1、心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 1必修二 第二章综合检测题时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是( )A相交 B平行 C异面 D平行或异面2平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A3 B4 C5 D63已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交 C垂直 D异面4长方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 AB， A1D1所成的
2、角等于( )A30 B45 C60 D905对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )A a ， b B a ， b C a ， b D a ， b 6下面四个命题：若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面；若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交；若 ab ，则 a， b 与 c 所成的角相等；若 a b， b c，则 ac . 其中真命题的个数为( )A4 B3 C2 D17在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是线段 A1B1， B1C1上的不与端点重合的动点，如果 A1E B1F，有下面四个结论： EF AA1
3、； EFAC ； EF 与 AC 异面； EF 平面 ABCD. 其中一定正确的有( )A B C D8设 a， b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A若 a， b 与 所成的角相等，则 abB若 a ， b ， ，则 abC若 a ， b ， ab ，则 D若 a ， b ， ，则 a b9已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 ABl ，直线 AC l，直线m ， n ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ABm B AC m C AB D AC 10已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别为 BB1、 CC1的
4、中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )A B. C. D45 35 34 35心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 211已知三棱锥 D ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB AC ， BC2，则以 BC 为棱，以3面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为( )A. B. C0 D33 13 1212如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA平面 ABCD， PA AB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90 B60 C45 D30二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)13下列图形可用符号表示为_1
5、4正方体 ABCD A1B1C1D1中，二面角 C1 AB C 的平面角等于_15设平面 平面 ， A， C ， B， D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间， AS8， BS6， CS12，则 SD_.16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C，有如下四个结论： AC BD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 成 60的角； AB 与 CD 所成的角是 60； 其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17/(10 分)如下图，在三棱柱 ABC A1B1C1中
6、， ABC 与 A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC， F、 F1分别是 AC， A1C1的中点求证：(1)平面 AB1F1 平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 3充分条件18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面ABCD， AB4， BC3， AD5， DAB ABC90， E 是 CD 的中点(1)证明： CD平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四
7、棱锥 P ABCD的体积19(12 分)如图所示，边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 4BC2 ， M 为 BC 的中点2(1)证明： AM PM；(2)求二面角 P AM D 的大小20(本小题满分 12 分)如图，棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1C A1B.(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B 平面 B1CD，求 A1D DC1的值心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 521(12 分)如图， ABC 中， AC BC AB， A
8、BED 是边长为 1 的正方形，平面 ABED22底面 ABC，若 G， F 分别是 EC， BD 的中点(1)求证： GF 底面 ABC；(2)求证： AC平面 EBC；(3)求几何体 ADEBC 的体积 V.分析 (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)转化为证明 AC 垂直于平面 EBC 内的两条相交直线 BC 和 BE；(3)几何体 ADEBC 是四棱锥 C ABED.22(12 分)如下图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC3， BC4， AB5， AA14，心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 6点 D 是 AB 的中点(1)求证： AC
9、BC1；(2)求证： AC1 平面 CDB1；(3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 7必修二 第二章综合检测题详解答案1答案 D2答案 C解析 AB 与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1相交的有： CD、 C1D1与 CC1平行且与 AB 相交的有： BB1、 AA1，第二类与两者都相交的只有 BC，故共有 5 条3答案 C解析 1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3l 时，在 内不存在直线与
10、l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直4答案 D解析 由于 ADA 1D1，则 BAD 是异面直线 AB， A1D1所成的角，很明显 BAD90.5答案 B解析 对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时，A 错误；对于选项 B，若 a， b 不相交，则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使 a ， b ，B 正确；对于选项 C， a ， b ，一定有 ab ，C 错误；对于选项 D， a ， b ，一定有 a b，D 错误6答案 D解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内， ac ，而在空间中， a 与 c 可以平行，可以相交，也可
11、以异面，故错误7答案 D解析 如图所示由于 AA1平面 A1B1C1D1， EF平面 A1B1C1D1，则 EF AA1，所以正确；当 E， F 分别是线段 A1B1， B1C1的中点时， EFA 1C1，又 ACA 1C1，则 EFAC ，所以不正确；当 E， F 分别不是线段 A1B1， B1C1的中点时， EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1 平面 ABCD， EF平面 A1B1C1D1，所以 EF 平面 ABCD，所以正确8答案 D；解析 选项 A 中， a， b 还可能相交或异面，所以 A 是假命题；选项 B中， a， b 还可能相交或异面，所以 B 是假命题
12、；选项 C 中， ， 还可能相交，所以 C 是假命题；选项 D 中，由于 a ， ，则 a 或 a ，则 内存在直线 la ，又b ，则 b l，所以 a b.心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 89答案 C解析 如图所示：ABlm ； AC l， ml AC m； ABl AB .10答案 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用35解析 首先根据已知条件，连接 DF，然后则角 DFD1即为异面直线所成的角，设边长为 2，则可以求解得到 DF D1F， DD12，结合余弦定理得到结论511答案 C解析 取 BC 中点 E，连 AE、 DE，可证 BC AE， BC D
13、E， AED 为二面角 A BC D的平面角又 AE ED ， AD2， AED90，故选 C.212答案 B解析 将其还原成正方体 ABCD PQRS，显见 PBSC ， ACS 为正三角形， ACS60.13答案 AB14答案 45解析 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中，由于 BC AB， BC1 AB，则 C1BC 是二面角 C1 AB C 的平面角又 BCC1是等腰直角三角形，则 C1BC45.15答案 9解析 如下图所示，连接 AC， BD，心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 9则直线 AB， CD 确定一个平面 ACBD. ， ACBD ，则 ， ，解得 SD9
14、.ASSB CSSD 86 12SD16答案 解析 如图所示，取 BD 中点， E 连接 AE， CE，则 BD AE， BD CE，而AE CE E， BD平面 AEC， AC平面 AEC，故 AC BD，故正确设正方形的边长为 a，则 AE CE a.22由知 AEC90是直二面角 A BD C 的平面角，且 AEC90， AC a， ACD 是等边三角形，故正确由题意及知， AE平面 BCD，故 ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角，而 ABE45，所以不正确分别取 BC， AC 的中点为 M， N，连接 ME， NE， MN.则 MNAB ，且 MN AB a，12 12MECD
15、 ，且 ME CD a，12 12 EMN 是异面直线 AB， CD 所成的角在 Rt AEC 中， AE CE a， AC a，22 NE AC a. MEN 是正三角形， EMN60，故正确12 1217证明 (1)在正三棱柱 ABC A1B1C1中， F、 F1分别是 AC、 A1C1的中点， B1F1BF ， AF1C 1F.又 B1F1 AF1 F1， C1F BF F，平面 AB1F1 平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 A1B1C1， B1F1 AA1.心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 10又 B1F1 A1C1， A1C1 AA1 A1
16、， B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.18解析 (1)如图所示，连接 AC，由 AB4， BC3， ABC90，得 AC5.又 AD5， E 是 CD 的中点，所以 CD AE. PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，所以 PA CD.而 PA， AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BGCD ，分别与 AE， AD 相交于 F， G，连接 PF.由(1) CD平面 PAE 知， BG平面 PAE.于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且BG AE.由 PA平面 ABC
17、D 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角AB4， AG2， BG AF，由题意，知 PBA BPF，因为 sin PBA ，sin BPF ，所以 PA BF.PAPB BFPB由 DAB ABC90知， ADBC ，又 BGCD ，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故GD BC3.于是 AG2.在 Rt BAG 中， AB4， AG2， BG AF，所以BG 2 ， BF .于是 PA BF .AB2 AG2 5AB2BG 1625 855 855又梯形 ABCD 的面积为 S (53)416，所以四棱锥 P ABCD 的体积为12V SPA 16 .13 13 855
18、12851519解析 (1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE， EM， EA， PCD 为正三角形， PE CD， PE PDsin PDE2sin60 .3心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 11平面 PCD平面 ABCD， PE平面 ABCD，而 AM平面 ABCD， PE AM.四边形 ABCD 是矩形， ADE， ECM， ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ， AM ， AE3，3 6 EM2 AM2 AE2. AM EM.又 PE EM E， AM平面 PEM， AM PM.(2)解：由(1)可知 EM AM， PM AM， PME 是二面角 P A
19、M D 的平面角tan PME 1， PME45.PEEM 33二面角 P AM D 的大小为 45.20解析 (1)因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 B1C BC1，又已知 B1C A1B，且 A1B BC1 B，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C平面 AB1C所以平面 AB1C平面 A1BC1 .(2)设 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面B1CD 的交线因为 A1B 平面 B1CD， A1B平面 A1BC1，平面 A1BC1平面 B1CD DE，所以 A1BDE .又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点即 A1D DC11.
20、21解 (1)证明：连接 AE，如下图所示 ADEB 为正方形， AE BD F，且 F 是 AE 的中点，心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！ 12又 G 是 EC 的中点， GFAC ，又 AC平面 ABC， GF平面 ABC， GF 平面 ABC.(2)证明： ADEB 为正方形， EB AB，又平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABC AB， EB平面 ABED， BE平面 ABC， BE AC.又 AC BC AB，22 CA2 CB2 AB2， AC BC.又 BC BE B， AC平面 BCE.(3)取 AB 的中点 H，连 GH， BC AC AB ，22 2
21、2 CH AB，且 CH ，又平面 ABED平面 ABC12 GH平面 ABCD， V 1 .13 12 1622解析 (1)证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面三边长AC3， BC4， AB5， AC BC.又 C1C AC. AC平面 BCC1B1. BC1平面 BCC1B， AC BC1.(2)证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形 D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DEAC 1. DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1， AC1 平面 CDB1.(3)解： DEAC 1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角在 CED 中， ED AC1 ，12 52CD AB ， CE CB12 ，12 52 12 2cos CED .252 225异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 .225
