1、 第一章 解三角形111 正弦定理如图 11-2，在 Rt ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsincC则 b ciiic从而在直角三角形 ABC中， C a BsinisinabcAB(图 11-2)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c Bsinisi(图 11-3)（证法二）：过点 A作 ， Cj由向量的加法可得 BC则
2、A B()jj jAjjBj00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C作 ，可得 jBibcB从而 siisiC类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsinc理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k使 ， ， ；sinaAsibkBsinckC（2） 等价于 ， ，siiBicCiiabisicbBinaAsicC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一
3、边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。1.1.2余弦定理A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CBaAbBcabbcC B 22 cab a从而 (图 11-5)22coscC同理可证 A22baB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabABcC从余弦定理，可得到以下推论： 22osbaAccB22osbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以
4、求出其它角。若 ABC中，C= ，则 ，这时09cosC22cab113 解三角形的进一步讨论例 1在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况,abA分析：先由 可进一步求出 B；siniB则 从而08()CsinaCcA1当 A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。b2当 A为锐角时，如果 ，那么只有一解；ab如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 ，则有两解；sin（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。i2.1 数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们
5、就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1项（或首项），第 2项，第 n 项，.数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第 n 项 ,321anan 数列的通项公式：如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是 ，也可以是 .2)(1nna |21cos|nan数列通项公式的作用：求数列中
6、任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。()naf反过来，对于函数 y=f(x),如果 f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)， f(n)， 6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限
7、的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2.1 数列的概念与简单表示法1、 通项公式法如果数列 的第 n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公na式就叫做这个数列的通项公式。2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即
8、以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法递推公式：如果已知数列 的第 1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或nana1na前 n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。4、列表法简记为 2.2 等差数列1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这
9、个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ,若 =d (与 n无关的数或字母)，n2，nN ，则此数na1n 列是等差数列，d 为公差。2等差数列的通项公式： 【或 】dn)(1nadm)(2.2 等差数列成等差数列,2baA结论：（性质）在等差数列中，若 m+n=p+q，则， qpnmaa即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) qpnma但通常 由 推不出 m+n=p+q ，a nm2.3 等差数列的前 n 项和1等差数列的前 项和公式 1：n2)(1naS2 等差数列的前 项和公式 2： 1dn用上述
10、公式要求 必须具备三个条件：nSna,但 代入公式 1即得： dan)1( 2)1(1dS此公式要求 必须已知三个条件： （有时比较有用）d,2.3 等差数列的前 n 项和1.等差数列的前 项和公式 1： n2)(1nnaS2.等差数列的前 项和公式 2： 1dn对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用 :na当 0，d0，前n项和有最小值 奎 屯王 新 敞新 疆可由 0，且 0，求得n的值 奎 屯王 新 敞新 疆（2） 利用 ：S由 利用二次函数配方法求得最值时 n的值)2da(12n2.4 等比数列1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
11、那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q0），即： =q（q 0）1na1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 成等比数列 =q（ ,q0）nna1N2 隐含：任一项 0n且“ 0”是数列 成等比数列的必要非充分条件na3 q= 1 时，a n为常数。2.等比数列的通项公式 1: )0(11qaann由等比数列的定义，有：；qa12；213)(qa；3214 奎 屯王 新 敞新 疆)0(11qaqann3.等比数列的通项公式 2: )0(1qamn4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列等比数列与指数函数的关系：等比数列 的通项公式 ,它的图象
12、是分布在曲线na)(11nn（q0）上的一些孤立的点。1xyq当 ，q 1 时，等比数列 是递增数列；10ana当 ， ，等比数列 是递增数列；1当 ， 时，等比数列 是递减数列；1 n当 ，q 1 时，等比数列 是递减数列；0aa当 时，等比数列 是摆动数列；当 时，等比数列 是常数列。n1qna2.4 等比数列1等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G， b 成等比数列，那么称这个数 G为 a 与 b 的等比中项. 即 G= （a,b 同号）如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则，G2反之，若 G =ab,则 ，即 a,G,b 成等比数列
13、。a,G,b 成等比数列G =ab（ab0）22等比数列的性质：若 m+n=p+k，则 kpnm在等比数列中，m+n=p+q， 有什么关系呢？kpna,由定义得： 11 mqqa 1k1 kpqaq， 则21nnma 21kpkp pnm.课堂练习课本 P53的练习 3、5.课时小结1、若 m+n=p+q， qpnma2、若 是项数相同的等比数列，则 、 也是等比数列nba, nba.课后作业课本 P53习题 2.4A组的 3、5 题（第 9 课时）课题: 2.5 等比数列的前 n 项和教学目标知识与技能：掌握等比数列的前 n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列
14、的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。教学重点等比数列的前 n项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题教学过程.课题导入创设情境提出问题课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”.讲授新课分析问题如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是 1，公比是 2，求第一个格子到第 64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前 64项的和。
15、下面我们先来推导等比数列的前 n项和公式。1、 等比数列的前 n项和公式：当 时， 或 qqaSn1)( qaSnn1当 q=1 时， n当已知 , q, n 时用公式；当已知 , q, 时，用公式.1a1an公式的推导方法一：一般地，设等比数列 它的前 n 项和是 n,321nSaa1由 132nnq得 nnn qaqaSa1131212nq)(当 时， 或 1qSnn1)( qSnn1当 q=1 时， an公式的推导方法二：有等比数列的定义， qan1231根据等比的性质，有 Sann11213即 （结论同上）qaSn1qaSnn1)(围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出
16、了公式公式的推导方法三：nSnaa321 )(1321naq nq)(1S（结论同上）1)(解决问题有了等比数列的前 n项和公式，就可以解决刚才的问题。由 可得1,264aq= = 。()nnS(1)6421这个数很大，超过了 。国王不能实现他的诺言。64219.80例题讲解课本 P56-57的例 1、例 2 例 3解略.课堂练习课本 P58的练习 1、2、3.课时小结等比数列求和公式：当 q=1 时， 当 时， 或1naS1qqaSnn1qaSnn1)(.课后作业课本 P61习题 A组的第 1、2 题（第 10 课时）课题: 2.5 等比数列的前 n 项和教学目标知识与技能：会用等比数列的通
17、项公式和前 n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力qnaSn,1过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n项和公式教学难点灵活使用公式解决问题教学过程.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前 n 项和公式：当 时， 或 1qqaSn1)( qaSnn1当 q=1 时， n当已知 , q, n 时用公式；当已知 , q, 时，用公式1a1an.
18、讲授新课1、等比数列前 n项，前 2n项，前 3n项的和分别是 Sn，S2n，S3n，求证： )S(Sn3222、设 a为常数，求数列 a，2a 2，3a 3，na n，的前 n项和；（1）a=0 时，S n=0（2）a0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+n= )1(若 a1，S n-aSn=a（1+a+a n-1-nan），Sn= na)()a( 12.课堂练习课本 P61习题 A组的第 4、5 题.课时小结.课后作业课本 P61习题 A组的第 6题（第 11-12 课时）课 题：数列复习小结教学目的：1系统掌握数列的有关概念和公式。2了解数列的通项公式 与前 n项和公式 的关系。an
19、S3能通过前 n项和公式 求出数列的通项公式 。Sa授课类型：复习课课时安排：2 课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前 n项和公式及其推导方法三、方法总结1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中， a 、 、 n、 d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思1nS想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前 n项和时要考虑公比是否等于 1，公比是字母时要进行讨论，体现
20、了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等四、知识精要：1、数列数列的通项公式 数列的前 n项和 )2(11nSannaS3212、等差数列等差数列的概念定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示。等差数列的判定方法1 定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列。 nadan1 na2等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列。22n等差数列的通项公式如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。na1
21、ddnan)1(说明该公式整理后是关于 n的一次函数。等差数列的前 n项和 1 2. 2)(1naS dnaS2)1(1说明对于公式 2整理后是关于 n的没有常数项的二次函数。等差中项如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或aAbAab2baAb说明：在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，nanma且 ，公差为 ，则有nmddmn)(2 对于等差数列 ，若 ，则 。na
22、qpqpn也就是： ，如图所示：23121nnna nnanaa112,313若数列 是等差数列， 是其前 n项的和， ，那么 ， ，nanS*NkkSk成等差数列。如下图所示：kS2 k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S31 3、等比数列等比数列的概念定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示（ ）。0等比中项如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中abGabGab项。也就是，如果是的等比中项，那么 ，即 。aa2等比数列的判定方法1
23、 定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。 n)0(1qann2等比中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。21na等比数列的通项公式如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。na1q1nq等比数列的前 n项和当 时，1 )1(1qaSnn2 )1(1qaSnn3 11naS等比数列的性质1等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，nnm且 ，公比为 ，则有nmqmnqa3 对于等比数列 ，若 ，则nvuvumna也就是： 。如图所示： 23121nnnaa nnanaa112,314若数列 是等比数列， 是其前 n项的和， ，那么 ，
24、 ，nnS*NkkSk成等比 数列。如下图所示：kS23 k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S31 4、数列前 n项和（1）重要公式：；2)1(32；6)nn 奎 屯王 新 敞新 疆233)1(21（2）等差数列中， mndSnm（3）等比数列中， nSq（4）裂项求和： ；（ ）1)(1nn!)1(!3.1不等式与不等关系1）用不等式表示不等关系3.1 不等式与不等关系1、不等式的基本性质：（1） ,abca（2） （3） ,0b（4） abcac利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1） ；,dbd（2） ；0abcac（3） 。,1;nnnNb3.2 一元二次不
25、等式及其解法1） 一元二次不等式的定义象 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元250x二次不等式2） 探究一元二次不等式 的解集250x（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集3） 探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： 2 20,()0,()axbcaxbca化（l）抛物线 （a 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一y2元二次方程 =0的判别式 三种取值情况( 0，=0，0 ； 分 O，=0，0与 0,b0,我们用分别代替 a、b ，可得 ，通常我们把上式写作： (0,)2ab2） 从不等式的性质推导基本不等式 2用分析法证明：要证 (1)ab只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b- 0 （3）要证（3），只要证 （ - ） （4）2显然，（4）是成立的。当且仅当 a=b时，（4）中的等号成立。3） 理解基本不等式 的几何意义2ab
