1、1福州八中 20152016 学年高三毕业班第六次质量检查数学(理)试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分2016.2.15第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 25,3Ma， 1,3N，若 MN，则实数 a的值为A B C 4 D 1或 22复数 1iz（ i为虚数单位）的共轭复数为A B C i D i3已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 5=20，则 6a4+3a5=A20 B4 C12 D204在平行四边形 ABCD 中，AC=5 ，BD=4，则 ABur =A 1B 1C 94D 9
2、45已知圆 O： 24xy上到直线 :lxya的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a的取值范围为A (3,) B (,32)(,) C D 6甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）种.A12 B24 C48 D.1207已知向量 1(sin,)2mA与向量(3,sinco共线，其中 是 AB的内角，则角 的大小为A. 6 B. 4 C. 3 D. 28某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S的值是A1007 B2015 C2016 D30249若双曲线21(0,)xyab与直线
3、2yx无交点，则离心率 e的取值范围是A (1,)B ,C (1,5)D (1,5 10一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为开 始1,0iScosiiaiS016?i=1i结 束 S输 出 是否2A 102B200 C 3 D 11设实数 ,xy满足条件2036,xy，若目标函数 0,zaxby的最大值为 12，则32ab的最小值为A56B8C13D 412已知定义域为 R 的函数 g（x） ，当 x（1，1时，g（x）=21,031xx，且 g（x+2）=g （x）对xR 恒成立，若函数 f（x）=g（x）m（x+1 ）在区间 1，5 内有 6 个零点，则实数 m 的取值范
4、围是A （ 5， ） B （ ， 25（ 3，+ ）C 2， 3） D ， 第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13已知 02sinaxd，则二项式52ax的展开式中 x的系数为 14已知向量 1,3，向量 3,bm若向量 b在向量 a方向上的投影为3，则实数 m 15设数列 na的前 项和为 nS，且 12a， (2)nnS为等差数列，则数列 n的通项公式 16设点 P在曲线 xey21上，点 Q在曲线 )l(xy上，则 |PQ的最小值为 三、解答题：解答应写出文字
5、说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）如图所示，在四边形 ABCD中， = 2B，且 1AD， 3CD， 3cos（）求 的面积； C3（）若 ，求 AB的长23BC18 （本小题满分 12 分）2015 年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的 10 名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为 A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A 级记为 2 分，B 级记为 1 分，C 级记为 0 分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标 w=x+y+z的值评定该同学的得分等级若 w4，则得分等级为一级；若
6、2w3.则得分等级为二级；若 0w1，则得分等级为三级得到如下结果：（）在这 10 名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为 a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为 b，记随机变量 X=ab，求 X 的分布列及其数学期望19 （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，AB=AC=2，A 1A=4，A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点（1）证明：A 1D平面 A1BC；（2）求二面角 A1BDB1 的平面角的余弦值20 （本小题满分 12 分）如图，已
7、知 0(,)Mxy是椭圆 C: 1362yx上的任一点，从原点 O向圆 M：2200xy作两条切线，分别交椭圆于点 P、 Q（）若直线 OP， Q的斜率存在，并记为 1k， 2，求证： 12k为定值；（）试问 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由21 （本小题满分 12 分）设函数 2()ln(3)fxax，其中 aR（）讨论 极值点的个数；（）设 1，函数 (3)2gfx，若 1x， 2（ 2x）满足 12()且 10x，证明： 0()g请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑.22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-1：几何证明选讲】
8、如图，正方形 ABCD边长为 2，以 为圆心、 DA为半 径的圆弧与以 为直径的半圆 O交于点 F，连结 C并延长 交AB于点 E人员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，0，1） （1，2，1） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，2，1） （1，1，1）EFOB CA D4（）求证： AEB；（）求 FC的值.23 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】已知曲线 的参数方程是 sin2co1yx（ 为参数） ，直线 l的极坐标方程为24sin （其中坐标
9、系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系 x轴正半轴重合，单位长度相同.）（）将曲线 C的参数方程化为普通方程，将直线 l的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设 M是直线 l与 x轴的交点， N是曲线 C上一动点，求 MN的最大值.24 （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 12)(f（）求不等式 的解集； （）对任意 ,ax，都有 )(xfa成立，求实数 a的取值范围.5福州八中 20152016 学年高三毕业班第六次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
10、1 12答案 D A C C A B C D D D D C二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 640 14 15 12n 16 )2ln1(三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）解：（） 3cossco2BD2 分因为 0,，所以in，4 分所以ACD 的面积1si22SACD6 分（）解法一：在ACD 中， 12cos2 DCA，所以 3AC8 分在ABC 中， 12cos22 BB10 分 把已知条件代入并化简得： 04A因为 ，所以 4 12 分解法二：在ACD 中，在ACD 中， 12cos2 DC，所以 38 分因为 2BC
11、， siniBA，所以 3sini2AB，10 分得 4A12 分18 （本小题满分 12 分）试题解析：解：（）在这 10 名同学中任取两人，基本事件总数n= =45，1 分A 1，A 3，A 6，A 8 等 4 名学生的英语成绩都是 2 分，另外 6 名学生的英语成绩都是 1 分，任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数 m= =21，3 分这两位同学英语得分相同的概率 p= 4 分（）得分等级是一级的同学有 A1，A 2，A 3，A 5，A 6， A8，A 9，其中 A1，A 2，A 5，A 9 的综合指标为 4，A 6，A 8 的综合指标为 5，A 3 的综合指标为 6，得分等级为二
12、级的同学有A4，综合指标为 1，A 7，A 10，综合指标都是 3，X 的可能取值为 1，2，3， 4，5，5 分P（X=1）= = ，6 分P（X=2）= = ，7 分6P（X=3）= = ，8 分P（X=4）= = ，8 分P（X=5）= = ，9 分X 的分布列为：X 1 2 3 4 5P10 分所以，X 的数学期望 EX= = 12 分考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中这部分内容都是必考知识点，是中档题19 （本小题满分 12 分）【试题解析】 （1）证明：如图，以 BC 中点 O
13、 为坐标原点，以 OB、OA、OA 1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系1 分则 BC= AC=2 ，A 1O= = ，易知 A1（0，0， ） ，B（ ，0，0） ，C（ ，0，0） ，A（0， ，0） ，D（0， ， ） ，B1（ ， ， ） ，2 分=（ 0， ，0） ， =（ ， ， ） ，=（ ，0，0） ， =（2 ，0，0） ，=（ 0，0， ） ， 4 分 =0，A 1DOA 1，又 =0，A 1DBC，又OA 1BC=O，A 1D平面 A1BC；6 分（2）解：设平面 A1BD 的法向量为 =（x，y，z） ，由 ，得 ，取 z=1，得 =（ ，0，1） ，7 分设平面 B
14、1BD 的法向量为 =（x，y，z ） ，由 ，得 ，取 z=1，得 =（0， ，1） ，8 分cos ， = = = ，10 分又该二面角为钝角，11 分二面角 A1BDB1 的平面角的余弦值为 12 分7考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20 （本小题满分 12 分）【试题解析】 （1）因为直线 OP： 1ykx以及 Q： 2ykx与圆 M相切，所以2|10kyx,化简得： 02)(1010x1 分同理： 22ykx，2 分01yk3 分因为点 0(,)Mx在椭圆 C 上，所以20
15、16xy，即 22001yx，4 分所以21201k 6 分（2） 2OPQ是定值，定值为 9.7 分理由如下：法一：（i）当直线 、 O不落在坐标轴上时,设 ),(,)(21yxQP,联立12,63ykx解得21216,.xky所以2211()kxy， 同理，得 226，9 分由 12k，所以 221OPQxy2216()()k21126()()kk2198k10 分（ii）当直线 OP、 Q落在坐标轴上时,显然有 2OPQ9，11 分综上： 299 分法二：（i）当直线 、 不落在坐标轴上时,设 ),(,)(21yx,因为 12k，所以 22114yx，7 分8因为 ),(,)(21yxQ
16、P在椭圆 C 上，所以2163xy，即22113x，8 分所以 22211(3)()4，整理得 21x，所以 2 23yx，所以 2OPQ910 分（ii）当直线 OP、 Q落在坐标轴上时,显然有 ，11 分综上： 9 12 分考点：1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系21 （本小题满分 12 分）【试题解析】 （1）函数 ()fx的定义域为 (0,)，231()(afx1 分令 23)ga当 0时， 1x， ()lnfx，所以，函数 ()fx在 0,)上单调递增，无极值；2 分当 时， ()在 0,4上单调递增，在 3,4上单调递减，且 (10，所以，
17、x在 ,上有唯一零点，从而函数 ()fx在 ,)上有唯一极值点；3 分当 0a时，若 9()18a，即 809a时，则 (0在 (,)上恒成立，从而 ()fx在 ,上恒成立，函数 ()fx在 ,)上单调递增，无极值；4 分若 3918，即 9，由于 1，则 (x在 ,)上有两个零点，从而函数 ()fx在 0,)上有两个极值点5 分综上所述：当 a时，函数 f在 (,上有唯一极值点；当 09时，函数 )x在 )上无极值点；当 8时，函数 (f在 0,上有两个极值点6 分（2） 2()lngxx， 2()gx假设结论不成立，则有221100lln, ,xx 7 分9由，得 2112ln()()0x
18、x，120lnx，8 分由，得 0x， 210lnx，即122lx，即12lnx9 分令 12tx，不妨设 12x， 2()ln1tut（ 0t） ，10 分则2() 0tu，11 分 )在 上增函数， ()t，式不成立，与假设矛盾 0(gx12 分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的极值；3、反证法在第 22、23、24 题中任选一题做答.22（本小题满分 10 分）解：（）由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线 （1 分） 依据切割线定理得 2EAFC （2 分） 另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，（3 分）同样依据
19、切割线定理得 BE（4 分）故 AB（5 分） （）连结 ，BC 为圆 O 直径， FEC （6 分）由FSB21得 51（8 分）又在 RtCE中，由射影定理得42BF（10 分）23 （本小题满分 10 分）解：（）曲线 的参数方程可化为 1212yx（2 分）直线 l的方程为 4sin展开得 sinco（4 分）直线 的直角坐标方程为 0yx（5 分） （）令 0y，得 2，即 M点的坐标为（2，0）（6 分）又曲线 C为圆，圆 的圆心坐标为 ,1，半径 1r，则 MC（8 分）EFOB CA D10所以 51MNCr ， MN的最大值为 51 （10 分）24（本小题满分 10 分）解：（） ()fx2 当 时， 4, 即 2x， ； （1 分）当 12时， 3,即 3,1x（2 分）当 x时， , 即 6, 1 6 （3 分）综上，解集为 x|26 （4 分）（）1,43,)(f，（5 分）令 axy， 表示直线的纵截距，当直线过 1,3点时， 2a；当 2，即 2 时成立； （7 分）当 ，即 时，令 ax4， 得, a2+ ，即 a4 时成立，（9 分） 综上 2 或 4 （10 分）
