1、解三角形题型总结中的常见结论和定理：ABC一、内角和定理及诱导公式：1因为 ， 所以 ； sin()si,co()cos,tan()tanABCABC；因为 ,2ABC所以 ， ，sincossin2AB2大边对大角3.在ABC 中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)A、B、C 成等差数列的充要条件是 B=60；(3)ABC 是正三角形的充要条件是 A、B、C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列.二、正弦定理：文字：在 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。A符号： RcBba2sinisin公式变形： (边转化成角）CcBsin2sii （角转化成
2、边）RbRaAn2s cbsi:i: CcBbAaCBAa2siniinisni 三、余弦定理：文字：在 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。符号： bcaos22acos22 Cabcos22变形： caAcos22cbBs22s22四、面积公式：（1） （2） （其中 为三角形内切圆半径）2aSh1()Srabcr（3） sinsisinbCcAB五、 常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知 边 ） ,c解法：根据内角和求出角 ；)(根据正弦定理 求出其余两边RCBbAa2sinisin,ab（2）已知两边和夹角（如已知 ）
3、,解法：根据余弦定理 求出边 ；22cocc根据余弦定理的变形 求 ；bas2A根据内角和定理求角 .)(CB（3）已知三边（如： ）cba,解法：根据余弦定理的变形 求 ；bcaA2osA根据余弦定理的变形 求角 ；BcB根据内角和定理求角 )(C（4）已知两边和其中一边对角（如： ） （注意讨论解的情况）Aba,解法 1：若只求第三边，用余弦定理： ；22coscabC解法 2：若不是只求第三边，先用正弦定理 求 （可能出现一RB2sinisinB解，两解或无解的情况，见题型一） ；再根据内角和定理求角 ；.)(AC先看一道例题：例：在 ABC中，已知03,2,6Bcb，求角 C。 （答案
4、： 或 ）04513六、 在 中，已知 ，则 解的情况为：ABCAba,BC法一：几何法（不建议使用）（注：表中， 为锐角时，若 ，无解； 为钝角或直角时，若 ，无解.AAbasin ba法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型模型：在 中，已知边 和角 ,若不是求第三边 c，用正弦定理。ABCba,A例 1：在 中，已知0452c，求C。 （答案： ）03C例 2：在 中，已知 3,6B，求C。 （答案： 或 ）4501例 3：在 ABC中，已知0,2,ba，求A。 （答案：无解）例 4：
5、（3）在 中，已知 ，求A。 （答案：一解）0,13为锐角 为钝角或直角A图形关系式 basini ba解的个数 一解 两解 一解 一解练习：1。在 中，已知 解三角形。ABC06,3,2Bba2在 中，已知 解三角形。045,3Ccb3在 中，已知 解三角形。06,Aa题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型两角一边（两角一对边，两角一夹边）模型 1：在 中，已知角 和边 ,解三角形。ABCBA,a模型 2：在 中，已知角 和边 ,解三角形。c用正弦定理例题：例题 1：在 中，已知 解三角形。ABC2,45,300aB解析：根据三角形内角和定理，得 ，再根据正弦001578)(18AC
6、定理 ，得 ，再根据余弦定理BbAasini2sina，Ccco22得 ，所以20634815cs2（ 62c综上： 。6,105b例题 2：在 中，已知 解三角形。ABC2,700aC解析：根据三角形内角和定理，得 ，再根据正弦006128)(18BA定理 ，得 ，再根据正弦定理BbAasini 62342sinAa，得 。综上，Ccasini232sina。2,62,60cbA练习：1 在 中，已知 解三角形。BC4,15,00cC2 在 中，已知 解三角形。A64b题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型模型：在 中，已知边 和角 ,解三角形。用余弦定理ABCba,C例题 1：在
7、 中，已知 解三角形。06,21解析：根据余弦定理 ，得 ，abccos2 321122所以 ，再根据余弦定理，得 ，3c 0-（bB又因为 ，所以 ，0018B09再根据内角和定理，得 。003158)(CA综上， 。3,0,3cA练习：1 在 中，已知 解三角形。BC06,24Cba题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型模型：已知边 解三角形。根据余弦定理， ，cba, bcaA2cos， ，分别求得角 （或根据内角和定理求B2cosabC2osCB,得角 )。C例题 1：在 中，已知 解三角形。A3,4c解析：根据余弦定理，得 ，又因为2342-2cos （baA，所以 ，再根据余弦
8、定理，0018A03得 ，又 ,所以 ,024-2cos （acbB 018B09再根据三角形内角和定理，得 。0062)(18AC综上， 。0006,93A（练习：1 在 中，已知 解三角形。BC26,3,2cba题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型模型：在 中，已知边 和角 ,若只求第三边 c，用余弦定理。ABCba,A模型： 在 中，已知边 和角 ,若不是只求第三边 c，用正弦定理。例题：例题 1：在 中，已知 ，求边 b。ABC045,2,Aca解析：根据余弦定理 ，得 ，bos2 02245cos（既 ，解得 或 （舍去） ，022b31练习：在 ABC中，已知03,2,
9、6Bcb，求边 a。 （答案： ）3题型六、三角形面积例 1在 中， ， ， ，求 的值和 的面ABCsincoA2C3ABtanABC积。解：由 计算它的对偶关系式 的值。sicssinconoA221(sic)2no018,sin0,cos.(si)2AA另 解,23cosin1)co(insiA62+得 ， 得 。in4cosA64从而 si26ta 23coA。以下解法略去。SCBAB1216426sin()练习 1在 中,角 , , 对应的边分别是 a, b, c.已知 os3c1ABC.(I)求角 的大小 ;(II)若 ABC的面积 53S, b,求 sinBC的值.解:(I)由已
10、知条件得: cos21A 2cos30,解得 1cos2A,角 60 (II) in53Sb4c,由余弦定理得: 21a,28sinaRA25sin47bcBC练习 2. 已知 的周长为 ，且 A 1si2sinBC（I）求边 的长；（II ）若 的面积为 ，求角 的度数ABC i6解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ，12AB两式相减，得 1（II）由 的面积 ，得 ， sini26A13BC由余弦定理，得 ，2cosCB22()1A所以 60C练习 3在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ，AB BC， ， abc， ， 2（）若 的面积等于 ，求 ； 3ab，（）若 ，求 的面积sin
11、()2sinCBAAB解：（）由余弦定理及已知条件得， ，24又因为 的面积等于 ，所以 ，得 31si3abCab联立方程组 解得 ， 24ab， 2（）由题意得 ，sin()si()4sincoBAA即 ，sico2co当 时， ， ， ， ，063a2b当 时，得 ，由正弦定理得 ，cos0Asin2iBA2ba联立方程组 解得 ， 24ab， 3a4所以 的面积 ABC 12sin3SC题型七：看到 “a2 = b2+c2 bc”想到余弦定理例 1：在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 ，2bac且 a2c 2=ac bc，求A 的大小及 的值。cbsin分析：因
12、给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值。cb2 cBbsin解法一：b 2=ac。又 a2c 2=ac bc，b 2+c2a 2=bc。在ABC 中，由余弦定理得：cosA= = = ，bca22c1A=60。在ABC 中，由正弦定理得 sinB= ，b 2=ac，aAsinA=60， =sin60= 。acbcB60sinsi223解法二：在ABC 中，由面积公式得 bcsinA= acsinB。21b2=ac， A=60， bcsinA=b2sinB。 =sinA= 。cBsin3评述：解三
13、角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状边角互化问题例 1. 在 中，已知 ，那么 一定是（ ）ABCCBAsincosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcos AsinB，incosi2即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB )0，得 AB故选 (B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB si2ca22acb ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)2acb评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为
14、角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)例 2. 在 中，若 ，试判断ABC 的形状。ABCabAB2tn答案：故ABC 为等腰三角形或直角三角形。练习 1. 在 中， ，判断ABC 的形状。ABCcosab答案： 为等腰三角形或直角三角形。练习 2、在 中, ，这个三角形是_三角形。ABC22siniabA练习 3、 sini2sin,ABCacACABC在 中 ， 且 判 断 的 形 状 。题型九：三角形中最值问题例 1 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大ABCABC、 、 cos2BCA值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得 = ，所以有 cos
15、=sin 。B+C2 2 A2 B+C2 A2cosA+2cos =cosA+2sin =12sin 2 + 2sin =2(sin )2+ ；B+C2 A2 A2 A2 A2 12 32当 sin = ，即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。A2 12 3 B+C2 32点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。练习. 设锐角 的内角 的对边为 ，ABC、 、 ,abc2sinA（1） 求B 的大小。 （ 2）求 的取值范围。6osiAC3(,)2题型十、边角互化问题例 1、在 中，已知 2b=a+c，证明：2 sinB=
16、 sinA+ sinCABC例 2、在 中，a 、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边，试证明：a = b cosC + c cosBABC例 3、已知 abc， ， 为 的三个内角 ABC， ， 的对边，向量 (31)，m，ABC(osin)，若 m，且 cossinabc，则角 B 例 4、在 中，已知 BC=a，AC= b，且 a，b 是方程 的两个根，ABC 0232x求：角 C 的度数 AB 的长1)cos(2例 5. 已知 的周长为 ，且 ABC21sin2sinABC求边 的长；若 的面积为 ，求角 的度数 6练习 1设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ，ABC， ， ab
17、c， ， os3B 求边长 ； 若 的面积 ，求 的周长 sin4baABC10SACl练习 2. 在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ABCBC， ， abc， ， 23C（）若 的面积等于 ，求 ； （）若 ，求3ab， sin()sinCBA的面积练习 3.在 中 分别为 的对边，若ABC,abc,ABC，2sin(cos)3(ins)（1）求 的大小；（2）若 ，求 和 的值。61,9bcbc题型十一：正余弦定理的实际应用例 6 （2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和
18、D 点的仰角分别为 075，03，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km， 21.414， 2.449） 解:在ABC 中， DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 在ABC 中，,ABCsinBCAsin即 AB= ,206315sinAC60因此，BD= 。km3.02063故 B，D 的距离约为 0.33km。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
