1、.三角函数解答题1 已知向量1(1,cos),(sin)4axbx（1）当0,x时，若 a，求 的值；（2）定义函数 (),()fbxRf求 的最小正周期及最大值。2 已知函数()cos(2)sin()si()34fxx（）求函数 f的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数 ()fx在区间,12上的值域。解：（1）cos()sin()si()34x3cos2iniicoxx 2132sinicosxxxicos2in()6x2周 期 T由,()223得 kkZxZ函数图象的对称轴方程为 ()3x（2）5,2,16x因为()sin)f在区间,13上单调递增，在区间,32上单调递减，所以 当 3
2、x时， ()fx取最大值 1.又 31()()122ff，当 2x时， ()fx取最小值32所以 函数 ()fx在区间,上的值域为3,13已知向量 a)6cos,sin22x， 22(sin,cos),6bx baxg(。（）求函数 ()gx的解析式，并求其单调增区间；（）若集合 ),1()2()|RxfxffM，试判断 )(xg 与集合 M的关系。解：（）44()sincos6gx)co6(sin22 xx3cos)(i22，由,6,3 ZkkZkxk 、)(g的单调增区间为 ).(36,（）)32cos)2( xxg)in3sco3s(co 1(sin)3x)1()xg， .)(Mxg4.
3、已知 ABC 的内角 ,的对边分别为 ,abc，定义向量 2sin,mB，2cos,1n且 /mn（）求函数 sicos2ifxBx的单调递增区间；（）如果 2b，求 AC的面积的最大值。解：（） n/B2cos3)12s(iB2cos32sin即 ta又 B为锐角 ,0 .32B sincos2insi23fxxBx23kk函数的单调递增区间是5,12k （）得， 由 余 弦 定 理 acbBbB2cos,3042ac又 代入上式得： 4ac（当且仅当 c时等号成立 ）34sin21BacSABC（当且仅当 2时等号成立 ） 5已知函数21()icosfxx, ()xR（I）求函数 f的最小
4、值和最小正周期；（II）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 3， ()0fC，若向量与向量 共线，求 的值.)sin,1(m)sin,2(B解：（I）31coi2xfx=sin()16x则 ()f的最小值是-2,最小正周期是T. （II）sin(2)106fC,则sin(2)6C=1,0,1,26C, 3, .向量 与向量 共线)sin,1(Am)sin,2(B2iB， 由正弦定理得，12ab由余弦定理得，cos3c，即 3= 2ab 由解得 1,2ab. 6. 设 (cos,)(sin,)xx(1)若 /ab,求2c的值；(2)若 ()fxa,求 ()fx在 0,上的递减区间。解
5、： （1） /2cosinta2x2(sin)icsocs(tant1)xx x29(tat1)15（2）2 21)cosincssin()42fxxx4kk388kkz0,x令 ,1得 ()fx在区间 0,上的递减区间是70,87.已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=2， cosB= 35(1)若 b=4，求 sinA 的值； (2) 若ABC 的面积 S =4，求 b，c 的值解：(1) cosB= 350，且 0B，sinB= 241cosB. 由正弦定理得 abinAi， .42asinB5iAb. (2) S = 1acsinB=4， 42c5， c=
6、5. 由余弦定理得 b2=a2+c22accosB， 23a+cosB+5175. 8.设函数 axxf 2csin3)( 。（1）写出函数 f的最小正周期及单调递减区间；（2）当 3,6x时，函数 )(xf的最大值与最小值的和为 23，求 )(xf的图象、y轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。解：（1） ,21)62sin(2cos1sin2)( axaxf .T.36,36kxkxk 得由故函数 )(f的单调递减区间是 )(2,Z。 （2） （理） .1)62sin(1.656,36 xxx当 ,x时，原函数的最大值与最小值的和 )(aa.21)6sin(),0,23xfa)(
7、xf的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 )0,( 所以 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积 .432|)62cos(12)6sin( 020 xdxS.9.已知 a为实数，函数 3sin)(af， 1sin)()ag（ R） （1）若 cos)(f，试求 的取值范围；（2）若 a，求函数 )(gf的最小值解：（1） cs)(f即 a3cosin，又 )4sin(2cosin， 所以 23，从而 a的取值范围是 3,2 （2） 1sin)()(si)( gf ，令 x1si，则 0，因为1a，所以 31x，当且仅当 )(ax时，等号成立， 由 2)(3解得 7a，所以当
8、 37a时，函数 gf的最小值是2； 下面求当 3时，函数 )(gf的最小值当 7a时， 2)1(a，函数 xah)1(3在 2,0(上为减函数所以函数)(gf的最小值为 52)(3当 3时，函数 xah1)在 ,0(上为减函数的证明：任取 201x，)(3()( 121212xxh，因为 412x， 4)(3a，所以0312a， 0)(12h，由单调性的定义函数 xh1)(在 2,0(上为减函数于是，当 37a时，函数 )(gf的最小值是 2)1(32a；当 37时，函数 )(gf的最小值 21(5a 10.已知 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，且满足 (2)cosaBb
9、C。（I）求角 的大小；.（）设 (sin,1)(,)mA，求 mnA的最小值。解：（I）由于弦定理2isiiacbRCB，有 2sin,naRb代入 ()cosB得 (2is)cosincABC。即 2sinsisinsi()ACB。,2coBA0si01co2,3B（） sin1mA， 由，得2(0,)。 所以，当A时， n取得最小值为 0， 11.已知函数 )0(2sin3si)(2 xxf的 最 小 正 周 期 为（1）求 );(xf（2）当 )(,21xf求 函 数时的值域。解：（1） xf cosin3cos)( .21)6i(21sin23 xx,0,)( 且的 最 小 正 周
10、期 为函 数 xf.1,2解 得 2)6sin()xf（2） .65,3,1 根据正弦函数的图象可得：当 ,26xx即 时，)sin()g取最大值 1 当 2,3xx即 时 .3)62sin()取 最 小 值g,21)i(31x即 .3,)(的 值 域 为xf 12.已知 )2sin,(co),1cs2mxba , f(x)= ba。(1)求函数在0,上的单调增区间；(2)当 6,0x时，f(x)的最大值为 4，求实数 m 的值。解：（1）依题意得： baxf)( )2sin3(co1,s2mxxi1)62(sin3令 2kxk20081215.得 63kxk z,0)(在f上的单调增区间为
11、,326,0（2） 6,x2)6sin(21x1i时即当 62xx1)(maxf依题意得： 43113.已知函数 .3coss3in)(2xxxf（1）将 写成 )A的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求角 的范围及此时函数 ()fx的值域.解：（1） 2sinco3sxx = 23ix =sin() 若 x为其图象对称中心的横坐标，则 2sin()3x=0， 23k， .解得： 3()2xkZ （2）22cos 2acbacac， 即 1x，而 (0,)，所以 (0,3x。 8(,39， 28sinsin13
12、9， 所以 )i,1fx 14.已知函数 2(sincos.xxf（）将函数 )化简成 i()(0,2)ABA的形式，并指出()fx的最小正周期；（）求函数 17(),2fx在 上的最大值和最小值。解： () f(x)= sinx+ 23)4sin(23)cos(in21cos xx.故 f(x)的最小正周期为 2 kZ 且 k0 。()由 x 17，得 3545x.因为 f(x) 23)4sin(2x在 45,上是减函数，在 127,上是增函数，故当 x= 5时， f(x)有最小值23；而 f( )=2， f( ) 462，所以当 x= 时， f(x)有最大值2.15.已知 )(.0,(21
13、sin3sin)(2 xfxxf 若R的最小正周期为 2。（I）求 )(ff的 表 达 式 和 的单调递增区间；（II）求 65,)(在 区 间x的最大值和最小值。解：（I）由已知 )0,(21sin8sin2 Rxxf.分单 调 递 增 区 间 的 为即 分 分的 周 期 为又 由 分 7)(32,2)( )(32)(625)sin() 412,23)6sin( 2cos1sin812sin82co1 zkkxf zkxzkxfx xxx（II） 656565, xx 分和为的 最 大 值 和 最 小 值 分 别在 区 间 分 分 1328165,)( 13)sin(2802sin63 xf
14、x16已知 (cos,),(cos,3in)axbx（其中 0） ，函数fxb，若直线 3是函数 f（x）图象的一条对称轴，（1）试求 的值；（2）先列表再作出函数 ()f在区间 ,上的图象解：-1xy3223O123.2()2cos,cos,3incos3cosinfxabxxxx 1s3in12i()6（1） 直线 x为对称轴， s13， ()362kZ2k， 10032k（2） ()sin()6fxx函数 f（x）在 ,的图象如图所示。520 276x3635y0 -1 1 3 1 0.17.在 ABC 中，角 A、B、 C 所对的边分别为 、 ，且 .abc31osA（）求 的值；2c
15、ossin2（）若 ，求 的最大值. 3ab解：() = =ACB2cossin2)1cos2()cos(1 ACB1)(2= = 。)9(3() ，cos2Aba 。223ac又 ， 。a94bc 的最大值是 。bc18.在 ABC，已知 2233ABC，求角 A，B，C 的大小.解：设 ,abc由 23得 2os3bc，所以 3os2又 (0,)A因此 6 由 233BC得 23bca，于是 23sinsin4CBA所以 5sin()64， 13si(coi)2，因此22ico3sin,is0，既 sin(2)03C由 A= 6知 506C，所以 ， 43C，从而.20,3C或 2,3，既
16、 ,6C或 2,3故66AB或 AB19. 设函数 2()sin)cos148xxf（）求 x的最小正周期 （）若函数 ()yg与 ()fx的图像关于直线 x对称，求当 40,3x时()yx的最大值解：（） f=sincosincos46464xxx= 3i2 = 3i() 故 ()fx的最小正周期为 T = 24 =8()解法一：在 ()ygx的图象上任取一点 (,)xg，它关于 1x的对称点 (2,)xg .由题设条件，点 2,)在 yf的图象上，从而 ()3sin(43xf x= 2 = cos()43x当 04x时， 3x，因此 yg在区间 40,上的最大值为maxcos2g 解法二：
17、因区间 40,3关于 x = 1 的对称区间为 2,3，且 ()ygx与 ()f的图象关于x = 1 对称，故 ()yg在 40,上的最大值为 f在 2,3上的最大值由（）知 ()fx sin)x当 23时， 643.因此 ()ygx在 40,3上的最大值为 max3sin62g 20. 设函数()cos)cos434xxf（）求 fx的最小正周期；（）求函数 (2)yfx在 0,上的值域解：（） ()f=cossincos43434xx=31sin24x=i().6故 ()fx的最小正周期为 T = 24=8. ()2sin(2)46yf x=i()=cos()4. 0 x 2，6 4x23，1cos()46x32，即3cos()-1所以函数 (2)yfx在 0,上的值域为31,2.
