1、1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （文史类）20185（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合 ， ，则 230Ax1Bx=ABA B C D,1+， ， 1+，2.计算 21iA. B. C. D. 2i2i2i3.已知 满足不等式组 则 的最小值是 ,xy01,xy， 3zyxA.1 B. C. D.31724.在 中， ， 则ABC 1,64aABcA.
2、 B. C. D.6+226225.“ 且 ”是“ ”01ablog0abA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 26. 如图，角 ， 均以 为始边，终边与单位圆 分别交于点 ， ，则 =OxOABOA. B. sin()sin()C. D. coco7.已知定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， ，R()fx0,)0abc，则 的值0ac()fabcA 恒为正 B恒为负 C恒为 0 D无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分.若冠军获得者
3、得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 终边 终边终边 ABO xy310.双曲线 的焦点坐标是_，渐近线方程是_ 2143xy11. 已知 ，且满足 ，则 的最大值为 .0,xy4xylgxy12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_. 13.在平面直角坐标系 中，点 （不过原点）到 轴， 轴的距离之和的 2 倍等于点xOyPxy到原点距离的平方.则点 的轨
4、迹所围成的图形的面积是 .P14. 如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 四面ABCD/2AB1体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面ABCDxCD的上方如果将四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ， x()Sx则函数 的最小正周期为 ； 的最小值为 ()Sx()Sx1正视图11侧视图俯视图 DCB A4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 (本小题满分 13 分)已知函数 的图象经过点 ， (2sin(cos)fxxa(,1)2aR（）求 的值，并求函数 的单调递增区间；af（）当 时，
5、求函数 的最小值0,2x()x16(本小题满分 13 分)已知数列 的前 项和 ，且 na2 (,*)nSpqnRN143,2aS（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 2nabnbnT517 (本小题满分 13 分)某市的一个义务植树点，统计了近 10 年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株） ，制表如下：年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017侧柏 3200 3600 3300 3900 3500 3300 3900 3600 4100 4000银杏 3400 3300 3600 3600 3700 4200 4400
6、 3700 4200 4200（）根据表中数据写出这 10 年内栽种银杏数量的中位数,并计算这 10 年栽种银杏数量的平均数；（）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于 300 株的年份中，任意抽取 2 年，恰有 1 年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 中， 是等腰三角形，且 .四边形PABCDP3PBC是直角梯形， ， ， . ABCD5,4,ABD（）求证： 平面 ；/（）当平面 平面 时，求四棱锥 的体积； PABP（）请在图中所给的五个点 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线,C垂直，并给出证明.BCCDPBA619 (本小
7、题满分 14 分)已知椭圆 的离心率为 ，其左顶点 在圆 上2:1(0)xyWab32A2:4Oxy（ 为坐标原点） O（I）求椭圆 的方程；(II) 过点 作直线 交椭圆 于另外一点 ，交 轴于点 . 为椭圆 上一点,且 AQQyRPW，求证： 为定值. /P2AROP20 (本小题满分 13 分)已知函数 ， ， .(exf()1gax（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；)y0,f ()ygxa（）若方程 在 上恰有两个不同的实数根，求 的取值范围;(fx(2)（）若对任意 ，总存在唯一的 ，使得 ，求 的取1,2(,)x21()fxg值范围.7北京市朝阳区高三年级第二次综合
8、练习数学学科测试答案（文史类） 20185一、选择题（本题满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B D A A C B B二、填空题（本题满分 30 分）题号 9 10 11答案 40， (7,0)32yx2lg题号 12 13 14答案 16484三、解答题（本题满分 80 分）15. （本小题满分 13 分）解：（）根据题意得，即 ，2sin(cos)12a2(0)1a解得 1a)ifxx2snicos1ix2in()4x由 （ ） ，得24kkZ，324x所以 ，88kk所以函数 的单调递增区间是 7 分()fx3, 8kkZ（）由（）可知 ()2sin()4fx
9、8当 时， ，0,2x,4x所以 sin()1所以 1)2fx所以当 ，即 时， 取得最小值 13 分40()fx116. （本小题满分 13 分）解：（）根据题意得即 .3,1642.pq3,6pq解得 ,.所以 .2nS当 时， 221()(1)()21nnaSnn因为 也适合上式，132所以 . 7 分(*)nN（）因为 ，且 ，2314nb1328ab所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，n8所以 13 分()()13nT17. （本小题满分 13 分）解：（）这 10 年中栽种银杏数量的中位数为 3700 株.设平均数为 ，x则 株.34036037042037+420=380
10、1x 4 分（）根据表中数据，满足条件的年份有 2009，2010，2011，2013 ，2014 共 5 年.从这5 年中抽取 2 年，有92009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010 ，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014 共 10 种情况.设事件 表示 “任取 2 年，恰有 1 年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件 包括A A2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011 ，2014 共 6 种情况.所以 .
11、63()=105P答：任取 2 年，恰有 1 年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为 13 分3518. （本小题满分 14 分）证明：（）因为 ，ABDC又因为 ， ，P平 面 PDC平 面所以 平面 3 分/（）取 中点 ，连接 .BF又因为 ，所以 ，又因为平面 平面 ，CBBACD平面 平面 ，所以 平面 .PAD=PF在直角梯形 中，因为 ，且 ， ， ，BCAD4,35B所以 ，且 .25C1(35)4162BCDS梯 形又因为 ， ,所以 . 3PFPF所以 . 9 分1163ABCDABCDVS梯 形（） 点为所求的点. ,P证明如下：连接 .,AF在直角梯形 中，因为 ，且
12、， ，BCDBCAD4,3ADC所以 .5因为 ，点 为 中点， 所以 .AFF又因为 , ，所以 .BPBPA平 面10又因为 ，所以 .14 分PAF平 面 PABC19. （本小题满分 14 分）解：（I）因为椭圆 的左顶点 在圆 上，W2:4Oxy令 ，得 ，所以 0y2xa又离心率为 ，所以 ，所以 ， 332ce3c所以 ， 所以 的方程为 5 分221bacW214xy(II)证明：设 ，易知 ，有 ，0(,)Pxy02200,4xy即设 ，直线 方程为 ，联立(,)QxyA0(2)yx201,().yx即 ，222000(4)164yx即 ， 所以 ，即 ，xy20Qxy204
13、Qxy所以， .2200Qy故有： . 14 分.2020(4)=QxARAyOPx 20. （本小题满分 13 分）解：（）由题意可知 ， ，()1xfxe()1f因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，所以 .yf0, ()ygx1a 3 分（）令 ， .则()()hxfgx(2,)1e,e0xa所以， 在区间 上单调递增.()x(2)11依题意， ，解得 .(2)0h21(,3e)a所以 ，使得 ，即 ,0(,)x0)hx0xa于是 的最小值为 .h0(e1a依题意， 0(2)hx，因为 ,00020()e1e(1)ee1xxxa所以，解得 . 8 分2(,)（），令 ，得 .()1exf
14、x()0f1x当 时， ，函数 为减函数；,()f当 时， ，函数 为增函数.(2)x， ()fxx所以函数 的最小值 .f 1e又 .2()e显然当 时， .0x()0fx令 .2()e,1t则 令 ，得 或 .)xx()t2x0所以 在 内为增函数，在 内为减函数.()t2， 1，所以 .所以 .max4()1et2ex又 ，所以 .1x而当 时， ，x,0所以当 时， ；,11(),efx12当 时， .(1,0)x1(),0efx(1) 当 时， ，符合题意；ag(2) 当 时，易得 .依题意0()21,xa210ea， ，所以 所以此时 .21,e,a02(3) 当 ，则 ，依题意0a()1gxa， 210ea， ，所以 所以 .21,e,a0综上 . 13 分1,
