云南省曲靖市师宗县2018届中考数学横向复习 第四单元 图形的初步认识与三角形考点测试题（打包7套）.zip

1第四单元 图形的初步认识与三角形第 14 讲 角、相交线与平行线1．(2017·玉林)如图，直线 a，b 被 c 所截，则∠1 与∠2 是( B)A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角2．(2017·北京)如图所示，点 P 到直线 l 的距离是( B)A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度3．(2017·随州)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( A)A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4．下列命题中，是真命题的是( C)A．同位角相等B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．平行于同一条直线的两条直线平行D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离5．(2017·云南考试说明)若 AB⊥CD 于点 B，BE 是∠ABD 的平分线，则∠ABE 的度数为 45°．6．(2017·云南模拟)如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C＝30°．7．如图， Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且 BD∶CD＝3∶2，则点 D 到线段 AB的距离为 4．28．(2017·楚雄州双柏县一模)如图，直线 l1∥l 2，CD⊥AB 于点 D，∠1＝44°，则∠2 的度数为 46°．9．(2017·云南考试说明)在线段 AB 的延长线上取点 C，使 BC＝2AB，M 是线段 AC 的中点．若 AB＝30 cm，则线段BM 的长为 15cm.10．(2017·重庆)如图，直线 EF∥GH，点 A 在 EF 上，AC 交 GH 于点 B.若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点 D 在 GH上，求∠BDC 的度数．解：∵EF∥GH，∴∠ABD＋∠FAC＝180°.∴∠ABD＝180°－72°＝108°.∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.11．(2017·官渡区二模)如图，在△ABC 中，AB＝AC，边 AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D.若△BCD 的周长为 24 cm，BC＝10 cm，则 AB 的长为 14 cm.12．(2017·威海)如图，直线 l1∥l 2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝200°．13．两条直线相交只有 1 个交点，三条直线相交最多有 3 个交点，四条直线相交最多有 6 个交点，…，十条直线相交最多有 45 个交点．314．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝71°，则∠4 的度数是( C)A．19°B．71°C．109°D．119°1第 15 讲 三角形的基础知识1．下列图形具有稳定性的是( D)A．正方形 B．矩形C．平行四边形 D．直角三角形2．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( C)A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，103．(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，则这个三角形一定是( B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形4．(2017·曲靖市罗平县二模)如图，直线 AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E 等于( A)A．30° B．40° C．60° D．70°5．如图，一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD 的度数是( B)A．10° B．15° C．25° D．30°6．如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CD 相交于点 F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( C)A．118° B．119° C．120° D．121°7．(2017·徐州)△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，DE＝7，则 BC＝14．8．如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S △ACE ＝3 cm2，则 S△ABC ＝12_ cm2．9．如图，在△BCD 中，BC＝4，BD＝5.(1)求 CD 的取值范围；(2)若 AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C 的度数．2解：(1)∵在△BCD 中，BC＝4，BD＝5，∴1DC9.(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°.又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°.10．(2017·白银)已知 a，b，c 是△ABC 的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D)A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．011．(2017·郴州)小明把一副含 45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β 等于( B)A．180° B．210° C．360° D．270°12．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC.若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50°．13．(2017·遵义改编)如图，△ABC 的面积是 12，点 D，E，F，G 分别是 BC，AD，BE，CE 的中点，则△AFE 的面积为 1.5．14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA 的平分线交于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E，则∠ADE＝45°．21第 16 讲 等腰三角形1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 作 AD∥BC.若∠1＝50°，则∠CAD 的大小为( B)A．50° B．65° C．80° D．60°2．(2017·烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 AB∥CD，AE 与 AB 的夹角为 48°.若 CF 与 EF 的长度相等，则∠C 的度数为( D)A．48° B．40° C．30° D．24°3．(2017·荆州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD 的度数为( B)A．30° B．45° C．50° D．75°4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中，不正确的是( B)A．AD＝AE B．DE＝ EC12C．∠ADE＝∠C D．DB＝EC5．(2017·云南考试说明)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点E，已知∠BAE＝10°，则∠C 的度数为( B)A．30° B．40° C．50° D．60°6．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为 100°，则顶角的度数是 100°．7．(2017·楚雄州双柏县一模)等腰三角形两边长分别是 3 和 6，则该三角形的周长为 15．28．如图，直线 l1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点 B，C 分别在直线 l2，l 3上．若边 BC 与直线 l3的夹角∠1＝25°，则边 AB 与直线 l1的夹角∠2＝35°．9．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠CBE＝∠BAD.10．(人教八上 P82T6 变式)如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.(1)求∠C 的度数；(2)求证：△ADE 是等边三角形．解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB.∴∠ADC＝∠AEB＝60°.∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°.∴△ADE 是等边三角形．11．(2017·云南考试说明)某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，如图所示．已知 AC＝BC＝8 m，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为 D.求：(1)∠ACB 的大小；(2)AB 的长度．解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠A＝∠B＝30°.3∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－30°＝120°.(2)∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AB＝2AD.在 Rt△ADC 中，∠A＝30°，AC＝8，∴AD＝AC· cosA＝8× ＝4 (m)．32 3∴AB＝2AD＝8 m.312．(2017·台州)如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是( C)A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE第 12 题图13．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为( B)A．40° B．36° C．30° D．25°14．(易错易混)(2017·武汉)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D)A．4 B．5 C．6 D．715．(人教八上 P83T10 变式)如图 1，△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，分别交AB，AC 于 E，F.(1)EF 与 BE、CF 之间有什么关系？ (2)如图 2，若△ABC 中，∠B 的平分线与三角外角∠ACD 的平分线 CO 交于点 O，过点 O 作 OE∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，EF 与 BE，CF 之间又有怎样的数量关系，并给予证明．4解：(1)∵BO 平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC.∴∠EOB＝∠EBO.∴OE＝BE.同理 CF＝OF.∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF，即 BE＋CF＝EF.(2)EF＝BE－CF.证明：∵BO 平分∠ABC，∴∠EBO＝∠CBO.∵OE∥BC，∴∠EOB＝∠OBC.∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.同理：CF＝OF.∴EF＝OE－OF＝BE－CF.1第 17讲 直角三角形1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( B)A. ， ， B．1， ，3 4 5 2 3C．6，7，8 D．2，3，42．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB的中点 M与点 C被湖隔开．若测得 AM的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( D)A．0.5 km B．0.6 kmC．0.9 km D．1.2 km3．(2017·云南考试说明)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B到点 C上升的高度 h是( B)A. m B．4 m C．4 m D．8 m833 34．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B的坐标为( D)A．(1，1) B．( ，1) 3C．( ， ) D．(1， )3 3 35．(2017·大连)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E是 AB的中点，CD＝DE＝a，则 AB的长为( B)A．2a B．2 a C．3a D. a24336．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7米，顶端距离地面 2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2米，那么小巷的宽度为( C)A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米27．(2017·益阳)如图，△ABC 中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD 是 AB边上的中线，则 CD＝6.5．8．(2017·楚雄州双柏县二模)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，ED 垂直平分 AC交 AB于点 E，则 ED的长为 3．9．(2017·淮安)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，点 F是 AD的中点．若AB＝8，则 EF＝2．10．(2016·西宁)如图，OP 平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA 于点 D，PC＝4，则 PD＝2．11．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB的中点，CD＝BC＝2，求点 D到 AC的距离．解：过 D作 DE⊥AC 于 E，∵△ABC 为直角三角形，且 D为 AB的中点，∴CD＝DB＝DA.而 CD＝BC，∴△DBC 为等边三角形．∴∠B＝60°.∴∠A＝30°.∴DE＝ AD＝1，12即点 D到 AC的距离为 1.12．(2017·云南考试说明)将宽为 2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 PQ的长是( B)3A. cm233B. cm433C. cm5D．2 cm13．(2017·淮安)如图，在矩形纸片 ABCD中，AB＝3，点 E在边 BC上，将△ABE 沿直线 AE折叠，点 B恰好落在对角线 AC上的点 F处．若∠EAC＝∠ECA，则 AC的长是( B)A．3 B．6 C．4 D．5314．(2017·毕节)如图， Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，斜边 AB＝9，D 为 AB的中点，F 为 CD上一点，且 CF＝ CD，13过点 B作 BE∥DC 交 AF的延长线于点 E，则 BE的长为( A)A．6 B．4 C．7 D．1215．(2017·常德)如图，已知 Rt△ABE 中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D 是线段 AE上的一动点，过 D作 CD交 BE于 C，并使得∠CDE＝30°，则 CD长度的取值范围是 0＜CD≤5．16．(2016·益阳)在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．→ →作 AD⊥ BC于 D，设 BD＝ x， 用 含 x的 代 数 式 表 示 CD根 据 勾 股 定 理 ， 利 用AD作 为 “桥 梁 ”， 建立 方 程 模 型 求 出 x利 用 勾 股 定 理 求出 AD的 长 ， 再 计算 三 角 形 面 积解：如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设 BD＝x，∴CD＝14－x.由勾股定理，得 AD2＝AB 2－BD 2＝15 2－x 2，4AD2＝AC 2－CD 2＝13 2－(14－x) 2，∴15 2－x 2＝13 2－(14－x) 2.解得 x＝9.∴AD＝12.∴S △ABC ＝ BC·AD＝ ×14×12＝84.12 1217．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AC＝ 8 cm，动点 P从 A出发，以 2 cm/s的速度沿 AB移动到B，则点 P出发 2或 2.5或 1.4s时，△BCP 为等腰三角形．1第 18 讲 全等三角形1．如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是( C)A．AB＝DE B．∠A＝∠DC．BC＝CD D．∠ACD＝∠BCE2．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C，D，则下列结论错误的是( B)A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2 为( B)A．40° B．50° C．60° D．75°4．如图，在等边△ABC 中，M，N 分别在 BC，AC 上移动，且 BM＝CN，AM 与 BN 相交于点 Q，则∠BAM＋∠ABN 的度数是( A)A．60° B．55° C．45° D．不能确定5．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．6．(2017·云南考试说明)如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 上的点，已知 DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：AD＝FE 或 AF＝FC 或 DF＝EC，使△ADF≌△FEC.27．(2017·云南考试说明)如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 l，过 A，C 两点作 l 的垂线，垂足分别为 E，F.若 AE＝1，CF＝3，则 AB 的长度为 ．108．(2017·昆明市五华区一模)如图，在△ABC 和△CED 中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：∠B＝∠E.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.在△ABC 和△CED 中， ，{AB＝ CE，∠ BAC＝ ∠ ECDAC＝ CD， )∴△ABC≌△CED( SAS)．∴∠B＝∠E.9．(2017·红河州个旧市二模)如图，点 A，B，C，D 在同一直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.求证：AE＝FC.证明：∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠D.在△ABE 和△FDC 中， {∠ ABE＝ ∠ D，AB＝ FD，∠ A＝ ∠ F， )∴△ABE≌△FDC( ASA)．∴AE＝FC.10．(2017·云南模拟)如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°，求∠EBC 的度数．3解：(1)证明：∵在△ABE 和△DCE 中，{∠ A＝ ∠ D，∠ AEB＝ ∠ DEC，AB＝ DC， )∴△ABE≌△DCE( AAS)．(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.11．(2017·滨州)如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形 PMON 的面积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为( B)A．4 B．3 C．2 D．1提示：正确的结论有①②③.12．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE，连接 AE，BD 交于点 O，则∠AOB 的度数为120°．13．(2017·达州)△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是△ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围是 1＜m＜4．提示：辅助线为倍长中线．14．(2017·楚雄州永仁县一模)如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 边上的点，且 AE＝BF.(1)求证：DE＝AF；(2)直接写出∠AOF 的度数．4解：(1)证明：连接 AF、DE.∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD.在△ABE 和△BCF 中， {AB＝ CB，AE＝ BF， )∴△ABE≌△BCF( HL)．∴BE＝CF.∵BC＝CD，∴EC＝DF.在△ADF 和△DCE 中， {AD＝ DC，∠ ADF＝ ∠ C，DF＝ CE， )∴△ADF≌△DCE( SAS)．∴DE＝AF.(2)∠AOF＝90°.15．(2017·哈尔滨)已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接 AE，BD 交于点O，AE 与 DC 交于点 M，BD 与 AC 交于点 N.(1)如图 1，求证：AE＝BD；(2)如图 2，若 AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四对全等的直角三角形．图 1 图 2解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.∴∠BCD＝∠ACE.在△ACE 与△BCD 中，{AC＝ BC，∠ ACE＝ ∠ BCD，CE＝ CD， )∴△ACE≌△BCD( SAS)．∴AE＝BD.(2)△ACB≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.516．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是(2，0)，点 B 的坐标是(0，4)，点 C 在 x 轴上运动(不与点 A 重合)，点 D 在 y 轴上运动(不与点 B 重合)，当点 C 的坐标为(－4，0)，(4，0)时，以点 C，O，D 为顶点的三角形与△AOB 全等．1第 19 讲 相似三角形1．(2017·兰州)已知 2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( A)A. ＝ B. ＝ xy 32 x3 2yC. ＝ D. ＝xy 23 x2 y32．(2017·杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC.若 BD＝2AD，则( B)A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ADAB 12 AEEC 12 ADEC 12 DEBC 123．(2017·楚雄州永仁县一模)如图，在△ABC 中，AD，BE 是两条中线，则 S△EDC ∶S △ABC ＝( B)A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．2∶34．(2017·昆明五华区一模)如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C)A. B. C. D.5．(2017·云南考试说明)如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，E 是边 BC 延长线上一点，AE 与 CD 相交于点 F，则图中的相似三角形(含全等)共有( C)A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对6．(2017·罗平县模拟)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，请添加一个条件：∠AED＝∠B(答案不唯一)，使△ABC∽△AED.27．(2017·天水)如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米．8．(2017·昆明市官渡区二模)如图，AB，CD 相交于点 O，OC＝4，OD＝6，AC∥BD，EF 是△ODB 的中位线，且EF＝4，则 AC 的长为 ．1639．将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20 cm，点 O 为正方形的中心，AB＝5 cm，则 CD 的长为 20cm.10．(2017·江西)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在 AB，BC，CD 上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴∠BEF＝∠CFG.∴△EBF∽△FCG.11．(2017·云南考试说明)如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F.求证：(1)△ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.3证明：(1)∵ ＝ ， ＝ ＝ ，ACDC 32 BCEC 64 32∴ ＝ .ACDC BCEC又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE.(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠B＝∠E.又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠E＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.12．(2017·云南考试说明)如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形，则 a，b，c 满足的关系式是( A)A．b＝a＋c B．b＝acC．b 2＝a 2＋c 2 D．b＝2a＝2c13．(2017·大理市模拟)如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1.点 D 在 AB 边上，点 E 在 CB 的延长线上，已知 AD＝1，BE＝1，连接 ED 并延长交 AC 于点 F，则线段 AF 的长为( B)A. B. C. D．125 35 45提示：过点 B 作 BM∥AC 交 EF 于点 M，则△BDM∽△ADF.14．(2017·云南考试说明)如图，已知△ABC，延长 BC 到点 D，使 CD＝BC，取 AB 的中点 F，连接 FD 交 AC 于点 E.(1)求 的值；AEAC(2)若 AB＝a，FB＝EC，求 AC 的长．解：(1)过点 F 作 FM∥AC，交 BC 于点 M .∵F 为 AB 的中点，4∴M 为 BC 的中点，FM＝ AC.12由 FM∥AC，得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD，∴△ECD∽△FMD.∴ ＝ ＝ .DCDM ECFM 23∴EC＝ FM＝ × AC＝ AC.23 23 12 13∴ ＝ ＝ ＝ .AEAC AC－ ECAC AC－ 13ACAC 23(2)∵AB＝a，∴FB＝ AB＝ a.12 12又∵FB＝EC，∴EC＝ a.12∵EC＝ AC，∴AC＝3EC＝ a.13 3215．(2017·泰安)如图，四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，AC 平分∠BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若 AC 与 BD 相交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长．解：(1)证明：∵AB＝AD，AC 平分∠BAD，∴AC⊥BD.∴∠ACD＋∠BDC＝90°.又∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∴∠ADC＋∠BDC＝90°.∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°.∴∠BDC＝∠PDC.(2)过点 C 作 CM⊥PD 于点 M.∵∠BDC＝∠PDC，CM⊥PD，CE⊥BD，∴CE＝CM.∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD.∴ ＝ .CMAD PCPA设 CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝ x.32∵AB＝AD＝AC＝1，∴ ＝ ，解得 x＝ .x132x32x＋ 1 135∴AE＝AC－CE＝1－ ＝ .13 2316．(人教版九下教材 P42T4 变式)如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，AC，BC 上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，DE＝4，则 FC 的长为 ．1251第 20讲 解直角三角形1．(2017·天津) cos60°的值等于( D)A. B．1 C. D.322 122．(2017·湖州)如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 cosB的值是( A)A. B. C. D.35 45 34 433．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， sinA＝ ，AC＝6 cm，则 BC的长度为( C)45A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm4．如图，以 O为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM交于点 A，再以 A为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B，画射线 OB，则 sin∠AOB 的值等于( C)A. B. C. D.12 22 32 35．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， sinA＝ ，则 tanB的值为( D)513A. B. C. D.1213 512 1312 1256．(2017·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为 1)，AD⊥BC 于 D，下列选项中，错误的是(C)A． sinα＝ cosα B． tanC＝2C． sinβ＝ cosβ D． tanα＝17．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D是 CB延长线上的一点，且 BD＝BA，则 tan∠DAC的值为( A)A．2＋ B．2 C．3＋ D．33 3 3 38．(2017·益阳)如图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线 BC的长度为2(A，D，B 在同一条直线上)( B)A. B. C. D．h· cosαhsinα hcosα htanα9．(2017·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(3，4)，那么 sinα 的值是( C)A. B. C. D.35 34 45 4310．(2017·烟台)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ ，则 sin ＝ ．3A2 1211．(2017·泰州)小明沿着坡度 i为 1∶ 的直路向上走了 50 m，则小明沿垂直方向升高了 25m.312．(2017·云南模拟)如图，测量河宽 AB(假设河的两岸平行)，在 C点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，又 CD＝100 m，则河宽 AB为 50 m.(结果保留根号)313．(2017·云南考试说明)如图，小明将一副三角板摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．已知 CD＝2，求 AC的长．解：由题意，得∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，∠DCB＝45°，∠BAC＝60°.在 Rt△BCD 中，∵CD＝2，∠DCB＝45°，∴BC＝ ＝2 .CDcos∠ DCB 2在 Rt△ABC 中，∵∠BAC＝60°，BC＝2 ，2∴AC＝ ＝ .BCsin∠ BAC 43614．(2017·昆明官渡区模拟)如图，从热气球 C上测得两建筑物 A，B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果这时气球的高度 CD为 120米，且点 A，D，B 在同一直线上，求建筑物 A，B 间的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.414， ≈1.732)2 3解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝120，EF∥AB，CD⊥AB 于点 D.3∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°.∴∠ACB＝90°.在 Rt△ACD 中，∠CDA＝90°， tanA＝ ，CDAD∴AD＝ ＝ ＝120 .CDtanA 12033 3在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°， tanB＝ ，CDDB∴DB＝ ＝ ＝40 .CDtanB 1203 3∴AB＝AD＋BD＝120 ＋40 ＝160 ≈277(米)．3 3 3答：建筑物 A，B 间的距离为 277米．15．下列式子错误的是( D)A． cos40°＝ sin50° B． tan15°·tan75°＝1C． sin225°＋ cos225°＝1 D． sin60°＝2 sin30°16．(2017·红河州个旧市二模)为给人们的生活带来方便，2017 年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图 1是公共自行车的实物图，图 2是公共自行车的车架示意图，点 A，D，C，E 在同一条直线上，CD＝35 cm，DF＝24 cm，AF＝30 cm，FD⊥AE 于点 D，座杆 CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求 AD的长；(2)求点 E到 AB的距离．(结果保留整数)(参考数据： sin75°≈0.97， cos75°≈0.26， tan75°≈3.73)图 1 图 2解：(1)在 Rt△ADF 中，AF＝30，DF＝24，由勾股定理，得 AD＝ ＝ ＝18 ( cm)．AF2－ DF2 302－ 242(2)过点 E作 EH⊥AB，垂足为 H.∵AE＝AD＋DC＋CE＝68，∴EH＝AE sin75°＝68 sin75°＝68×0.97＝65.96≈66( cm)．∴车座点 E到车架档 AB的距离约是 66 cm.17．在如图的正方形网格中， sin∠AOB 的值为( D)4A.12B．2C.55D.255