1、解直角三角形的实际应用王德义解直角三角形知识的解决测高、测距等实际问题方面具有重要作用，是中考命题的热点之一。现在以北师大版教材数学九年级下册第一章第 4 节中的题目为例，归纳这类题的解题策略，供读者参考。一. 基本题型例 1. 如图 1，海中有一个小岛 A，该岛四周 10n mile 内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20n mile 后到达该岛的南偏西 25的C 处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流。 （该题是课文开头导入课题的讨论、交流题）图 1例 2. （P 21“想一想” ）
2、如图 2，小明想测量塔 CD 的高度。他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m 至 B 处，测得仰角为 60，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到 1m）图 2例 3. （习题 1.6 第 2 题）有一座建筑物，在地面上 A 点测得其顶点 C 的仰角为30。向建筑物前进 50m 到 B 点，又测得 C 的仰角为 45，求建筑物的高度（结果精确到 0.1m）在例 1 中，要判断货轮继续向东航行途中会不会有触礁的危险，只需求出货轮的航行途中距岛 A 的最近距离。如图 1，作 ADBC 交 BC 的延长线于 D，该题实际上是求线段 AD 的长。例 2 明确指出是求
3、 CD 的长。根据例 3 的题意画出图 3，CD 表示建筑物，该题和例 2 相似，都需求出线段 CD 的长。我们认真观察、比较图 1、图 2、图 3，发现这三道题可归结为下面的基本题目。图 3例 4. 如图 4，已知点 A，B，D 在同一直线上，且 A，B 在点 D 的同侧，CDAD于 D，AB m，CAD ，CBD，求 CD 的长（用含 ，m 的式子表示） 。图 4分析：该题图中存在两个直角三角形：ACD 和BCD。它们有一条公共直角边CD，另一对直角边之差 ADBDm 为已知。根据锐角的正切定义，可用含 CD 的式子表示 AD 和 BD，然后列出等量关系式求解。解：在ACD 中，ADC90
4、，由锐角的正切定义得 ，即tanCADADCDtantan同理，在BCD 中有 BCtamCtant解得 Dtant评注：例 4 的解答方法是利用两个直角三角形中的边角关系和已知条件ADBD m，列出关于 CD 的方程，再解方程求出结论。有了例 4 的解法，例 1、例2、例 3 便迎刃而解了。说明：例 4 解答过程中的方程还有其他列法，同学们可尝试别的方法。二. 基本题型的引申、推广例 5. 若把例 4 中“A，B 在点 D 的同侧”改为“A，B 在点 D 的两侧” ，其他条件不变（如图 5） ，求 CD 的长。图 5解：由例 4 的分析、解答过程可知CDmtant解得 atnt评注：例 4
5、和例 5 是解直角三角形应用题的两个试题模型，利用这两个试题模型，除能解决航海问题和测高问题外，还能解决别的类似问题。三. 中考中的类似题型例 6. （2005 年青海省课改区）如图 6，一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头 A处测得路边的小树 D 在它的北偏西 30，前进 32m 到断口 B 处，测得小树 D 在它的北偏西 45。请计算小桥断裂部分的长（结果用根号表示）分析：根据题意画出图 7，延长 AB 交小路于点 C，则ACD90，AB32m ，DAC 30，DBC45，要求 BC 的长，可参考例 4 的解法。解
6、：如图 7，延长 AB 交小路于点 C在 Rt ADC 中， ADtan30在 Rt BDC 中， BCDtan45A32，即3D3216()BC16()小桥断裂部分的长为 3m评注：解答该题要先把实际问题转化为数学问题，在实际问题中建立直角三角形模型。通过对该题的解答，我们要认真领悟转化思想和建模思想在解题中的应用。例 7. （2005 年青岛市课改区）如图 8，为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距 20n mile 的 A，B 两地设立观测站（海岸线是过 A，B 的直线） ，按国际惯例，海岸线以外 12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测
7、员发现一外国船只行驶至 P 处，在 A 观测站测得BAP63，同时在 B 观测站测得ABP 34 。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？（参考数据： ）sintansintan63910632435423， ， ，分析：由于海岸线以外 12n mile 范围内均为我国领海，当该外国船只行驶至 P 处时，我们需要求出该船只到海岸线 AB 的距离，可过点 P 作 PQAB 于 Q，求出 PQ 的长，再与 12n mile 比较大小即可判断最后结论。对照例 5 便可得出解法。解：如图 8，过点 P 作 PQAB 于 Q在PAQ 中， AQP 90 AQBPtanta6321在
8、PQB 中， PQB 90 PQtata43AQB20123P解得 PQnmileil102故应该向该未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海。评注：在解直角三角形应用题中，虽然题目涉及内容不同，但有相当一部分题目的图形与本文的两个“试题模型”是一致的，今后解题时，我们要善于分析、归纳、总结，充分发挥“试题模型”的作用，这就是数学中的“类比思想” 。学会类比，精通一道题，会解一类题。练习：1. 如图 9，天空中有一静止的广告气球 C，从地面上 A 点测得 C 点的仰角为 45，从地面上 B 点测得 C 点的仰角为 60。已知 AB20m，点 C 和直线 AB 在同一铅垂面上，求气球 C 离地面的高度（结果保留根号） 。图 92. 为测量汉江某段河面宽度，秋实同学设计了如图 10 所示的测量方案：先在河的北岸选一定点 A，再在河的南岸选定相距 am 的两点 B，C ，分别测得ABC， ACB。请你根据秋实同学测得的数据，计算河宽 AD。图 10参考答案：1. 103()m2. ADatn
