1、1第三章 导数应用单元检测(时间：45 分钟，满分：100 分)一、选择题(每题 5 分，共 40 分)1已知函数 y2 x36 x218 x7，则下列结论正确的是( )A在 x1 处取得极大值 17，在 x3 处取得极小值47B在 x1 处取得极小值 17，在 x3 处取得极大值47C在 x1 处取得极小值17，在 x3 处取得极大值 47D以上答案都不对2对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足( x a)f( x)0，则必有( )A f(x) f(a) B f(x) f(a) C f(x) f(a)D f(x) f(a)3内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )A B
2、C D2332R32R4已知二次函数 f(x) ax2 bx c 的导数为 f( x)， f(0)0，对于任意实数 x都有 f(x)0，则 的最小值为( )10fA3 B C D252325函数 f(x) ax3 bx2 cx 在 x 处有极值，则 ac2 b 的值为( )1aA3 B3 C0 D16已知函数 f(x) x3 px2 qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点，则 f(x)的极值为( )A极大值为 ，极小值为 0 B极大值为 0，极小值为47 427C极小值为 ，极大值为 0 D极小值为 0，极大值为2 7已知函数 y x33 x，则它的单调递增区间为( )A(，0) B(1,1)
3、 C(0，) D(，1)和(1，)8 M， m 分别是函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值，若 m M，则 f( x)( )A等于 0 B小于 0 C等于 1 D不确定二、填空题(每题 5 分，共 15 分)9若 f(x) x33 x26 x2，则 f(x)， x1,1的最大值为_，最小值为_10函数 y x3 x25 x5 的单调递减区间为_11若 x2 是函数 f(x) x(x m)2的极大值点，则函数 f(x)的极大值为_三、解答题(每题 15 分，共 45 分)12要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为多少？213设函数 f(x)2 x33( a1)
4、 x21，其中 a1.(1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论 f(x)的极值14(2012 重庆高考，理 16)设 f(x) aln x 1，其中 aR，曲线 y f(x)在32点(1， f(1)处的切线垂直于 y 轴(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值3参考答案1. 答案：A 解析： y6 x212 x18，令 y0，得 x11， x23，当 x 变化时，f( x)的符号、 f(x)的单调性和极值的变化如下：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值当 x1 时， f(x)取得极大值 f(1)17，当 x3 时， f(x)取得极小值
5、f(3)47.2. 答案：B 解析：由( x a)f( x)0 知，当 x a 时 f( x)0，当 x a 时 f( x)0.当 x a 时，函数 f(x)取得最小值，则 f(x) f(a)3. 答案：A 解析：设圆柱高为 2h，则底面半径为 ，圆柱的体积为2RhV( R2 h2)2h2 R2h2 h3.令 V0，得 2 R26 h20， h ，3即当 2h 时，圆柱体的体积最大R4. 答案：D 解析： f( x)2 ax b， f(0) b0.对任意实数 x 都有 f(x)0，得a0， b24 ac0， b24 ac， c0， 1 1112(当且仅当 a c 时，取“”)(1)facb 2
6、ac5. 答案：B 解析： f( x)3 ax22 bx c， 0，fa32 b ac0， ac2 b3.6. 答案：A 解析： f( x)3 x22 px q， f(1)32 p q0，2 p q3.函数图像过点(1,0)，1 p q0，即 p q1.由得 p2， q1，即 f(x) x32 x2 x. f( x)3 x24 x1( x1)(3 x1)令 f( x)0，解得 x11， x2 .当 x 时， f( x)0，4当 x1 时， f( x)0，3当 x1 时， f( x)0，故 f(x)在 x 处取得极大值 ，在 x1 处取得极小值 0.4277. 答案：D 解析： y3 x23，令
7、 y0，3 x230， x1 或 x1， y x33 x 的单调递增区间为(，1)和(1，)8. 答案：A 解析： M， m 分别是函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值且 M m，函数 f(x)在 a， b上是常量函数，即 f(x) M m， f( x)0.9. 答案：2 12 解析： f( x)3 x26 x63( x22 x2)3( x1) 210，函数 f(x)在1,1上是增加的， f(x)max f(1)2， f(x)min f(1)12.10. 答案： 解析：令 y3 x22 x50，得 x1.5,13 311. 答案：32 解析： f(x) x32 mx2 m2x， f(
8、x)3 x24 mx m2， f(2)0，128 m m20， m2 或 m6.当 m2 时， f( x)3 x28 x4.令 f( x)0，则 x12， x2 ，当 x 或 x2 时， f( x)0，当 x2 时， f( x)0，3 f(2)是极小值， m2 应舍去当 m6 时， f( x)3 x224 x36.令 f( x)0 时， x12， x26，当 x2 或 x6 时， f( x)0，当 2 x6 时， f( x)0， f(2)是极大值， f(2)2(26) 232.12. 解：设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 cm.20x其体积为 V (20 2 x2)x (400 x x3)
9、(0 x20)1315令 V0，解得 x1 ， x2 (舍去)0303当 0 x 时， V0，23当 x20 时， V0，当 x 时， V 取得最大值，即当高为 cm 时，圆锥形漏斗的体积最大20313. 解：由已知得 f( x)6 xx( a1)，令 f( x)0，解得 x10， x2 a1.(1)当 a1 时， f( x)6 x20， f(x)在(，)上单调递增当 a1 时， f( x)6 xx( a1)， f( x)的符号、 f(x)的单调性及极值随 x 的变化情况如下：x (，0) 0 (0， a1) a1 (a1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值由表可知，函数 f(x)
10、在(，0)上单调递增，在(0， a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增(2)由(1)知，当 a1 时，函数 f(x)没有极值，当 a1 时，函数 f(x)在 x0 处取得极大值 1，在 x a1 处取得极小值 1( a1) 3.14. 解：(1)因 f(x) aln x 1，故 f( x) .223由于曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 f(1)0，从而 a 0，解得 a1.32(2)由(1)知 f(x)ln x 1( x0)，132f( x) .2 21(1)令 f( x)0，解得 x11，x2 .23 因 不 在 定 义 域 内 ,舍 去当 x(0,1)时， f( x)0，故 f(x)在(0,1)上为减函数；当 x(1，)时， f( x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3.
