1、2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）数 学(理)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟祝各位考生考试顺利！第卷 选择题 (共 40 分)注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上参考公式：如果事件 、 互斥，那么 AB()()PABP柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高 .ShVh锥体的体积公式 . 其中 表示锥体的底面积,
2、 表示锥体的高.31一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1己知 其中 为虚数单位，则 （ ）Rbaiia,(24ibaA.-1 B. 1 C. 2 D32已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）xy01xy2yxzA. B. C. D.3,1-3,2-)3,1-)3,13若 如下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 k的条件可以是S( )A B C D7k6k6k6k4设 为公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）nSna457aS37SA15 B17 C19 D215已知点 的极坐
3、标是 ，则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）P)3,1(A 1 B cos C cos1D cos216下列四个命题：“ （ ） ”成立的充要条件是“ ”；xya012ln()l()xy命题“若 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；xy， 则 x设 是任意两个向量，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；,b|ab/ab把函数 的图像上所有的点向右平移 个单位即可得到函数sin2yR8的图像4x其中正确命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D47已知双曲线 两个焦点为分别为 ，过:M1(0,)yab )0,3(),(21F，点 的直线 与该双曲线的右支交于 两点，且 是等边三角形，则以点 为
4、2Fl N1FM2圆心，与双曲线 的渐近线相切的圆的方程为 （ ）A B2(3)xy2(3)4xyC D158设 ，满足 , 则 （ ）Ryx, 5)2sin(1)3(1xxxyyy（ yxA0 B2 C4 D6第卷 非选择题 (共 110 分)二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上.9设集合 ， ，则集合 中的1|2xxZ|2|3|BxRxAB所有元素之积等于_； 10.已知 的展开式的二项式系n)2（数之和为 ，则其展开式中常数项等于_； 311由曲线 为参数）和2xty(2yx围成的封闭图形的面积等于_； 12已知某三棱锥的三视图如图
5、所示，则它的外接球体积为_;13如图， 是圆 的一条弦，延长 至点 ，BCOBCE使得 ，过 作圆 的切线， 为切点，E2A的平分线 交 于点 ， ，AD3则 的长为_；14在 中，已知9,sincosi，, 为线段 上的点，且 ，6ABCSPABBCPxyA则 的最小值为_.三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）函数 的部分()cos)(0)2fx图象如图所示. （）写出 及图中 的值；0（）设 ，求函数 在区间1()()3gxfx()gx上的最大值和最小值.1,2316.（本小题满分 13 分）某次知识竞赛规则如
6、下:在主办方预设的固定顺序的 5 个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题回答的正确与否都相互独立. 23（）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量 ，求随机变量 的分布列和期望.X17.（本小题满分 13 分）如(图 1)，直角梯形 中，ABCD， ， ，点09,/BADC24为线段 的中点，且 ，沿 将面EEF/折起，使平面 平面 ，如(图 2).FC（）求证： ；（）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值;（）在棱 上是否存在一点 ,使直线 与平面 所成角的
7、正弦值为 ,若存AMABC427在求出点 的一个坐标,否则说明理由.M18 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的右焦点是 ，左右顶点2:1(ab0)xyE(,0)Fc分别为 ，上下顶点分别是 ，且点 满足 ，,AB,CD,PC（）求椭圆 的离心率，并证明 三点共线；EB（）对于给定的椭圆 ，若点 ，过点 的直线 与椭圆 相交于另一点 ，当(2,3)RcAlEQ的面积最大等于 9，求直线 的方程. OQRl19 （本小题满分 14 分）已知 A( , )，B( , )是函数 的图象上21,(),xf的任意两点（可以重合） ，点 M 在直线 上，且 .AMB（）求 的值及 的值12x12y（）已知
8、 ，当 时， + + + ，求 ；0S（）在（）的条件下，设 = ， 为数列 的前 项和，若存在正整数 、，使得不等式 成立，求 和 的值.20 （本小题满分 14 分）已知函数 .ln)2()(xaxf（）当 时，求函数 在点 处的切线方程；0ay1,f（）若 在区间 的有零点，求正数 的取值范围；)(xf(1,)e（）求证不等式 对任意的正整数 都成立 (其中 是自然对数的底数) 21nine2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）数学理科参考答案一、选择题:每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D D A D C A B二、填空题: 每
9、小题 5 分，共 30 分.9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 280936425三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）函数 ()cos)(0)fx的部分图象如图所示. （）写出 及图中 的值；0（）设 ，求函数 在区间 上1()()3gxfx()gx1,23的最大值和最小值.15 （本小题满分 13 分）解：（）由图得 ,所以 , 1 分(0)2f 3cos因为 ,故 2 分6由于 的最小正周期等于 2, 所以由图可 3 分()fx 0x故4 分0713,6由 得,()2fx03cos()62x因此得
10、. 5 分0165（）由题意可得： .1()cos()cos()sin3362fxxxx7 分所以 ()()()ingf8 分cossinsi6xxx9 分3123cosin2x. 10 分sin()6x法一: 函数 在区间 单调递增, 在区间 单调递减12 分()gx1231,3又 , 13,()22g故函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 13 分()gx1,2.2法二: 因为 ，所以 . 363x所以 , 11 分sin()16x故 ，即 时， 取得最大值 ； 12 分62x()g当 ，即 时， 取得最小值 . 13 分3xx3216.（本小题满分 13 分）某次知识竞赛规则如下:在主
11、办方预设的固定顺序的 5 个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题回答的正确与否都相互独立. 23（）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量 ，求随机变量 的分布列和期望.X16. （本小题满分 13 分）解：（）设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为 A, 1 分则5 分332321104()()()PA（）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3. 6 分X51(0)(,34P45()(),C235140()(),PXC22234196,348（或 ）
12、（每个一分）10 分()1(0)(1)()XPX随机变量 的分布列为0 1 2 32430243403192411 分随机变量 的期望 （个）13 分X197()012E17.（本小题满分 13 分）如(图 1)，直角梯形 中， ，ABCD09,/BAD， ，点 为线段 的中点，且 ，沿 将面 折起，2ADB4CEEFECF使平面 平面 ，如(图 2).EF（）求证： ；B（）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值;AF（）在棱 上是否存在一点 ,使直线 与平面MB所成角的正弦值为 ,若存在求出点 的一个坐标,否则427说明理由.17 （本小题满分 13 分）（）面 面 ，又 ， EBCDE面
13、 面 ， 面 , 面 , -3 分FFAAFDEBCF面 , . -4 分DBC（）以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立xyz空间直角坐标系 ， -5 分yz(2,10)(,)(0,3)(,10)2ACB设平面 的法向量 ，有 ， ),(0zyxm0mCAB ， 令 ，得平面 的一个法向量 ， -7 分0320zyx10 )1,(面 的一个法向量为 ， AEFD)2,(FE ， -8 分 3,cos m平面 与平面 所成锐二面角的余弦是 . -9 分BC（）设存在满足条件的点 ,则 ,M(01)CA有 -10 分(1)(2,3FAF所以 ,-11 分223cos,|5)
14、489m依题有 , -12 分23471489整理得 ,故 ,或 ,都满足 ,()012401故存在满足条件的点 ,其哟个坐标为 . -13 分M3()18 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的右焦点是 ，左右顶点2:1(ab0)xyE(,0)Fc分别为 ，上下顶点分别是 ，且点 满足 ，,AB,CD,PC（）求椭圆 的离心率，并证明 三点共线；EB（）对于给定的椭圆 ，若点 ，过点 的直线 与椭圆 相交于另一点 ，当(2,3)RcAlEQ的面积最大等于 9，求直线 的方程. OQRl解：（）依题可知点 ， ，0,)b,)(,)FabFc因为 ，所以 ，即 ， 1 分PFCPA2(0，故椭圆
15、的离心率 . 2 分22abcaE1ce此时 ，所以点 ， ,3(4,3)c(,)(,3)BDc所以 ， ，故 三点共线.4 分042BPkc02BDkP（）依题可知直线 AR 的方程为 ，(2)yxca即 ，且 ， 5 分0xy|35ARc可设直线 AQ 的方程为 ，代入 E 方程 整理得(2)kx22341y， 6 分22(34)1610kc由于 是上述方程的一个根，因此设点 Q 的坐标为 ，有 1(,)x，7 分21126834ckcxx1234cky故点 Q 到直线 AR 的距离等于 ，8 分|5d所以 ， 9 分22|8|2ORkSAc算法一：设 ，若 ，则 ，1kt00OQRS在
16、时10 分0t221|4|QRtt若 ，则 ；若 ，则 （当且仅当 取等号）t23OSc0t29OQRSc2t综上可知 的最大值是 12 分QR9由 的最大值是 9 可知 ，故直线 的方程是 .13 分1,kl0xy算法二：设 ，则 ，10 分2()34fk2 2(34)(18(3)1) 4kkkf 令 得， 或 可知 在区间 内单调递减，在 内()0fk1,23,k()fk1(,)213(,)2单调递增，在 内单调递减，又当 k 趋向于无穷大时 的值趋向于 0，并且在3,)fk内 在 内11 分1(,)2(fk(,)(0,f因此， 的最大值是 ， 的最小值是 ，12 分23fc)k21()9
17、fc所以 的最大值是 .由此可知 直线 的方程是 13 分OQRS1|()|9,cl0xy（注：还有其它解法，如设点 Q 的坐标为 , 用点到直线的距离公式；或(os3in)数形结合求出与直线 AR 平行且与椭圆相切的直线等 . 请老师们参照给分） 19 （本小题满分 14 分）已知 A( , )，B( , )是函数 的图象上21,(),xf的任意两点（可以重合） ，点 M 在直线 上，且 .（）求 + 的值及 + 的值（）已知 ，当 时， + + + ，求 ；（）在（）的条件下，设 = ， 为数列 的前 项和，若存在正整数 、，使得不等式 成立，求 和 的值.19 （本小题满分 14 分）解
18、：（）点 M 在直线 x= 上，设 M .则 ， ，又 ， + =1. 2 分当 时， ， + = + = = 4 分当 = 时， = ， + = ； 综合得 5 分12y（）由（）知，当 2,1yx. 6 分3,)()nknfkf ） ，时 ， ffffS1()(27 分 ） ，时 ， nfnn ()2)1( 得， 8 分S,则当 n=1 时， =0 9 分S,01满 足 n1（） = = ， =1+ + = . 10 分.11 分=2- ， = -2+ =2- ， 12 分 ， 、m 为正整数，c=1，13 分当 c=1 时， ， 1 3， m=1. 14 分20 （本小题满分 14 分）
19、已知函数 .ln)2()(xaxf（）当 时，求函数 在点 处的切线方程；0ay1,f（）若 在区间 的有零点，求正数 的取值范围；)(xf(1,)e（）求证不等式 对任意的正整数 都成立 (其中 是自然对数的底数)21nine解：（）当 时， . 1 分0a 1()l,()2fxxfx因为 .所以切线方程是 ，即 2 分(),kfy0y（）由 .ln)2(x得 3 分1()1()2(0)axfax因为 ，故令 ，得 或 （舍去）. 4 分0a0)(xfa12x（1）当 ，即 时， 在（1，e）上单调递增，1a)(f所以 ，而 ， ；5 分()()ffe02()(1)feae要使 在区间 的有
20、零点，应有 ，解得x, 021ea由于 ，故 适合题意； 6 分21ea（2）当 ，即 时，在 上 ， 单调递减，在 上1e,a()fx)(f,ea， 单调递增， 7 分()0fx)(f故 ，与（1）同理有 ，120a21e，故 适合题意. 8 分2eea（3）当 即 时， 在（1，e）上单调递减，)(xf所以，在（1，e）上 ，不合题意. 20综上(1)(2)(3)可知，正数 的取值范围是 . 9 分a1(,)e（）证明：要证 ,只要证 ,即证 10 分21nie21lnnii21()lnnii设 ,则2()l)(0)gxx( 0xgx故 是增函数,11 分n10,()2g当 时当 时,取,有 , 12 分2k1(2xk1ln()k21ln1kk在上述的不等式中分别令 得:, 13 分,34, 2lnnii故 , 2211lnnnii所以,不等式 对任意的正整数 都成立. 14 分21nie n
