1、- 1 -高三自评试题数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答
2、的答案无效参考公式：锥体的体积公式为： ,其中 为锥体的底面积， 为锥体的高.13VShh第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 , ,如果 ,则 等于 3Mm2730,NxxZMNmA B C 或 D2132【答案】C【解析】 ,因为123,0372 ， ZxxZxN，所以 或 ，选 C.M1m22设复数 (其中 为虚数单位)，则 的虚部为2zii23zA B C D i00【答案】D【解析】 ，所以 ， ，所以iiz21iiz43)21(iz21，所以虚部为 2，选 D.)(343
3、23 “ ”是“对任意的实数 , 成立”的axaxA充分必要条件 B充分不必要条件 - 2 -C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为 ，所以 ，根据不等式的几何意义可知，ax321231ax在数轴上点 到点 和 的距离之和，则 ，所以当 时，有x 4，所以不等式 成立，此时为充分条件，要使2a231ax恒成立，即 恒成立，则有 ，即 ，综上，ax31 2a4是 成立的充分不必要条件，选 B.4a24已知函数 ，则 的值是log,0()91xf31()log2ffA B C D725【答案】A【解析】 ，所以 ，因为 ，所以01log)(2f 2)0(1(ff 021lo
4、g3，所以5439l log2log2logl3 333 f，选 A.75)1(l)(3ff5设 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面有下列四个命题：mn若 ， ， ，则 ；/mn若 ， ，则 ；/ 若 ， ， ，则 ；n 若 ， ， ，则 m其中错误命题的序号是A B C D【答案】B- 3 -【解析】根据线面垂直的性质和判断可知，正确，错误的为，选 B.6执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则图中判断框内处应填b31A B C D3456【答案】B【解析】第一次运算为 ，第二次运算为 ，第三次运算为2,3ab3,7ab，第四次运算为 ，第五次运算不满足条件，输出 ，所以
5、4,15ab5,1 31b，选 B.7函数 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不295yx可能成为该等比数列的公比的数是A B C D 34 35【答案】D【解析】函数等价为 ，表示为圆心在 半径为 3 的上半圆，圆上0,9)5(2yx )0,(点到原点的最短距离为 2，最大距离为 8，若存在三点成等比数列，则最大的公比 应有q，即 ，最小的公比应满足 ，所以 ，所以公比的28q,4q2q21,42取值范围为 ，所以选 D.18以下正确命题的个数为命题“存在 ， ”的否定是：“不存在 ， ”；Rx20xRx20x- 4 -函数 的零点在区间 内； xxf)21()(31(,
6、)32已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 ； ,N40.79P(2)0.1P函数 的图象的切线的斜率的最大值是 ；()xfe 线性回归直线 恒过样本中心 ，且至少过一个样本点.yba,xyA B C D1234【答案】C【解析】命题的否定为“任意的 ， ”，所以不正确；因为Rx20x，又 ， ，所以函数的零xxf)21()(3)1(3)(3f 0)21()(3f点在区间 ，所以正确；根据正态发布的对称性可知 ,而, )4-P，所以 ，正确；函21.079.-)4(-1)4(P 1.0)()-(P数的导数为 ，当且仅当 ，即 时)( xxeexf xe,x取等号，所以正确；线性回归直线 恒过样
7、本中心 ，但不一定过样本点，yba,y所以不正确，综上正确的为有 3 个，选 C.9设 ，则 二 项 式 展 开 式 中 不 含 项 的 系 数 和 是2(13)40axd26()x3xA B C D66116【答案】C【解析】 ，所以 ，二项式为 ，展6)()31(20320 xdx 246a62)(x开式的通项为 ，令 ，即 ，所以kkkkk xCT)(31262 31k，所以 的系数为 ，令 ，得所有项的系数和为 ，所3364)(x3x063Cx1以不含 项的系数和为 ，选 C.1)0(10已知函数 ， ， ，那么下面命题()cos,22fxx01sinx0,2中真命题的序号是- 5 -
8、 的最大值为 的最小值为()fx0()fx()fx0()fx 在 上是增函数 在 上是增函数,20,2A B C D 【答案】A【解析】因为 ， ，所以 。函数的导数为 ，21sin0x2,060x xxfsin21)(由 ，解得 ，又因为 ，所以 ，此时)( f 1sinx2,6函数单调递增，由 ，解得 ，又因为 ，所以)(xf 1sinx,x，此时函数单调递减，所以正确，选 A.26x11一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 A.外接球的半径为 B.体积为 33C.表面积为 D.外接球的表面积为6116【答案】D【解析】 由三视图可知，这是侧面 ,高ABCD
9、- 6 -的三棱锥， ,所以三棱锥的体积为 ，设外3DO12OBAC， 3213接球的圆心为 O 半径为 ，则 ，在直角三角形 中， ,xxE3OEC2OE即 ，整理得 ，解得半径 ，所以外接球的221)3(x22132x表面积为 ，选 D.316)(42212已知直线 与抛物线 2:4Cyx相交于 A、 B两点， F为抛物线 C的焦点，ykx若 2FAB,则 = A B C D 3231323【答案】A【解析】设 ,直线 过定点 ， ,根)(),(21yxBA)1(xk)0,(据抛物线的定义可知 B 为 AC 的中点，所以 ，由 ，得2,-12y214)(12x，所以直线斜率 ，选 A.21
10、yx 311xyk第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13若 则 .tan2,sico【答案】 5【解析】 。5214tancossin222 - 7 -14已知直线 与圆 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标yxa24yAB0OAB原点，则正实数 的值为 .【答案】 2【解析】因为 ，所以 ,即三角形 为直角三角形，所以0OABOBAA,所以圆心到直线 的距离为 ，又 ，所以2RByxa22a。,a15设 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 .xy3602,xy2zxy【答案】 52【解析】目标函数几何意义为区域内动点 P 到原点的
11、距离的平方，做出图象如图，由图象可知当点 P 在 C 点时到原点的距离最大，由，得 此时 C 点坐标为 ，所以 。0632yx64yx)6,4(52642z16已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表， 的导函数 的图f15,fxyfx象如图所示. 下列关于 的命题：fx- 8 -函数 的极大值点为 ， ；fx04函数 在 上是减函数；2,如果当 时， 的最大值是 2，那么 的最大值为 4；1xtfxt当 时，函数 有 个零点；aya4函数 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个yfx其中正确命题的序号是 【答案】【解析】由导数图象可知，当 或 时， ，函数单调递增，当01x42x0)(xf
12、或 ， ，函数单调递减，当 和 ，函数取得极大值20x54x)(f 4， ，当 时，函数取得极小值 ,所以正确；正确；因为在当)(f)(f2)(f和 ，函数取得极大值 ， ，要使当 函数 的最大x)0(f24f ,1tx)(xf值是 4，当 ，所以 的最大值为 5，所以不正确；由 知，因为极小值52tt af)(未知，所以无法判断函数 有几个零点，所以不正确，根据函数的单调)(f axfy)(性和极值，做出函数的图象如图， （线段只代表单调性） ，根据题意函数的极小值不确定，分 或 两种情况，由图象知，函数1)2(f2)(f和 的交点个数有 0,1,2，3,4 等不同情形，所以正确，综上正确的
13、命题序)(xfya号为。- 9 -ABC1A1C第卷三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知向量 ，设函数)cos,(in),si3,(inxxm,若函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称.nmxf)()(xg)xf（）求函数 在区间 上的最大值,并求出此时 的值；64x（）在 中， 分别是角 的对边， 为锐角,若 ，ABCcba,CBA,A23)(Agf， 的面积为 ，求边 的长7cb32a18 （本小题满分 12 分）如图，在多面体 中，四边形 是1ABC1AB正方形， ， ，1C， .1/B12（）求
14、证： 面 ；/A1（）求二面角 的余弦值的大小.CB19 （本小题满分 12 分）甲居住在城镇的 处，准备A开车到单位 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如， 算作两个D路段：路段 发生堵车事件的概率为 ，路段 发生堵AC10C车事件的概率为 ，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前15进） (）请你为其选择一条由 到 的路线，使得途中发生堵车AB事件的概率最小；ABCDEF151602503- 10 -（）若记路线 中遇到堵车次数为随机变量 ，求 的分布列及 ACFBE20 （本小题满分 12 分）已知集合 , ，设2
15、1,NAxn63,NBxn是等差数列 的前 项和,若 的任一项 ,且首项 是 中的最大数, nSnanaA1aA.10753（）求数列 的通项公式;n（）若数列 满足 ，令 ，试比较b1392()nannT2462()nbb nT与 的大小.4821n21 （本小题满分 12 分）已知函数 .23fxlnx（）求函数 的极大值；yfx（）令 （ 为实常数） ，试判断函数 的单调性；231gmxgx（）若对任意 ，不等式 均成立，求实数 的取值16x,30alnfxa范围.22 （本小题满分 14 分）已知椭圆 1C、抛物线 2的焦点均在 轴上， 1C的中心和 2的顶点均为坐标原点 ，从每条曲线
16、O上各取两个点， 将其坐标记录于表中：（）求 的标准12、方程；（）请问是否 存在直线 l同时满足条件：()过 2C的焦点 F；()与 1C交于不同两点 、 ，且满足 ？若存QROR在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由（）已知椭圆 1的左顶点为 ，过 作两条互相垂直的弦 、 分别另交椭圆于 、AAMNM两点当直线 的斜率变化时，直线 是否过 轴上的一定点，若过定点，请给出NMNx证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由x342y0- 11 -高三自评试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分C D B A B B D C C A
17、 D A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13. 14. 15. 162522三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）解：（）由题意得： 21cos23()sin3si inxfxxx2 分1sin(2)6x所以 3 分)si(g因为 ，所以6,4x 6,32x所以当 即 时，函数 在区间 上的最大值为 .2)(xg6,4216 分（）由 得：3)(Agf 3)2sin()62sin(1A化简得： 2cos又因为 ，解得： 9 分03由题意知： ，解得 ，sin1AbcSABC 8bc
18、又 ,所以7cb222os()(1cos)a A498(1)5- 12 -1A1BCABCEzxy故所求边 的长为 . 12 分a518 （本小题满分 12 分）解：（）取 的中点 ，连结 ， ，BCEA1CEB， ， ，1/12/,四边形 为平行四边形， 从而 ，1面 ， 面1C1A1BE1AC面 2 分/BE， ，11211/,BE四边形 为平行四边形C，且1/BE1B又 是正方形， ，且A1/ACE1A故 为平行四边形，1C面 ， 面11面 4 分/AE， 面 面1B1/AE1C面 ， 面 6 分（） 四边形 为正方形, , 11B1， 12ABCAB2由勾股定理可得： ， ， 1901
19、， 面 ，1ACB2C由勾股定理可得： ， 90AB8 分- 13 -故以 为原点，以 为 轴建立坐标系如图，则 ，ACx11(,0)(,)(,)2CAC，所以 ， ， ， .(0,1)B1(,0)1(,2B,1B设面 的法向量为 ，由nxyz11n，令 ，则102xzy1(,)设面 的法向量为 ，则1ACB2(,)nmk21210,nBAC则 ，令 ，则 10 分02nkm12(,)所以 1212cos, 3n设二面角 的平面角为 ，1CAB12,n所以 12 分cos319 （本小题满分 12 分）解：（）记路段 发生堵车事件为 ，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各AAC路段发生堵车
20、事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线 中遇到堵车的概率为ACDB1 1PPDBC2 分9453106同理：路线 中遇到堵车的概率为 1 ( ）AFB2PACFB= （小于 ） 8234 分路线 中遇到堵车的概率为 （大于 ）AEFB3P91130AEFB显然要使得由 到 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.- 14 -因此选择路线 ，可使得途中发生堵车事件的概率最小 6 分ACFB（）路线 中遇到堵车次数 可取值为 0，1，2，3，0P561801ACFBPACFBPACFB，793171630202240P，131793170202240.
21、8ACFB所以 的分布列为9 分 = 12 分E5613710238408020 （本小题满分 12 分）解: （）根据题设可得: 集合 中所有的元素可以组成以 为首项, 为公差的递减等A32差数列；集合 中所有的元素可以组成以 为首项, 为公差的递减等差数列.B36由此可得,对任意的 ,有NnB中的最大数为 ,即 2 分A31a设等差数列 的公差为 ,则 ,nad3(1)nd100()4532aSd因为 , ,即1075S75046由于 中所有的元素可以组成以 为首项, 为公差的递减等差数列B6所以 ,由 ，所以 5 分),(6mZd1m212d所以数列 的通项公式为 （ ） 6 分na92
22、naNn0123P85624037018- 15 -（） 13922()()nannb7 分24621()12()44()2nn n nTb88()111nnn于是确定 与 的大小关系等价于比较 与 的大小nT422n由 ， ， ， ，341可猜想当 时， 9 分31n证明如下：证法 1：（1）当 时，由上验算可知成立.（2）假设 时， ，nk21k则 1()42()1(2)(1)k kk所以当 时猜想也成立根据（1） （2）可知 ，对一切 的正整数，都有3nn当 时， ，当 时 12 分,n481nT4821nT证法 2：当 时301101(1) 21nnnnnnCCCn当 时， ，当 时
23、12 分,482T3482T21 （本小题满分 12 分）解：（） , 的定义域为 ;23fxlnxyfx23,由于 ，由 ,1932fxx103fx当 时， ；当 时， .21,0f,0fx- 16 -在 上为增函数；在 上为减函数，yfx213,13,从而 . 3 分6ffln极 大（） ，l231gxxm23x，4 分xx 当 ,即 时， ，10m32g0在 上为增函数；5 分gx23,当 ，即 时， .10m1213312mxmxgx由 ,23gx,2113mm（）若 ，则 ， 时， ，2323x0gx在 上为增函数；7 分gx,()若 ，则 ，1m213时， ； 时， ，,x0gx2
24、1,3m0gx在 上为增函数,在 上为减函数.g213,m,综上可知：当 时， 在 上为增函数；gx23,- 17 -当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数.1mgx213m,213m,9 分（）由 ,0alnxfx02alnx, ,而 ，163x36025llnl要对任意 ，不等式 均成立，必须：, 30alxfx与 不同时为 0. 11 分32lnxaln因当且仅当 时， =0，所以为满足题意必有 ，132lx103aln即 . 12 分 3aln22 （本小题满分 14 分）解：（）设抛物线 ，则有 ，据此验证 个点知2:0Cymx20ymx4、 在抛物线上，易求 4:2 2 分 3,
25、24,设 ： ，把点（ 2，0） （ ， 2）代入得：1210xyab1242ba142b 方程为 4yx4 分1C（）容易验证直线 的斜率不存在时，不满足题意；l当直线 斜率存在时，假设存在直线 l过抛物线焦点 ，设其方程为 ，与l (1,0)F(1)ykx的交点坐标为 ,1C1Qxy2R由 消去 ，得 ， 24()xyk 2(4)84(1)0kxk- 18 -于是 ， 7 分2184kx214()kx22 12()()()y x即 212183)44kkk由 ，即 ，得 (*)021yxOQR0O将、代入（*）式，得 ，解得 ；22()3144kk2k所以存在直线 l满足条件，且 l的方程为： 或 9 分yxyx（）设直线 的斜率为 ，则 ： ， ：AMk0AM(2)kAN1(2)yxk则 化简得： 2(),14ykx22(14)6140x此方程有一根为 ，28Mk2Mky同理可得 11 分284Nkx24Nyk则222518(1)4MNkk所以 的直线方程为22248()14kkyx令 ，则 .0y2216()86515kxk所以直线 过 轴上的一定点 14 分MN(,0)
