1、.2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分.1.在等比数列 中， ， ，则 的值为 .na23a1207a2.设复数 满足 ，则 的值为 .z910zi|z3.设 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，则 的值为 .()fxR2()fx()2xf(1)f4.在 中，若 ，且三条边 成等比数列，则 的值为 .ABCsin2iC,abccosA5.在正四面体 中， 分别在棱 上，满足 ， ，且 与平面 平行，D,EFAB3E4FEBCD则 的面积为 .EF6.在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三个点两
2、xOy(,)|1,0KxyK两之间距离均不超过 2 的概率为 .7.设 为非零实数，在平面直角坐标系 中，二次曲线 的焦距为 4，则 的值为 .a 220xaya8.若正整数 满足 ，则数组 的个数为 .,bc01701abc(,)bc二、解答题 （本大题共 3 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式 对所有 成立，求实数 的取值范围.|2|5|xxa,2a10.设数列 是等差数列，数列 满足 ， .nanb21nna1,.（1）证明：数列 也是等差数列；nb（2 ）设数列 、 的公差均是 ，并且存在正整数 ，使得 是整数，求 的最小值.a0d,ststa
3、b1|a11.在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ，经过 上一点 作一条倾xOy21:4Cyx22:(4)8Cxy1CP斜角为 的直线 ，与 交于两个不同的点 ，求 的取值范围.45l2,QR|PR2017 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、 （本题满分 40 分）.设实数 满足 ，令 ，证明：,abc0cmax,dbc 2(1)()1abcd二、 （本题满分 40 分）给定正整数 ，证明：存在正整数 ，使得可将正整数集 分拆为 个互不相交的子集 ，mkNk12,kA每个子集 中均不存在 4 个数 （可以相同） ，满足 .iA,abcdabcdm三、 （本题满分 50 分）如图，点 是锐
4、角 的外接圆 上弧 的中点，直线 与圆 过点 的切线分别相交于点DABCBCDA,BC.， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求证： 平分线段,PQBACXPABYQCPTA.XY四、 （本题满分 50 分）设 ， ，集合120,1,5a 120,1,b ，求 的元素个数的最大值.()()ijijXijijaX一试试卷答案.1.答案： 89解：数列 的公比为 ，故 .na32aq12012066718()9aaqq2.答案： 5解：设 ，由条件得 ，比较两边实虚部可得,zabiR(9)10(2)abiabi，解得： ，故 ，进而 .91021,2bzi|5z3.答案： 74解
5、：由条件知， ， ，2(1)(1)(1)fff1()2()ff两式相加消去 ，可知： ，即 .3744.答案： 24解：由正弦定理知， ，又 ，于是 ，从而由余弦定理得：sin2aAcCbac:2:1bc.22()1cos 4bA5.答案： 3解：由条件知， 平行于 ，因为正四面体 的各个面是全等的正三角形，故EFBCABCD， .4A7ADE由余弦定理得， ，2cos6049162837同理有 .37F作等腰 底边 上的高 ，则 ，故 ，EH12EF2DHE于是 .123DFSA.6.答案： 514解：注意 中共有 9 个点，故在 中随机取出三个点的方式数为 种，KK3984C当取出的三点两
6、两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1 ）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，（2 ）三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，1, 416（3 ）三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于 的有 4 个，直角顶点2 (0,)位于 ， 的各有一个，共有 8 种情况.(,0)(,)综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为 .6183358417.答案： 172解：二次曲线方程可写成 ，显然必须 ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为21xya0a，则 ，注意到焦距 ，可知 ，又 ，221()(yxa222()(c24c24a0a所以 .
7、728.答案：574解：由条件知 ，当 时，有 ，对于每个这样的正整数 ，由012c1c02bb知，相应的 的个数为 ，从而这样的正整数组的个数为102baa，210()()57b当 时，由 ，知， ，进而 ，c201b20b2017a.故 ，此时共有 2 组 .20,1a(,)abc综上所述，满足条件的正整数组的个数为 .57249.解：设 ，则 ，于是 对所有 成立，由于xt,4t|tt2,t， ，22|5|()()taa()(0a对给定实数 ，设 ，则 是关于 的一次函数或常值函数，注意 ，因5ftftt 2,4t此 等价于 ，解得()0ft(2)1)(043fa35a所以实数 的取值范
8、围是 .a510.解：（1）设等差数列 的公差为 ，则nd221231()()nnnnba2311()()()nnna21aadAA2213dA所以数列 也是等差数列.b（2 ）由已知条件及（1）的结果知： ，因为 ，故 ，这样23d032()nnnnnaaa39d若正整数 满足 ，则,ststbZ1122()()99ststbasdatd.123a记 ，则 ，且 是一个非零的整数，故 ，从而9stl l183()lst 1|8|a.1|8又当 时，有 ，a1378abZ综上所述， 的最小值为 .|11.解：设 ，则直线 的方程为 ，代入曲线 的方程得，2(,)Ptl 2yxt2C，2(4)8
9、x化简可得： ，2(4)()80txt.由于 与 交于两个不同的点，故关于 的方程的判别式 为正，计算得，l2Cx2222(4)()8()8()16()16ttttt，28 4因此有 ，(,0)2,t设 的横坐标分别为 ，由知， ， ，,QR1x21xt212()8xt因此，结合 的倾斜角为 可知，l452224111|()()()PxttxtxtAA2 4()8t4324328tttt，2()4由可知， ，故 ，从而由得：2(,)(2,14t2()0,4(,196)t2| 8PQRA注 1：利用 的圆心到 的距离小于 的半径，列出不等式 ，2Cl2C2|t同样可以求得中 的范围.t注 2：更
10、简便的计算 的方式是利用圆幂定理，事实上， 的圆心为 ，半径为 ，|PQRA 2C(4,0)M2r故 .22224|(4)()8PRMrtttA.加试试卷答案一、证明：当 时，不等式显然成立1d以下设 ，不妨设 不异号，即 ，那么有0,ab0ab()11abcd因此 2221()()c 二、证明：取 ，令 ，km(mod1),iAxixN1,im设 ，则 ，,iabcd0abc故 ，而 ，所以在 中不存在 4 个数 ，满足11i ,abcdabcd三、证明：首先证明 ，即证/YXBCAXYB连接 ，因为 ，,BDAQCQBCPASS所以 ， 111sinsinsin222AQCBP由题设， 是
11、圆 的切线，所以 ， ，又,BPCQC（注意 是弧 的中点） ，于是由知 ADBAPDABQCP因为 ，所以 ，于是 1sin2ABQCPQSACP.而 1sin2BCQPBCQSP由，得 ，ABQCPS即 ABQCPS又 ，ABCQXSABCPSY故 Y设边 的中点为 ，因为 ，M1XBYA所以由塞瓦定理知， 三线共点，交点即为 ，故由 可得 平分线段,ACT/YXBCATXY四、解：考虑一组满足条件的正整数 120120(,)ab 对 ，设 中取值为 的数有 个，根据 的定义，当 时， ，因此1,25k 120, kktXija(,)ijX至少有 个 不在 中，注意到 ，则柯西不等式，我们有1ktC(,)ijX5120kt555522 2111120()()(1)35ktkkkkttt从而 的元素个数不超过X203906C另一方面，取 （ ） ， （ ） ，43241kkkkaa,2 6iiba1,20则对任意 （ ） ，有,ij1ij 2()()()()ijijijijijbaa等号成立当且仅当 ，这恰好发生 次，此时 的元素个数达到ij24530CX2036C综上所述， 的元素个数的最大值为 160.X.
