定义证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;u x v x u x v x u x v x （ II）设函数 1
9、2( ), ( ), , ( )nu x u x u x可导， 12( ) ( ) ( ) ( )nf x u x u x u x ，写出 ()fx的求导公式 . (20) (本题满分 11 分 ) 设矩阵 101101aaaA= ，且 3AO. (I) 求 a 的值； (II)若矩阵 X 满足 22 X X A A X A X A E，其中 E 为 3阶单位矩阵，求 X . (21) (本题满分 11 分 ) 设矩阵 0 2 31 3 312 a A 相似于矩阵1 2 0000 3 1bB= . (I) 求 ,ab的值； (II) 求可逆矩阵 P ，使 1PAP 为对角矩阵 . (22) (本题满分 11 分 ) 设随机变量 X 的概率密度为 2 ln 2 , 00 , 0x xfxx ,对 X 进行独立重复的观测 ,直到第 2个大于 3的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 (I)求 Y 的概率分布； (II)求 ()EY . (23) (本题满分 11 分 ) 设总体 X 的概率密度为 , 1 ,( , ),xfx 110 其 他 ,其中 为未知参数，12 nX , X , , X为来自该总体的简单随机样本 . (I)求 的矩估计量； (II)求 的最大似然估计量 .
