1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 12 页2006 年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线 的水平渐近线方程为 .4sin52coxy（2）设函数 在 处连续，则 .2301i,0()xtdfaxa（3）广义积分 .20(1)x（4）微分方程 的通解是 .yx（5）设函数 由方程 确定，则 = .()yxe0Adx（6）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =21AEB2EB.二、选择题（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与()yfx()0,()fxfx0xy分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则d0（A）
2、 （B ）.dy.yd（C） （D） 【 】0（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是()fx0xx0()xftd（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数（C）在 间断的奇函数 （D ）在 间断的偶函数 . 【 】0（9）设函数 可微， ，则 等于()gx1()(,(1)2gxheh()g（A） . （B）ln31ln3.（C） （D ） 【 】2（10）函数 满足一个微分方程是21xxyee（A） （B）3. 23.xye（C） （D ）2xye（11）设 为连续函数，则 等于(,)fx140(cos,in)dfrrd梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 2
3、- 页 共 12 页（A） （B ）2210(,).xdfyd 2210(,).xdfyd（C） （D） 【 】2210(,).yf 2210(,).yf（12）设 与 均为可微函数，且 . 已知 是 在约束条件(,)fx,1(,)yx0,)xy(,)fx下的一个极值点，下列选项正确的是y（A）若 ，则 .0(,)xf 0(,)yfx（B）若 ，则 .y（C）若 ，则 .0(,)xf0(,)yfx（D）若 ，则 . 【 】y（13）设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是12,a nAmn（A）若 线性相关，则 线性相关.a 12,a（B）若 线性相关，则 线性无关.12, （C）若
4、线性无关，则 线性相关. 12,A（D）若 线性无关，则 线性无关 . 【 】12,a a（14）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 ，记ABC，则01P（A） （B）.CP 1.CPA（C） （D ） T T三 解答题15试确定 A，B，C 的常数值，使得 ，其中 是当23(1)1()xexo3()x.30x时 比 的 高 阶 无 穷 小16 .arcsinxed求梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 3 - 页 共 12 页17 ，2(,)1,0Dxyx设 区 域 21.DxyId计 算 二 重 积 分18 110
5、,sin(,12)n设 数 列 满 足；limx证 明 : (1)存 在 并 求 极 限.21(2)li()nxx计 算19 si2cossincos.abbbaa证 明 : 当 0时 ,20 设函数 满足等式 ., ,fu在 内 具 有 二 阶 导 数 且 2zfxy20zxy()验证 ；()若 .0ff10,1,fffu求 函 数 的 表 达 式21 已知曲线 的方程为L2,(),4xlty（）讨论 的凹凸性；（）过点（-1，0）引 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；0(,)xy（）求此切线与 （对应于 的部分）及 轴所围成的平面图形的面积.L0x22 已知非齐次线性方程组1234145
6、3xaxb有 个 线 性 无 关 的 解证明方程组系数矩阵 A 的秩 ；r求 的值及方程组的通解.,ab23 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 是线性方程组 A =012,0,1TTx的两个解, ()求 A 的特征值与特征向量 () 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 .Q梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页 共 12 页2006 年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题（1）曲线 的水平渐近线方程为4sin52coxy15y1limlis5xxx（2）设函数 在 x=0 处连续，则 a=230in,0(),tdfa 13200()1l
7、im()li3xxsf（3）广义积分 20()d022200111()()()2xxx（4）微分方程 的通解是yxxyce)0(（5）设函数 确定，则()由 方 程 1x0xde当 x=0 时，y =1，又把方程每一项对 x 求导， ye001(1)xxyyyxe e (6) 设 A = 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则| B|= .-1 2解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B|A-E|=|2E|=4,计算出| A-E|=2,因此| B|=2.二、选择题（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量 x 在点 x0 处的增量，()yfx()0,
8、(),fxf，则A0d与 分 别 为 在 点 处 对 应 增 量 与 微 分 ,若（A） （B）0yyd（C） （D ） 0梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 12 页由 严格单调增加()0()fxfx可 知是凹的可 知即知（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则()fx0x0x是B0ftd（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数 （D ）在 x=0 间断的偶函数（9）设函数 则 g(1)等于C()g可 微 ,1()(,(1)2,gxheh（A） （B）ln31ln3（C） （D ）2 ， g(1)= ()()gxhxe
9、1()2el（10）函数 满足的一个微分方程是D21yc（A） （B）3xe 23xye（C） （D ）2y将函数 代入答案中验证即可.1xxcee（11）设 为连续函数，则 等于C(,)fy140(cos,in)dfrrd（A） （B）210(,)xdfy 210(,)xfy（C） （D ）210(,)yfxd 210(,)ydfxd（12）设 均为可微函数，且 在约束条件(,),f与 (,),y已 知 0,(,)yfx是下的一个极值点，下列选项正确的是D(,)xy（A）若 00(,),(,)xyffx则（B）若 则梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 12 页（C
10、）若 00(,),(,)xyffx则（D）若 则(,)(,)0(1),2()xxyyFff令今 代入(1) 得 00(,),yy fxx000(,)(,)(,)yxxfyf今 故选D0000(,),(,)(,),xyxyff f则(13)设 1,2,s 都是 n 维向量， A 是 mn 矩阵，则（ ）成立.(A) 若 1,2,s线性相关 ,则 A1,A2,As线性相关 .(B) 若 1,2,s线性相关 ,则 A1,A2,As线性无关 .(C) 若 1,2,s线性无关 ,则 A1,A2,As线性相关 .(D) 若 1,2,s线性无关 ,则 A1,A2,As线性无关 .解: (A)本题考的是线性相
11、关性的判断问题,可以用定义解.若 1,2,s线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,用 A 左乘等式两边,得c1A1+c2A2+csAs=0,于是 A1,A2,As线性相关 .如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,s线性无关 r( 1,2,s)=s.2. r(AB) r(B).矩阵( A1,A2,As)=A(1,2,s),因此r(A1,A2,As) r(1,2,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列上得 B,将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列
12、上得 C.记 1 1 0梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 12 页P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA ,1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1三、解答题（15）试确定 A，B，C 的常数值，使 其中 是当23(1)1()xeBCAxo3()x.30x时 比 的 高 阶 无 穷 小解：泰勒公式 代入已知等式得231()6xxeo23231()1()6oBCAx整理得 2331()()()()6
13、BxCxoxox比较两边同次幂函数得B+1=A C+B+ =0 1206式-得 233B则代入得 1A代入得 6C（16）求 .arcsinxed梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 8 - 页 共 12 页解：原式= 22arcsinarcsin()xxetdtd令 21rirsi 1ttt22acinarcsin1()1ttdtudtu 令2rsituacinl1tC.2rsirsi1lnxxxeeed（17）设区域 ， 计算二重积分 .2(,)|,0Dxyx21DxyId解：用极坐标系 21Ddyx.112 2200ln()lnrIdr（18）设数列 满足 ，nx1x1si(,
14、23)nnx证明：（1） 存在，并求极限；lim（2）计算 .21linxn证：（1） 212si,0,2xn因 此单调减少有下界1nnnx 0nx根据准则 1， 存在limA在 两边取极限得snnxsiA因此 1li0梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 9 - 页 共 12 页（2）原式21sinlm“nx为 型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2201sinlim0siltttt e用洛必达法则201(cosin)lisin2tttA233001()0()6cosinlimlim2tt ttt tee.301()61li26tt（19）证明：当 时， .0ab 1sincoss
15、in2cosbbaa证：令 ()sincofxx只需证明 严格单调增加时 ,()f()sics2infxxoi()osi0f x 严格单调减少x又 ()cs0f故 单调增加（严格）0()()axfxf时 则得证()bf由 则（20）设函数 内具有二阶导数，且 满足等式 .0,fu在 2Zfxy20zxy（I）验证 ；()ff（II）若 求函数 .(1)0,1()fu的 表 达 式梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 10 - 页 共 12 页证：（I） 2 22 2;zxzyfxyfxy 22 2322 2f fx xy 22 2322 2zyf fyx 2 22()00() fxy
16、zfxyyfuf 代 入 方 程 得 成 立（II）令 (),;,dpducf pu则 221,()ln|,(1)0,()ln|fcfcffu 由（21）已知曲线 L 的方程214xtty（I）讨论 L 的凹凸性；（II）过点 引 L 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；(1,0)0(,)xy（III）求此切线与 L（对应 部分）及 x 轴所围的平面图形的面积.0x解：（I） 422,1dydttt2 2310()xtddttt处(0Lt曲 线 在 处 )是 凸（II）切线方程为 ，设 ， ，21()yxt201t2004yt则 2223200004(),4()tttt得 20000,11tt
17、tt梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 11 - 页 共 12 页点为（2，3） ，切线方程为 1yx（III ）设 L 的方程 ()xg则 301Sydy 2242441t xy解 出 t得由于（2，3）在 L 上，由 3()y gy得 可 知094(1)Syd3300(12)dy 332 20 0()4()214()y y861(22)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2. 求 a,b 的值和方程组的通解. 解: 设 1,2,3是
18、方程组的 3 个线性无关的解,则 2-1,3-1是 AX=0 的两个线性无关的解.于是AX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A)2,从而 r(A)2.又因为 A 的行向量是两两线性无关的,所以 r(A)2.两个不等式说明 r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 ,a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 .梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞
19、！第 - 12 - 页 共 12 页0 0 0 0 0得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0) T和 AX=0 的基础解系(-2,1,1,0) T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量 1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组 AX=0 的解. 求 A 的特征值和特征向量. 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 Q TAQ=. 解: 条件说明 A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是 A 的特征向量,特征值为 3.又 1,2都是 AX=0的解说明它们也都是 A 的特征向量,特征值为 0.由于 1,2线性无关, 特征值 0 的重数大于 1.于是 A 的特征值为 3,0,0.属于 3 的特征向量:c 0, c0.属于 0 的特征向量:c 11+c22, c1,c2不都为 0. 将 0单位化,得 0=( , , )T.3对 1,2作施密特正交化,的 1=(0,- , )T,2=(- , , )T.36作 Q=(0,1,2),则 Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .0 0 0
