1、1高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第 1 课时）自我小测 新人教 A 版选修 1-21命题“对于任意角 ，cos 4 sin 4 cos 2 ”的证明：“cos4 sin 4 (cos 2 sin 2 )(cos2 sin 2 )cos 2 sin 2 cos 2 ”，其过程应用了( )A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法2已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出下列四个命题：若 ，则 l m；若 l m，则 ；若 ，则 l m；若 l m，则 .其中正确的命题的个数是( )A1 B2 C3 D43在 R 上定义运算 ： a b ab2 a
2、 b，则满足 x (x2)0 的实数 x 的取值范围为( )A(0,2) B(2,1)C(，2)(1，) D(1,2)4在不等边三角形中， a 为最长边，要想得到 A 为钝角的结论，三边 a， b， c 应满足条件( )A a2 b2 c2 B a2 b2 c2C a2 b2 c2 D a2 b2 c25已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，则 f(9)的值为_6设 a0， b0， c0，若 a b c1，则 的最小值为_1a 1b 1c7平面内有四边形 ABCD 和点 O， ，则四边形 ABCD 为_OA OC OB OD 8已知 a0，求证： a 2.a2 1a2
3、 2 1a9如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF AC， AB ， CE EF1.22(1)求证： AF平面 BDE；(2)求证： CF平面 BDE.10已知 ABC 的三边 a， b， c 的倒数成等差数列试分别用分析法和综合法证明 B为锐角3参考答案1解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路答案：B2解析：若 l ， m ， ，则 l ，所以 l m，正确；若 l ， m ， l m， 与 可能相交，不正确；若 l ， m ， ， l 与 m 可能平行，不正确；若 l ， m ， l m，则 m ，所以 ，正确答案：B3
4、解析： x (x2) x(x 2)2 x x20 x2 x20 2 x1.答案：B4解析：由 cos A 0，知 b2 c2 a20，所以 a2 b2 c2.b2 c2 a22bc答案：C5解析： f(x2) f(x)， f(x22) f(x2) f(x)， T4.则 f(9) f(1)又 f(x2) f(x)，令 x1，得 f(1) f(1)而 f(x)是偶函数， f(1) f(1) f(1)0.故 f(9)0.答案：06解析：因为 a b c1，且 a0， b0， c0，所以 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc3 ba ab cb bc ac ca32 2 2baa
5、b caac cbbc369.当且仅当 a b c 时等号成立答案：97解析：因为 ，OA OC OB OD 所以 ，OA OB OD OC 所以 ，故四边形 ABCD 为平行四边形BA CD 4答案：平行四边形8证明：要证 a 2，a2 1a2 2 1a只要证 2 a .a2 1a2 1a 2因为 a0，只需证2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 41a2 a2 1a2 a22 2 2，1a2 2(a 1a)从而只需证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只需证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，1a2而上述不等式显然成立故原不等式成立9证明：(
6、1)设 AC， BD 的交点为 G，连接 EG，因为 EF AG，且 EF1，AG AC1，12所以四边形 AGEF 为平行四边形，所以 AF EG.因为 EG 平面 BDE， AF 平面 BDE，所以 AF平面 BDE.(2)连接 FG.因为 EF CG， EF CG1，且 CE1，所以四边形 CEFG 为菱形，所以 CF EG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD AC，又因为平面 ACEF平面 ABCD，5且平面 ACEF平面 ABCD AC，所以 BD平面 ACEF.所以 CF BD.又 BD EG G，所以 CF平面 BDE.10分析：在 ABC 中，要证 B 为锐角，只要证
7、cos B0，结合余弦定理可解决问题证法一：(分析法)：要证明 B 为锐角，只需证 cos B0.cos B ，a2 c2 b22ac只需证明 a2 c2 b20，即 a2 c2 b2.又 a2 c22 ac，只需证明 2ac b2.由已知 ，即 2ac b(a c)，2b 1a 1c只需证明 b(a c) b2，即只需证明 a c b.而 a c b 成立， B 为锐角证法二：(综合法)：由题意，得 ，2b 1a 1c a cac则 b ， b(a c)2 ac.2aca c a c b， b(a c)2 ac b2.cos B 0.a2 c2 b22ac 2ac b22ac又0 B，0 B
8、 ，即 B 为锐角 2备选习题1解析：当 n 为偶数时， a2 ，而 2 2 ，1n 1n 12 32 a .32当 n 为奇数时， a2 ，而2 2，1n 1n a2.综上可得2 a .32答案： 2，32)2证明：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y122 px1， y222 px2.因为 OA OB，所以 x1x2 y1y20.所以 y12y222 px12px24 p2x1x24 p2y1y2.6所以 y1y24 p2.所以 x1x2 y1y24 p2，所以 x1x2， y1y2都是定值，即 A， B 两点的横坐标之积和纵坐标之积都是定值点评：对直线与抛物线的交点设而
9、不求，是解答有关问题的一种常见的方法3证法一：(分析法)：要证( a b)1 ( b c)1 3( a b c)1 ，即证 ，1a b 1b c 3a b c只需证 3，a b ca b a b cb c化简，得 1，ca b ab c即 c(b c)( a b)a( a b)(b c)，所以只需证 c2 a2 b2 ac.因为 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，所以 B60.所以 cos B .a2 c2 b22ac 12所以 a2 c2 b2 ac.所以原式成立证法二：(综合法)：因为 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，得 b2 c2 a22 accos 60，所以 c2 a2 ac b2.两边加 ab bc，得 c(b c) a(a b)( a b)(b c)，两边同时除以( a b)(b c)，得 1，ca b ab c所以 3，(ca b 1) ( ab c 1)即 ，1a b 1b c 3a b c所以( a b)1 ( b c)1 3( a b c)1 .
