1、1高中数学 第二章 推理与证明教材习题点拨 新人教 A 版选修 1-2复习参考题A 组1解：第个图形如下图所示第个图形，中心有 1 个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，每个方向有一个圆圈，共有(11) 21个圆圈；第个图形，中心有 1 个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有(21) 22个圆圈；第个图形，中心有 1 个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有(31) 23个圆圈；由上面的变化规律，可猜测，第 n 个图形中心有 1 个圆圈，另外的圆圈指向 n 个方向，每个方向有( n1)个圆圈，共有( n1)1 2( n1)( n2 n1)个圆圈即第 n 个图形中共有
2、 n(n1)1( nN *)个圆圈2解： (nN *)3个点拨： 3， 33， 333，猜测11 2 9 1 111 22 111 111 222212=nnn 个 个 个3解：因为 f(2) f2(1)4，所以 f(1)2， f(3) f(2)f(1)8， f(4) f(3)f(1)16，猜想 f(n)2 n.4证明：如图，设 O 是四面体 A BCD 内任意一点，连结 AO、 BO、 CO、 DO 并延长交对面于 A、 B、 C、 D，则 1.OAAA OBBB OCCC ODDD用体积法证明： OAAA OBBB OCCC ODDD VO BCDVA BCD VO CDAVB CDA V
3、O DABVC DAB VO ABCVD ABC1.VA BCDVA BCD25证明：要证(1tan A)(1tan B)2，只需证 1tan Atan Btan Atan B2，即证 tan Atan B1tan Atan B由 A B ，得 tan(A B)1.54又因为 A B k ， 2所以 1，tan A tan B1 tan Atan B变形即得式所以命题得证B 组1解：(1)25 条线段，16 部分；(2)n2条线段；(3) 部分n2 n 222证明：因为 BSC90，所以 BSC 是直角三角形在 Rt BSC 中，有 BC2 SB2 SC2.类似地，得 AC2 SA2 SC2，
4、 AB2 SB2 SA2.在 ABC 中，根据余弦定理，得cos A 0；AB2 AC2 BC22ABAC SA2ABACcos B 0；AB2 BC2 AC22ABBC SB2ABBCcos C 0.BC2 AC2 AB22BCAC SC2BCAC因此， A、 B、 C 均为锐角，从而 ABC 是锐角三角形3证明：要证 cos 4 cos 4 3，3因为 cos 4 4cos 4 cos(22 )4cos(22 )12sin 22 4(12sin 22 )18sin 2 cos2 4(18sin 2 cos2 )18sin 2 (1sin 2 )418sin 2 (1sin 2 )，只需证 18sin 2 (1sin 2 )418sin 2 (1sin 2 )3.由已知条件，得 sin ，sin 2 sin cos .sin cos 2代入上式的左端，得 18sin 2 (1sin 2 )418sin 2 (1sin 2 )38sin cos (1sin cos )32sin 2 (1sin 2 )38sin cos 8sin 2 cos2 2(12sin cos )(32sin cos )38sin cos 8sin 2 cos2 68sin 2 cos2 8sin cos 3，因此，cos 4 cos 4 3.
