1、1高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法自我小测 新人教 A版选修 2-21用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (nN *， a1)，在验证 n1 时，1 an 21 a左边所得的项为( )A1 B1 a a2C1 a D1 a a2 a32用数学归纳法证明“凸 n(n3， nN)边形的内角和公式”时，由 n k到n k1 时增加的是( )A B C D22 323利用数学归纳法证明 1( nN *，且 n2)时，第二步由 k1n 1n 1 1n 2 12n到 k1 时不等式左端的变化是( )A增加了 这一项12k 1B增加了 和 两项12k 1 12k 2C增加了 和 两项，同
2、时减少了 这一项12k 1 12k 2 1kD以上都不对4用数学归纳法证明“当 n为正奇数时， xn yn能被 x y整除”的第二步是( )A假设 n k(kN *)时正确，再推 n k1 时正确B假设 n k(kN *)时正确，再推 n k2 时正确C假设 n2 k1( kN *)时正确，再推 n2 k3 时正确D假设 n2 k1( kN *)时正确，再推 n2 k1 时正确5设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k) k2成立时，总可推出 f(k1)( k1) 2成立” ，那么，下列命题总成立的是( )A若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k2
3、成立B若 f(5)25 成立，则当 k5 时，均有 f(k) k2成立C若 f(7)49 成立，则当 k8 时，均有 f(k) k2成立D若 f(4)25 成立，则当 k4 时，均有 f(k) k2成立6用数学归纳法证明 1 n(nN *且 n1)时，假设当 n k时不等12 13 12n 1式成立，则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_27用数学归纳法证明(11)(22)(33)( n n)2 n1 (n2 n)时，从 n k到n k1 左边需要添加的因式是_8用数学归纳法证明“ n35 n能被 6整除”的过程中，当 n k1 时，对式子( k1)35( k1)应变形为_9已知数列 an
4、的第一项 a15 且 Sn1 an(n2， nN *)(1)求 a2， a3， a4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明 an的通项公式10用数学归纳法证明对一切 nN *,1 .122 132 1n2 3n2n 13参考答案1B2解析：如图，由 n k到 n k1 时，凸 n边形的内角和增加的是：123，故选 B答案：B3解析：不等式左端共有 n1 项，且分母是首项为 n，公差为 1，末项为 2n的等差数列，当 n k时，左端为 ；当 n k1 时，左端为 1k 1k 1 1k 2 12k 1k 1 1k 2 ，对比两式，可得结论1k 3 12k 12k 1 12k 2答案：C
5、4解析：因为 n为正奇数，据数学归纳法证题步骤知，第二步应先假设第 k(kN *)个正奇数成立，本题即假设 n2 k1( kN *)时正确，再推第 k1 个正奇数即 n2 k1时正确答案：D5解析：对于 A项， f(3)9，加上题设可推出当 k3 时，均有 f(k) k2成立，故A项错误对于 B项，要求逆推到比 5小的正整数，与题设不符，故 B项错误对于 C项，没有奠基部分，即没有 f(8)8 2，故 C项错误对于 D项， f(4)254 2，由题设的递推关系，可知结论成立，故选 D项答案：D61 k112 13 12k 1 12k 12k 1 12k 1 17解析：当 n k时，左边(11)
6、(22)(33)( k k)，当 n k1 时，左边(11)(22)(33)( k k)(k1 k1)，比较两式可知，由 n k到 n k1，左边需添加的因式为(2 k2)答案：2 k28解析：采取凑配法，凑出归纳假设 k35 k来，( k1) 35( k1)4 k33 k23 k15 k5( k35 k)3 k(k1)6.答案：( k35 k)3 k(k1)69(1)解： a2 S1 a15， a3 S2 a1 a210，a4 S3 a1 a2 a3551020，猜想 an52 n2 (n2， nN *)(2)证明：当 n2 时， a252 22 5，猜想成立假设当 n k时成立，即 ak5
7、2 k2 (k2， kN *)，当 n k1 时，由已知条件和假设有ak1 Sk a1 a2 ak551052 k25 52 k1 .5(1 2k 1)1 2故 n k1 时，猜想也成立由可知，对 n2， nN *，有 an52 n2 ，所以数列 an的通项 anError!10证明：(1)当 n1 时，左边1，右边 1，不等式成立3121 1(2)假设当 n k时，不等式成立，即 1 ，122 132 1k2 3k2k 1则当 n k1 时，要证 1 ，122 132 1k2 1(k 1)2 3(k 1)2(k 1) 1只需证 .3k2k 1 1(k 1)2 3(k 1)2k 3因为 3(k 1)2k 3 3k2k 1 1(k 1)2 34(k 1)2 1 1(k 1)21 (k 1)2(k 1)24(k 1)2 1 0， k(k 2)(k 1)2(4k2 8k 3)所以 ，3k2k 1 1(k 1)2 3(k 1)2k 3即 1 ，122 132 1k2 1(k 1)2 3(k 1)2(k 1) 1所以当 n k1 时不等式成立由(1)(2)知，不等式对一切 nN *都成立5
