（毕节专版）2019年中考数学复习 第5章 图形的相似与解直角三角形课件+试题（打包10套）.zip

1第19课时 图形的相似与位似(时间：45分钟)1．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a，b与l 1，l 2，l 3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若 ＝ ，DE＝4，则EF的长ABBC 23是( C )A. B. C．6 D．1083 2032．(2018·临安中考)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似 的是( B )A B C D3．(2018·重庆中考A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为( C )A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm4．(2018·内江中考)已知△ABC与△A 1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A 1B1C1的面积比为( D )A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶95．(2018·自贡中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D )A．8 B．12 C．14 D．16(第5题图)) (第6题图))6．(2018·荆门中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S △EFG ∶S △ABG ＝( C )A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶17．(原创题)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为__1∶3__．8．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，则旗杆的高为__12__ m.2(第8题图)) (第9题图))9．(20 18·邵阳中考)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：__△EFC∽△AFD__．10．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝135°.∵∠ADB＋∠ADE＋∠EDC＝180°，∠ADE＝45°，∴∠ADB＋∠EDC＝180°－∠ADE＝135°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽ △DCE.11．(2018·杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ ADC＝90°.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD；(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5.在 Rt△ADC中，AC＝13，CD＝5，∴AD＝ ＝ 12.AC2－ CD2 132－ 52∵△BDE∽△CAD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，BDAC DEAD 513 DE12∴DE＝ .6013312．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF 与CD交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若 ＝ ，BE＝4，求CE的长．DGGC 23解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即DF∥BE.∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；(2)∵BE＝4，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴ ＝ ，DGCG DFCE∴CE＝ ＝4× ＝6.DF·CGDG 3213．(2018·台湾中考)如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，则△ADE与△FGH的面积比为( D )A．2∶1 B．3∶2 C．5∶2 D．9∶414．(2018·滨州中考)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( C )12A．(5，1) B．(4，3)C．(3，4) D．(1，5)15．(2018·枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则 tan ∠BDE的值是( A )A. B. C. D.24 14 13 234(第15题图)) (第16题图))16．(2018·扬州中考)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB 2＝CP·CM.其中正确的是( A )A．①②③ B．①C．①② D．②③17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠AP D＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B＝∠APD＋∠PDC，∴∠BAP＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD，∴ ＝ ，∴AB·CD＝CP·BP.BPCD ABPC∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)解：∵PD∥AB ，∴∠APD＝∠BAP.由(1)知∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ ＝ .BABC BPBA∵AB＝10，BC＝12，∴ ＝ ，∴BP＝ .1012 BP10 2531第五章 图形的相似与解直角三角形第19课时 图形的相似与位似近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 总分位似 选择题 11 3相似三角形的判定与性质 选择题 12 32018相似三角形的判定与性质 解答题 27(3) 6相似三角形的判定 选择题 14 32017 相似三角形的判定与性质 解答题 24 12相似三角形的判定与性质 填空题 19 52016相似三角形的判定与性质 解答题 26(2) 62015 相 似三角形的判定 选择题 13 32014 相似三角形的判定与 性质 选择题 12 3相似三角形的判定与性质是每年的必考考点,位似的考查偶尔会出现,预计2019年将继续考查相似三角形的判定与性质,要重点关注相似三角形的判定方法.毕节中考真题试做相似三角形的判定与性质1.(2014·毕节中考)如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C＝∠E,AD∶DE＝3∶5,AE＝8,BD＝4,则DC的长等于( A )A. B. C. D.154 125 203 174(第1题图) (第2题图)2.(2018·毕节中考)如图,在▱ABCD中,E是DC上的点,DE∶EC＝3∶2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为( C )A.2∶5 B.3∶5 C.9∶25 D.4∶25位似3.(2018·毕节中考)在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为：O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,△OA′B′与△OAB位似.若B点的对应点B ′的坐标为(0, －6),则A点的对应点A′坐标为( A )2A.(－2,－4) B.(－4,－2)C.(－1,－4) D.(1,－4)毕节中考考点梳理比例的相关概念及性质1.两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们的长度的比,即AB∶CD＝m∶n,或写成 ＝ .ABCD mn如果把 表示成比值k,那么 ＝k,或AB＝k·CD.mn ABCD2.成比例线段四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ＝ ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例ab cd线段.3.比例的性质性质1 ＝ ⇔__ad__＝bc(a,b,c,d≠0).ab cd性质2 如果 ＝ ,那么 ＝ .ab cd a±bb c±dd性质3 如果 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0),那么 ＝__ __.ab cd mn a＋ c＋ …＋ mb＋ d＋ …＋ n ab4.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段__成比例__.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.5.黄金分割一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ＝__ __(如图),那么称线段AB被点黄金分割,点C叫做线段AACAB BCACB的__黄金分割点__,AC是BC与AB的比例中项,AC与AB的比叫做__黄金比__,且 ＝__ __≈0.618.ACBC 5－ 12相似三角形的性质与判定6.相似三角形的定义对应角__相等__,对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比都等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__,面积比等于__相似比的平方__.8.相似三角形的判定3(1)__两角__分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比 例且__夹角__相等的两个三角形相似；(3)三边__成比例__的两个三角形相似；(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.方法点拨判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的判定(1).(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)].(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰条件,可找顶角相等,可找一个底角相等,也可找底和腰对应成比例.相似多边形9.相似多边形的定义各角分别__相等__,各边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.10.相似多边形的性质(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比,相似多边形面积的比等于__相似比的平方__.图形的位似11.位似多边形的定义如果两个相似多边形每组对应 顶点(如A,A′)的连线都经过同一个点O,且有OA′＝k·OA(k≠0),那么这样的两个多边形形叫做__位似多边形__,这个点O叫做__位似中心__,k就是这两个相似多边形的相似比.12.(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__相似比__.13.找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来,若它们的直线或延长线相交于一点,则该点即是__位似中心__.14.位似作图的步骤(1)确定__位似__中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__相似比__,即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.(2018·白银中考)已知 ＝ (a≠0,b≠0),下列变形错误的是( B )a2 b3A. ＝ B.2a＝3b C. ＝ D.3a＝2bab 23 ba 322.(2015·毕节中考)在△ABC中,DE∥BC,AE∶EC＝2∶3,DE＝4,则BC等于( A )4A.10 B.8 C.9 D.6(第2题图) (第4题图)3.(2018·玉林中考)两三角形的相似比是2∶3,则其面积之比是( C )A. ∶ B.2∶32 3C.4∶9 D.8∶274.(2018·邵阳中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ,得到△COD,则CD的长度是( A )12A.2 B.1 C.4 D.2 55.(2018·邵阳中考)如图,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形：__△ADF∽△ECF∽△EBA(答案不唯一,任取一对即可)__.6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE＝ED,DF＝ DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.14(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4,求BG的长.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝AB＝DC＝BC,∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED ,∴ ＝ .AEAB 12∵DF＝ DC,∴ ＝ .14 DFDE 12∴ ＝ ,∴△ABE∽△DEF；AEAB DFDE(2)解：∵四边形ABCD为正方形,∴ED∥BG,∴ ＝ .∴CG＝2CF.DECG DFCF又∵DF＝ DC,正方形的边长为4,14∴DF＝1,∴CG＝6,∴BG＝BC＋CG＝10.5中考典题精讲精练比例的性质例1 已知 ＝ ,则 ＝__ __.x3 y4 x＋ yy 74【解析】方法一：由 ＝ ,根据比例的性质可得 ＝ ,则 的值可求；x3 y4 x＋ y3＋ 4 y4 x＋ yy方法二：设 ＝ ＝a,则x＝3a,y＝4a,故 ＝ ,可得出答案.x3 y4 x＋ yy 3a＋ 4a4a平行线分线段成比例例2 (2018·乐山中考)如图,DE∥FG∥BC,若DB＝4FB,则EG与GC的关系是( B )A.EG＝4GC B.EG＝3GCC.EG＝ GC D.EG＝2GC52【解析】由DE∥FG∥BC,得 ＝ ＝ ＝ ＝3,则EG与GC的数量关系可求.DFFB EGGC DB－ FBFB 4FB－ FBFB相似三角形的判定及性质例3 (2016·毕节中考)在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 ,AB＝3,则BD＝__ __.283【解析】由两角分别相等的两个三角形相似,可得△BCD∽△BAC.由相似三角形的对应边成比例,得 ＝ ,代入数值即可得到BD的长.BDBC CBAB1.若 ＝ ＝ ,x＋y＋z＝36,求x,y,z的值.x3 y4 z5解：方法一：∵ ＝ ＝ ,x3 y4 z5∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.x3 y4 z5 x＋ y＋ z3＋ 4＋ 5 3612∴x＝9,y＝12,z＝15.6方法二：设 ＝ ＝ ＝k,x3 y4 z5则x＝3k,y＝4k,z＝5k.∵x＋y＋z＝36,∴3k＋4k＋5k＝36,解得k＝3.∴x＝9,y＝12,z＝15.2.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC分别交l 1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l 1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,若AH＝2,HB＝3,BC＝7,DE＝4,则EF等于( C )A. B. C. D.以上都不对245 265 285(第2题图) (第3题图)3.(2018·临安中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD＝4,DB＝2,则DE∶BC的值为( A )A. B. C. D.23 12 34 354.如图, ＝ ＝ 2,则 ＝( B )ADDB AEEC DEBCA. B. C. D.312 23 13(第4题图) (第5题图)5.如图, △ACD和△ABC相似需具备的条件是( C )A. ＝ B. ＝ACCD ABBC CDAD BCACC.AC2＝AD·AB D.CD2＝AD·BD6.(2018·贵港中考)如图,在 △ABC中,EF∥BC,AB＝3AE,若S 四边形BCFE ＝16, 则S △ABC ＝( B )A.16 B.18 C.20 D.241第20课时 锐角三角函数与解直角三角形(时间：45分钟) 1．(2018·大庆中考)2 cos 60°＝( A )A．1 B. C. D.3 2122．(2018·黄冈中考)下列运算结果正确的是( D )A．3a 3·2a2＝6a 6 B．(－2a) 2＝－4a 2C． tan45°＝ D． cos30°＝22 323．(2018·孝感中考)如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 sin A等于( A )A. B. C. D.35 45 34 43(第3题图)) (第4题图))4．(2018·贵阳中考)如图，A，B， C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tan ∠BAC的值为( B )A. B．1 C. D.12 33 35．(2018·宜昌中考)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100 m，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于( C )A．100 sin35° m B．100 sin55° mC．100 tan35° m D．100 tan55° m(第5题图)) (第6题图))6．(2018·重庆中考B卷)如图， AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端 B出发，先沿水平方向向右行走20 m到达点 C，再经过一段坡度(或坡比)为 i＝1∶0.75，坡长为10 m的斜坡 CD到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 m到达点 E(A， B， C， D， E均在同一平面内)．在 E处测得建筑物顶端 A的仰角为24°，则建筑物 AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( A )A．21.7 m B．22.4 mC．27.4 m D．28.8 m7．(2018·苏州中考)如图，某海监船以20 n mile/h的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又 航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( D )2A．40 n mile B．60 n mileC．20 n mile D．40 n mile3 3(第7题图)) (第8题图))8．(2018·娄底中考)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则 sin α－ cos α＝( D )A. B．－ C. D．－513 513 713 7139．已知α，β均为锐角，且满足| sin α－ |＋ ＝0，则α＋β＝__75°__．12 （ tan β － 1） 210．(2018·咸宁中考)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高度BC约为__300__ m(结果保留整数， ≈1.73) ．3(第10题图)) (第11题图))11．(2018·宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200 m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为__1__200( －1)__ m(结果保留根号)．312．(2018·邵阳中考)某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动 扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD 为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m．温馨提示： sin 15°≈0.26， cos 15°≈0.97， tan 15°≈0.27)解：在 Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD＝ AB＝5.12在 Rt△ACD中， sin ∠ACD＝ ，ADAC∴AC＝ ＝ ≈19.2.ADsin ∠ ACD 5sin 15°答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.13．(2018·娄底中考)如图 ，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452 m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 3m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α， sin α＝ ，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．2425解：过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EDCH为矩形，∴EH＝CD.设AC＝24x.在 Rt△ADC中， sin α＝ ，∴AD＝25x.2425由勾股定理，得CD＝ ＝7x，AD2－ AC2∴EH＝7x.在 Rt△AEH中，∠AEH＝45°，∴AH＝EH＝7x.由题意，得24x＝7x＋340，解得x＝20，则AC＝24x＝480，∴AB＝AC－BC＝480－452＝28.答：发射塔AB的高度为28 m.14．(2018·宁波中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥ BC于点E，M是AB的中点，连接MD，ME.若∠EMD＝90°，则 cos B的值为__ __.3－ 1215．(2018·内江中考)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11 m，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18 m，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且 tan α＝6， tan β＝ ，求灯杆AB的长度．344解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝11.由题意，得∠BDF＝α＝ .BFEF设BF＝3x，则EF＝4x.在 Rt△BDF中， tan ∠BDF＝ ，BFDF∴DF＝ ＝ ＝ x.BFtan ∠ BDF 3x6 12∵DE＝18，∴ x＋4x＝18，∴x＝4，12∴BF＝12，∴BG＝BF－GF＝12－11＝1.∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝ 30°.∴AB＝2BG＝2.答：灯杆AB的长度为2 m.1第20课时 锐角三角函数与解直角三角形毕节中考考情及预测近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 分值30°角的三角函数值 解答题 21 82018解直角三角形 解答题 26(2) 860°角的三角函数值 解答题 21 8解直角三角形 解答题 24(2) 62017解直角三角形 解答题 26(2) 845°角的三角函数值 解答题 21 82016解直角三角形 解答题 26(2) 845°角的三角函数值 解答题 21 82015解直角三角形 解答题 24(2) 6解直角三角形 选择题 15 3201430°角的三角函数值 解答题 21 830°,45°,60°角的三角函数值与解直角三角形为必考考点, 30°,45°,60°角的三角函数值一般与实数的运算综合考查,解直角三角形一般与圆 综合考查,预计2019年会延续以前的方式进行考查.毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：－1 － ＋ 3 tan 30°－ (π － )0＋ .(－13) 12 3 |1－ 3|解：原式＝(－3)－2 ＋3× －1＋( －1)333 3＝－3－2 ＋ －1 ＋ －13 3 3＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8, sin D＝ ,求AF的长.45(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°,∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°,∠AFE＝∠D,∴∠C＝∠AFB.∴△ABF∽△BEC；(2)解：∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED＝∠BAE＝90°.2在 Rt△ADE中,AE＝AD· sin D＝5 × ＝4.45在 Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE＝ ＝ ＝4 .AE2＋ AB2 42＋ 82 5∵△ABF∽△BEC,∴ ＝ ,AFBC ABBE即 ＝ ,AF5 845∴AF＝2 .5毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念正弦 sin A＝ ＝__ __∠ A的 对 边斜 边 ac余弦 cos A＝ ＝__ __∠ A的 邻 边斜 边 bc在 Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝c,BC＝a,AC＝b正切 tan A＝ ＝__ __∠ A的 对 边∠ A的 邻 边 ab特殊角的三角函数值三角函数\ 锐角α 30° 45° 60°sin α12__ __22 32cos α32 22__ __12tan α __ __331 3解直角三角形三边关系 __a2＋b 2＝c 2__两锐角关系 __∠A＋∠B＝90°__解直角三角形常用的关系：在 Rt△ABC中,∠C＝90°边角关系sin A＝ cos B＝accos A＝ sin B＝bctan A＝ab1.(2018·柳州中考)如图,在 Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝3,则 sin B＝ ＝( A )ACAB3A. B. C. D.35 45 37 34(第1题图) (第3题图)2.若∠A＋∠B＝90°,则下列各式成立的是( D )A.sin A＝ cos A B.tan A＋ tan B＝1C.sin A＝ sin B D.sin A＝ cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB＝8 m,某一时刻,旗杆影子长BC＝16 m,则 tan C＝__ __.124.(2018·滨州中考)在△ABC中,∠C＝90°,若 tan A＝ ,则 sin B＝__ __.12 2555.(2018·贵阳中考)如图①,在 Rt△ABC中,以下是小亮探究 与 之间关系的方法：asin A bsin B∵ sin A＝ ,sin B＝ ,ac bc∴c＝ ,c＝ ,asin A bsin B∴ ＝ .asin A bsin B根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC中,探究 , , 之间的关系,并写出探究过程.asin A bsin B csin C解： ＝ ＝ .asin A bsin B csin C证明如下：过A作AD⊥BC于点D,过 B作BE⊥AC于点E.在 Rt△ABD中, sin B＝ ,即AD＝c sin B.ADc在 Rt△ADC中, sin C＝ ,即AD＝b sin C.ADb∴c sin B＝b sin C,即 ＝ .bsin B csin C4同理可得 ＝ ,asin A csin C则 ＝ ＝ .asin A bsin B csin C6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5 m.(计算结果精确到0.1 m,参考数据 sin 64°≈0.90, cos 64°≈0.44, tan 64°≈2.05) (1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时,吊臂AB的长为______ m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在 Rt△ABC中,∠BAC＝64°,AC＝5,∴AB＝ ≈5÷0.44≈11.4.ACcos 64°∴吊臂AB的长为11.4 m.故应填：11.4；(2)过点D作DH⊥地面于点H,交水平线于点E.在 Rt△ADE中,AD＝20,∠DAE＝64°,EH＝1.5,∴DE＝ sin 64°×AD≈20×0.90＝18.0,即DH＝DE＋EH≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：＋| － 2|－ ＋6 cos 30°＋( π －3.14) 0.(13)－ 2 3 12【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－ －2 ＋6× ＋1＝12.3 332解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE. 5(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA＝AD,∠BAD＝90°.由DE⊥AM,BF⊥AM,可得∠ABF＝∠DAE.对于△ABF和△DAE,可由 AAS得到△ABF≌△DAE,结论可证；(2)设AE＝x,由(1)中结论可得BF＝x,DE＝AF＝2.利用S 四边形ABED ＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x得到EF的长.在 Rt△BFE中利用勾股定理可求出BE的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,∴ BA＝AD,∠BAD＝90°.∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB＝∠DEA＝90°,∴∠ABF＋∠BAF＝90°,∠DAE＋∠BAF＝90°,∴∠ABF＝∠DAE.在△ABF和△DAE中,{∠ AFB＝ ∠ DEA，∠ ABF＝ ∠ DAE，AB＝ DA， )∴△ABF≌△DAE( AAS),∴BF＝AE；(2)解：设AE＝x,则BF＝x,DE＝AF＝2.∵四边形ABED的面积为24,∴ ·x·x＋ ·x·2＝24,12 12解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF＝x－2＝4.在 Rt△BEF中,BE＝ ＝2 ,42＋ 62 13∴ sin ∠EBF＝ ＝ ＝ .EFBE 4213 21313解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km/h.数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC＝30 m,∠APC＝71°,∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6 s,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据： sin 35°≈0.57, cos 35°≈0.82, tan 35°≈0.70, sin 71°≈0.95, cos 71°≈0.33, tan 71°≈2.90)6【解析】先根据角的正切分别得出AC＝PC tan ∠APC,BC＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB的长,继而根据速度＝ ,求得该车通过AB路段的车速.若该车通过AB路段 的路 程时 间车速超过40 km/h,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解 ：在 Rt△APC中,AC＝PC tan ∠APC＝30 tan 71°≈30×2.90＝87.在 Rt△BPC中,BC＝PC tan ∠BPC＝30 tan 35°≈30×0.70＝21,则AB＝AC－BC＝87－21＝66,∴该汽车的实际速度为 ＝11( m/s).666又∵40 km/h≈11.1 m/s,1111.1,∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋ )0＋ ＋2 cos 30°－ .2 (12)－ 1 27解：原式＝2－1＋2＋2× －3 ＝3＋ －332 3 3 3＝3－2 .32.如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则 tan ∠DBC的值为( A )A. B. －1 C.2－ D.13 2 3 143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD中,DB＝DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝ ,tan ∠DCB＝3,求菱形AEBD的面积.10(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF＝∠EBF.∵∠AFD＝∠BFE,AF＝FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD＝BE.∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形.又∵DB＝DA,∴四边形AEBD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形,7∴CD＝AB＝ ,AB∥CD,10∴∠ABE＝∠DCB,∴ tan ∠ABE＝ tan ∠DCB＝3.∵四边形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF＝FB,EF＝DF,∴ tan ∠ABE＝ ＝3.EFBF∵BF＝ ,∴EF＝ ,∴DE＝3 .102 3102 10∴S 菱形AEBD ＝ AB·DE＝ ×3 ＝15.12 1210 104.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB＝20 m,AC＝3 0 m,∠A＝150°,草皮的售价为a元/ m2,则购买草皮至少需要( C )A.450a元 B.225a元C.150a元 D.300a元(第4题图) (第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关 系或说法正确的是( B )A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是 tan 10°C.AC＝1.2 tan 10° mD.AB＝ m1.2cos 10°6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部 E点处测得旗杆顶端的仰角∠ AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离 DE＝7 m,升旗台坡面 CD的坡度 i＝1∶0.75,坡长 CD＝2 m,若旗杆底部到坡面 CD的水平距离 BC＝1 m,则旗杆 AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B ) A.12.6 m B.13.1 m C.14.7 m D. 16.3 m1阶段测评(五) 图形的相似与解直角三角形(时间：60分钟 总分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则 的值是 ( A )2x＋ yz－ yA．－5 B．－ C. D．5103 1032．(2018·广东中考)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为( C )A. B. C. D.12 13 14 163．(2018·永州中考)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( B )A．2 B．4 C．6 D．8(第3题图)) (第4题图))4． (2018·金华中考)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为( B )A. B. C. D.tan αtan β sin βsin α sin αsin β cos βcos α5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( B )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m(第5题图)) (第6题图))6．如图，点D，E，F分别是△ABC(AB＞AC)各边的中点，下列说法错误的是( A )A．AD平分∠BACB．△AEF∽△ABCC．EF与AD互相平分D．△DFE是△ABC的位似图形7．(2018·随州中考)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为( C )BDADA．1 B. C. －1 D. ＋122 2 22(第7题图)) (第8题图))8．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比是1∶ (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A )3A．5 m B．10 m C．15 m D．10 m3 39．(2018·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( D )A. ＝ B. ＝ABAE AGAD DFCF DGADC. ＝ D. ＝FGAC EGBD AEBE CFDF(第9题图)) (第11题图))10．(2018·绥化中考)两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( D )A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝__24__．(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)12．(2018·北京中考)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为__ __.103(第12题图)) (第13题图))13．(2018·北京中考)如图所示的网格是正方形网格，∠BAC__＞__∠DAE(选填“＞”“＝”或“＜”)．14．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：__如∠C＝∠E，∠B＝∠ADE等__，使△ABC∽△ADE.(第14题图)) (第15题图))15．(2018·包头中考)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF.若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．52三、解答题(本大题共5小题，共50分)316．(8分)(2018·自贡中考)如图，在△ABC中，BC＝12， tan A＝ ，∠B＝30°；求AC和AB的长．34解：过点C作CH⊥AB于点H.在 Rt△BCH中，BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝ BC＝6，BH＝ ＝6 .12 BC2－ CH2 3在 Rt△ACH中， tan A＝ ＝ ，∴AH＝8.34 CHAH∴AC＝ ＝10，AH2＋ CH2AB＝AH＋BH＝8＋6 .317．(10分)(2018·株洲中考)如图， Rt△ABM和 Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN.(1)求证： Rt△ABM≌ Rt△AND；(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT＝ AD，求 tan ∠A BM的值．14解：(1)∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，∴ Rt△ ABM≌ Rt△AND( HL)；(2)∵ Rt△ABM≌ Rt△AND，∴∠DA N＝∠BAM，DN＝BM.∵∠BAM＋∠DAM＝90°，∠DAN＋∠ADN＝90°，∴∠DAM＝∠ADN，∴ND∥AM，∴△DNT∽△AMT，∴ ＝ .AMDN ATDT∵AT＝ AD，∴ ＝ ，∴ ＝ .14 ATDT 13 AMDN 13在 Rt△ABM中， tan ∠ABM＝ ＝ ＝ .AMBM AMDN 1318．(10分)(2018·滨州中考)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.求证：4(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；(2)连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴AB ＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ ＝ ，即AC 2＝AB·AD.ACAB ADAC∵AB＝2AO，∴AC 2＝2AD·AO.19．(10分)(2018·长沙中考)为加快 城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80 km，∠A＝45°，∠B＝30°.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1 km)(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)2 3解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D.5∵AB⊥CD，BC＝80，∠A＝45°，∠B＝30°，∴CD＝ BC＝40，12∴AC＝ CD＝40 ，2 2∴AC＋BC＝40 ＋80≈40×1.41＋80＝136.4.2答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4 km；(2)∵ cos 30°＝ ，BC＝80，BDBC∴BD＝BC· cos 30°＝80× ＝40 .32 3∵ tan 45°＝ ，CD＝40，CDAD∴AD＝CD＝40，∴AB＝AD＋BD＝40＋40 ≈109.2，3∴AC＋BC－AB≈136.4－109.2＝27.2.答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 km.20．(12分)(2018·嘉兴中考)如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8 m，PD＝2 m，CF＝1 m，∠DPE＝20°.当点P位于初始位置P 0时，点D与C重合(图2)．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．(1)上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°(图3)，为使遮阳效果最佳，点P需从P 0上调多少距离？(结果精确到0.1 m)(2)中午12：00时，太阳光线与地面垂直(图4)，为使遮阳效果最佳，点P在(1)的基础上还需上调多少距离？(结果精确到0.1 m)(参考数据： sin 70°≈0.94， cos 70°≈0.34， tan 70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73)2 3解：(1)图②中，当P位于初始位置时，CP 0＝2.6如图①，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P 0P1.∵∠P 1EB＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，∴∠AP 1E＝115°，∴∠CP 1E＝65°.∵∠DP 1E＝20°，∴∠CP 1F＝45°.∵CF＝P 1F＝1，∴∠C＝∠CP 1F＝45°，∴△CP 1F是等腰直角三角形，∴CP 1＝ ，2∴P 0P1＝CP 0－CP 1＝2－ ≈0.6.2答：为使遮阳效果最佳，点P需从P 0上调0.6 m；(2)如图②，中午12：00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调到P 2处，∴P 2E∥AB，∴∠CP 2E＝∠CAB＝90°.∵∠DP 2E＝20°，∴∠CP 2F＝70 °.过点F作FG⊥CP 2于点G.由CF＝P 2F＝1，得CP2＝2GP 2＝2×1× cos 70°≈0.68，∴P 1P2＝CP 1－CP 2＝ －0.68≈0.7.2答：点P在(1)的基础上还需上调0.7 m.