1、一、简答下列各题：,1、 怎样确定一个2n-1次多项式,使满足条件,设,2、 什么叫正交多项式？试举例说明。,例 如、 Legendre 多项式,即多项式:,是-1,1上的正交多项式,且有,3、 定义chebyshev多项式，并给出它们的正交关系式。,Chebyshey 多项式,即多项式,4、 定义Legendre多项式并给出它们的正交关系式。,Legendre 多项式,即多项式:,是-1,1上的正交多项式,且有,5、什么是样条函数？它与分段多项式有什么不同 ？,设在 上给定一个分划：,若函数 具有如下性质：,（1） 在每个小区间 上是m次多项式；,（2） 及其直到 阶导数在 上连续，则称 是
2、关于分划 的 次样条函数，也记为 。,其特征为（1）是分段多项式；（2）各段多项式之 间具有某种联接性质。,6、 如果用复化梯形公式求 的近似值，那么要将积分区间 分成多少等份，才能保证误差不超过？（如果用复化Simpson公式呢？）,解 由误差估计式有,从而有,如果采用复化Simpson公式，由于,从而有,7、 叙述Jacobi迭代格式收敛的充要条件。,在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的， 但由于有 ，所 以可以 用 来 作 为 的 一种估计。 当 时迭代格式一定收 敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。,定理 2 若 则迭代格式（1）收敛于 （2）的解 , 且有误差估计,
3、或,依 定 理 2 可知，当,8、叙述Gauss-Seidel迭代格式收敛的充要条件。,用矩阵表示就是,(1),其中，,由（1）式可知，,因 存在，所以迭代格式（1） 也可表示为,(2),我们称 为 迭代法的迭代矩阵。,类似于定理2，我们还可以给出如下收敛的充分条件。,定理4 对 于 任 意 右 端 向 量 初 始 向量 ， 迭代法收敛的充分条件是,由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则迭代法与 迭代法都收敛。,可以证明，当条件(2）被满足时， 迭代法比 迭代法收敛得快些。,9、叙述任何范数必须满足的公理。定义的最大值范数及欧氏范数。,定义 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空
4、间处处有定义并满足条件:,在闭区间上连续的函数 的最常见范数有:,10、什么是线性赋范 空间？线性赋范空间一定是内积空间吗？,定义2 设 为实线性空间，如果对 中每一个元 素 ，都可以赋一个与 相应的非负实数，且满足条件：,（1） ，当且仅当 时， ，,（2） ，,（3） ，,则称 为线性赋范空间，称 为 的范数或模。,我们知道，在内积空间中，可定义 的范数，,二、填空题（每空3分，共30分）,1、满足条件 的插值多项式,2、设,若,则n阶差商与导数关系如下：,于是,所以,向量范数有多种，常用的有以下三种：,(5.3),所以,5、n次Chebyshev多项式 在 中有_个不同的实零点,其零点,
5、6、当n为偶数时，NC求积公式 的代数精度可达_次。,7、设 ，则,n1次。,设 阶方阵 ， 则与向量范数 相应的矩阵范数分别为：,9、若使SOR迭代法收敛，则其松弛因子应满足条件_。,据公式：,有,则,四、求一个线性函数 使其成为的最佳平方逼近函数。,由正规方程组：,其中，,五、求一个线性函数 使其成为的最佳平方逼近函数。,也由正规方程组：,其中，,作简单积分，即可算出,六、设 在 上有二阶连续导数，试推出数值积分公式的误差估计式。,若 在 上有二阶连续导数，则,于是有,由于 是依赖于 的函数，在 上连续， 而且 则应用积分学中的中值定理， 在 上存在一点 ，使,故有,七、构造求积公式使其具有三次代数精确 度。,由Chebyshev多项式的零点公式：,得,故有,八、已知 其中作 的 分解，并求解方程组。,依公式：,同时，由 ，从上往下依次求得：,得,将方程组：,化成便于迭代的形式,最直观的方法是，将方程组改写为：,其迭代格式为,由于迭代矩阵：,经一次迭代得：,于是有，,由误差估计式,可知，若使,只须,亦只须,由于,故,
