1、151 估计总体的分布整 体 设 计教学分析 教科书通过问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率分布折线图教科书在本节主要介绍了有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想由于可以用样本频率分布直方图估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估
2、计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估计总体的分布特征三维目标 1通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法2在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法3通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地作出总体估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系重点难点 教学重点：会列频率分布表、
3、画频率分布直方图和频率折线图教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布课时安排 1 课时 教 学 过 程导入新课 思路 1.在美国男子篮球职业联赛的 20112012 赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33.请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员在 20112012 赛季中，哪一位发挥比较稳定吗？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容用样本的频率分布估计总体
4、分布(板书课题)思路 2.如下样本是随机抽取近年来北京地区 7 月 25 日至 8 月 24 日的日最高气温41.9 37.5 35.7 35.4 37.2 38.1 34.7 33.7 33.37 月 25 日至 8 月 10日 32.5 34.6 33.0 30.8 31.0 28.6 31.5 28.828.6 31.5 28.8 33.2 32.5 30.3 30.2 29.8 33.18 月 8 日至8 月 24 日 32.8 29.8 25.6 24.7 30.0 30.1 29.5 30.3怎样通过上表中的数据，分析比较两时间段内的高温(33 )状况？这就是我们这堂课要研究、学习
5、的主要内容用样本的频率分布估计总体分布思路 3.讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况， 应该怎样进行抽样？提问：我们学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢？讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？(从中寻找所包含的信息，用样本去估计总体)2指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征(平均数、标准差等)估计总体的数字特征这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容用样本的频率分布估计总体分布推进新课 Error!Error!1我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一
6、个居民月用水量标准 a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准 a 定为多少比较合理呢 ？你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？(让学生展开讨论)2什么是频率分布？3频率分布直方图的特征是什么？4什么是频率分布折线图？讨论结果：1为了制定一个较为合理的标准 a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格来改变数据的排列方式，
7、作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式下面我们学习的频率分布表和频率分布直方图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况2频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布3频率分布直方图的特征：(1)通过频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势(2)通过频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不
8、同，得到的图和形状也会不同不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断4连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图Error!思路 1例1895 年，在英国伦敦有 106 块男性头盖骨被挖掘出土经考证，头盖骨的主人死于 16651666 年之间的大瘟疫人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下所示(单位：mm)：146138134141142148158149138141139146143146152135146145139147134143140143132141145140139142141148140148142142145141133138140
9、141142144143141137149136140145145137143142141140138139148145153148131132140144139139121148141142140143136144136129144145140140143145138141143138141144141149143146140148150140143136137153139138148请你估计在 16651666 年之间，英国男性头盖骨宽度的分布情况解：这里，如果把总体看作是 16651666 年之间的英国男性头盖骨的宽度，那么我们就是要通过上面挖掘出土得到的样本信息，来估计总体的分布情况但
10、从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况，为此，我们可以先将以上数据按每个数据出现的频数和频率3汇成下表：宽度/mm 频数 频率 宽度/mm 频数 频率121 1 0.009 142 7 0.066129 1 0.009 143 10 0.094131 1 0.009 144 5 0.047132 2 0.019 145 8 0.075133 1 0.009 146 5 0.047134 2 0.019 147 1 0.009135 1 0.009 148 8 0.075136 4 0.038 149 3 0.028137 3 0.028 150 1 0.009138 7 0.066 152
11、2 0.019139 7 0.066 153 1 0.009140 12 0.113 158 1 0.009141 12 0.113从表格中，我们就能估计出总体大致的分布情况了，如在 16651666 年之间，英国男性头盖骨宽度主要在 140150 mm 之间，130 mm 以下以及 150 mm 以上所占的比率相对较小等但是，这些关于分布情况的描述仍不够形象，为了得到更为直观的信息，我们可以再将表中的数据按照下面的方式分组：宽度分组( xi) 频数( ni) 频率( fi) fi xi120125 mm 1 0.009 0.001 8125130 mm 1 0.009 0.001 81301
12、35 mm 6 0.057 0.011 4135140 mm 22 0.208 0.041 6140145 mm 46 0.434 0.086 8145150 mm 25 0.236 0.047 2150155 mm 4 0.038 0.007 6155160 mm 1 0.009 0.001 8先画频数分布直方图(图 1)，用图中矩形的高度来反映频数进一步，我们还可以将图 1 中纵坐标的频数换成 ，便可以得到图 2.fi xi图 14图 2点评：当样本量较大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率因此，我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值
13、的频率，也即总体的分布情况.变式训练1有 100 名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有 30 人，参加篮球队的有 27 人，参加排球队的有 23 人，参加乒乓球队的有 20 人(1)列出学生参加运动队的频率分布表(2)画出频率分布条形图解：(1)参加足球队记为 1，参加篮球队记为 2，参加排球队记为 3，参加乒乓球队记为 4，得频率分布表如下：试验结果 频数 频率参加足球队(记为 1) 30 0.30参加篮球队(记为 2) 27 0.27参加排球队(记为 3) 23 0.23参加乒乓球队(记为 4) 20 0.20合计 100 1.00(2)由上表可画出频率分布条形图如图 3.图
14、 32.为了了解中学生的身体发育情况，对某中学 17 岁的 60 名女生的身高进行了测量，结果如下(单位 cm)：154 159 166 169 159 156 166 162 158156 166 160 164 160 157 151 157 161158 153 158 164 158 163 158 153 157162 159 154 165 166 157 151 146 151160 165 158 163 163 162 161 154 165162 159 157 159 149 164 168 159 153列出样本的频率分布表，并绘出频率分布直方图.解：所列频率分布表如下
15、：宽度分组( xi) 个数累计 频数( ni) 频率( fi)5145.5148.5 1 0.017148.5151.5 3 0.050151.5154.5 6 0.100154.5157.5 8 0.133157.5160.5 18 0.300160.5163.5 11 0.183163.5166.5 10 0.167166.5169.5 3 0.050合计 60 1.000根据上述数据绘制的频率分布直方图如图 4.图 4点评：以上两种情况的不同之处在于，前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率，相应
16、的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法，这是因为，频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线总体密度曲线这条曲线是客观存在的，但是我们却很难将它准确地画出，我们只能用样本的频率分布去对它进行估计基于频率分布与相应的总体分布有这种关系，再加上我们通常并不知道一个总体的分布，我们往往是从一个总体中抽取一个样本，用样本的频率去估计相应的总体分布一般说来，样本的容量越大，这种估计就越精确.思路 2例 1 下表给出了从某校 500 名 12
17、岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位：cm): 区间界限/cm 122126 126130 130134 134138 138142人数 5 8 10 22 33区间界限/cm 142146 146150 150154 154158人数 20 11 6 5(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的百分比分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题解：(1)列出的样本频率分布表如下：宽度分组( xi) 频数( ni) 频率( fi)122126 5 0.04126130 8 0.07130134 10 0.0813
18、4138 22 0.18138142 33 0.28142146 20 0.176146150 11 0.09150154 6 0.05154158 5 0.04合计 120 1(2)其频率分布直方图如图 5.图 5(3)由样本频率分布表可知身高小于 134 cm 的男孩出现的频率为0.040.070.080.19，所以我们估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的 19%.变式训练从某校高一年级的 1 002 名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为 100 的身高样本，如下(单位：cm)：168 165 171 167 170 165 170 152 175 174165 170 168
19、169 171 166 164 155 164 158170 155 166 158 155 160 160 164 156 162160 170 168 164 174 170 165 179 163 172180 174 173 159 163 172 167 160 164 169151 168 158 168 176 155 165 165 169 162177 158 175 165 169 151 163 166 163 167178 165 158 170 169 159 155 163 153 155167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
20、161 165 174 156 167 166 162 161 164 166作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于 170 cm 的同学所占的百分率解：作出的频率分布表如下：宽度分组( xi) 频数累计 频数( ni) 频率( fi)150.5153.5 4 4 0.04153.5156.5 12 8 0.08156.5159.5 20 8 0.08159.5162.5 31 11 0.11162.5165.5 53 22 0.22165.5168.5 72 19 0.19168.5171.5 86 14 0.14171.5174.5 93 7 0.07174.5177.5 97 4 0.
21、04177.5180.5 100 3 0.03合计 100 1根据频率分布表可以估计，身高不小于 170 cm 的同学所占的百分率为7100%21%.(0.14171.5 170171.5 168.5 0.07 0.04 0.03)例 2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图 6)，图中从左到右各小长方形面积之比为24171593，第二小组频数为 12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数
22、的中位数落在哪个小组内？请说明理由图 6分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于 1.解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为 0.08；42 4 17 15 9 3又因为频率 ，所以样本容量 150.第 二 小 组 频 数样 本 容 量 第 二 小 组 频 数第 二 小 组 频 率 120.08(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为 100%88%.17 15 9 32 4 17 15 9 3(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,
23、27,9，所以前三组的频数之和为 69，前四组的频数之和为 114.故跳绳次数的中位数落在第四小组Error!1有一个容量为 45 的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5，3；(15.5,18.5，8；(18.5,21.5，9；(21.5,24.5，11；(24.5,27.5，10；(27.5,30.5，4.由此估计，不大于 27.5 的数据约为总体的( )A91% B92% C95% D30%答案：A2有一个容量为 20 的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：(10,20)，2；(20,30)，3；(30,40)，4；(40,50)，5；(50,60)，4；(60,70)，
24、2.则样本在区间(，50)上的频率为( )A0.5 B0.7 C0.25 D0.05答案：B3一个高中研究性学习小组对本地区 2010 年至 2012 年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图 7)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭_万盒8快餐公司个数情况图 快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图图 7答案：85Error!为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量了其中的 100 株的底部周长，得到如下数据表(单位：cm)：135 98 102 110 99 121 110 96 100 103125
25、97 117 113 110 92 102 109 104 112109 124 87 131 97 102 123 104 104 128105 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 9
26、8 121 101 113 102 103 104 108(1)编制频率分布表；(2)绘制频率分布直方图；(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm 的树木约占多少？周长不小于 120 cm 的树木约占多少？解：(1)这组数据的最大值为 135，最小值为 80, 极差为 55，可将其分为 11 组，组距为 5.编制频率分布表如下：宽度分组( xi) 频数( ni) 频率( fi) fi xi8085 1 0.01 0.0028590 2 0.02 0.0049095 4 0.04 0.00895100 14 0.14 0.028100105 24 0.24 0.048105110 15 0
27、.15 0.030110115 12 0.12 0.024115120 9 0.09 0.018120125 11 0.11 0.022125130 6 0.06 0.012130135 2 0.02 0.004合计 100 1 0.2(2)绘出的频率分布直方图如图 8.9图 8(3)从频率分布表可知，样本中小于 100 的频率为 0.010.020.040.140.21，样本中不小于 120 的频率为 0.110.060.020.19，据此可估计该片经济林中底部周长小于 100 cm 的树木约占 21%，周长不小于 120 cm 的树木约占 19%.Error!总体分布指的是总体取值的频率分
28、布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布Error!习题 15 1,2. 设 计 感 想本节课是高一新课程必修 3 第一章统计中的第五节用样本估计总体的第一节课，尽管用样本估计总体是一种实用性很强，操作烦琐、麻烦的工作，但却是统计学中常用的方法，在生产、生活中应用非常广泛用样本估计总体，其实就是一种“以偏概全”“以部分代替全部”的思想虽然有贬义的成分，但我们还是要认真去教好学好，而且，这也是平时考试和高考中的重点内容之一本节要解决的问题就是：为何要用样本估计总体社会生产、生活的实际需要(必要性)，如比赛、竞技中预测结果，评判质量谁好谁差，水平谁高谁低经常要用到
29、如何去用样本估计总体用样本的频率分布去估计总体的频率分布；怎样用样本估计总体作出样本频率分布表或频率分布直方图，懂得用 “数据”语言说话另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心，使学生养成良好的学习态度 备 课 资 料备用习题下表是 1 002 名学生身高的频率分布表，根据数据画出：(1)频率分布直方图；(2)频率分布折线图宽度分组( xi) 频数累计 频数( ni) 频率( fi)150.5153.5 4 4 0.04153.5156.5 12 8 0.08156.5159.5 20 8 0.08159.5162.5 31 11 0.
30、11162.5165.5 53 22 0.22165.5168.5 72 19 0.19168.5171.5 86 14 0.14171.5174.5 93 7 0.07174.5177.5 97 4 0.04177.5180.5 100 3 0.03合计 100 1解：(1)频率分布直方图10根据频率分布表，作直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示 (如图 9)fi xi图 9在横轴上标上表示的点在上面各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的 .频 率组 距一般地，作频率分布直方图的方法为：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，以此线段为底作矩形，高等于该组的，这样得到一系列矩形，每一个矩形的面积恰好是该组上的频率这些矩形构成了频频 率组 距率分布直方图(2)频率分布折线图在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图(简称频率折线图)如图 10.图 10
