1、 2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 1 页 共 1 页2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 2018.4 本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟。 第卷（选择题，共80分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题8分，共80分 1已知集合 1,3,5,7,9A, 2,4,6,8B ,若 ,C a b a A b B ，则集合C的所有元素之和为 2在 ABC 中，1sin , 23A AB ，则CA CB 的最小值为 3设 ( )f x 是定义在R上的函数，对任意实数x有 ( 1) ( 4) 1f x f x ，又当0 5x 时，2(
2、) log (7 )f x x ，则 (2018)f 的值为 4若sin sin2 sin3 cos cos2 cos3 1x x x x x x ,则x 5已知函数 ( ) ( )f x x a a R ， )()(1xfxf ， ),2)()(*1Nnnxffxfnn若 xxf )(2018没有零点，则a的取值范围是 6若对任意 1,1x ,恒有22 ( , , )x ax b c a b c R 成立，则当c取得最小值时,函数( ) 2 3 ( )f x x a x b x c x R 的最小值为 7用 x 表示不大于x的最大整数，方程6 10 15 30x x x x 的最小正解为 8
3、函数 ( ) sin sin( 1)f x x x 的值域为 9已知平面向量 2OA OB ,且 2OA OB ，若 0,1t ，则tAB AO (1 )2BOt BA 的最小值为 10已知函数2( ) ( 0)f x ax bx c a ,其中 , ,a b c是整数，若 ( )f x 在(0,1)上有两个不相等的零点，则b的最大值为 2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 2 页 共 2 页第卷（非选择题，共120分） 二、解答题：本大题共5小题，共120分 11已知函数1( ) log1axf xbx是奇函数（ 0 1a a且 ） （1）求b的值及函数 ( )f x 的定义域；
4、 （2）是否存在实数a使得 ( )f x 的定义域为 , m n ，值域为1 log ,1 log a an m ？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由 12设函数2( ) 3sin cos cos ( 0)f x x x x ,且 ( )y f x 的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4（1）求的值及函数 ( )f x 的单调增区间； （2）若 56f ，求7sin( 4 )6 的值 13已知定义域为R的函数 ( )y f x 满足: 对任意的 ,x y R ,均有 ( ) ( ) 2 ( )cosf x y f x y f y x ,且当 , )2xpp 时， ( ) 0f
5、 x （1）求 (0)f 的值； （2）解方程 (3 ) (2 )f x f x 14已知向量 ,a b 满足1 2,2 3a b （1）求a b a b 的取值范围； （2）若3 4a b ，求a b 的最大值 15已知函数 ( )f x x a b , ,a b R （1）当 2b a 时，若 )(xf 在区间1,2上的最大值为2,求实数a取值范围； （2）当 1b 时，若存在实数m,使得关于x方程1( )4xf x m 在 2,2 上有6个互不相同的解，求实数a取值范围 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 1 页 共 1 页2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛
6、试卷参考答案 2018.4 1、80 3,5,7,9,11,13,15,17C 2、89 （极化恒等式或建系） 3、由 ( 1) ( 4) 1f x f x 得周期 10T , 所以1 1(2018) (8)(3) 2f ff 4、因为 1 sin sin2 sin3 cos cos2 cos3 sin sin2 sin3 cos cos2 cos3sin sin2 cos cos2 max cos , cos3 1xxx xxx xxx xxxx x x x x x 所以 cos3 1x 或 cos 1x 若 cos3 1x ，则sin3 0x ，从而 cos 1x ；若 cos 1x ，得
7、 ,x kx k Z ，经检验满足条件 5、由题意可得 ( )f x x a x 无解，不然2018( )f x x 也有解，所以14a 6、由22cos 1 1q 可得 0, 1, 1a b c ，所以 ( ) 2 1 3 1 2f x x x x （几何意义易得） 7、 由不等式 1x x x 得 6 1 10 1 15 1 6 10 15 30 6 10 15x x x x x x x x x x 即0 3x ，再分段讨论可得最小解为15 方法 2:设 , , , 0,2930kx m m k Z k 且 , 则原方程转化为5 3 2kkkk m ，最小正解为 0, 6m k 8、1si
8、n1,2cos 2（周期为p ，所以只需考虑 0, x p 上的值域，去绝对值后和差化积）9、 7 画图 10、因为 , ,abc是整数，所以 (0) 1, (1) 1f c f abc ，且必存在0(0,1)x ，使得20 0 0( ) 0f x ax bx c ，消去 ,a c 得2 2 222200 00 00 0 00 00 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )ax bx c b c x bx c b x bx x c b x bx x 故20 014bx x ，即 5b 方法2：由题意可得2(0) 1, (1) 1, 0 1, 4 02bf c f a b c b aca
9、 ，消去,a c有24 0b b ，解得 5b 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页11、（1） 1b，1( ) log1axf xx( )f x 的定义域为( , 1) (1, ) ； （2）假设存在实数a，使得 ( )f x 的定义域为 , m n ，值域为1 log ,1 log a an m ， 由m n ，及1 log 1 loga an m ，得0 1a ， ( ) 1 log , ( ) 1 loga afm mfn n ， ,m n是方程 ( ) 1 logaf x x 的两个根， 化简得2( 1) 1 0ax a x 在(1, ) 上
10、有两不同解， 设2( ) ( 1) 1g x ax a x ，则(1) 01120gaa ，解得0 3 2 2a 存在实数 (0,3 2 2)a ， 使 得 ( )f x 的定义域为 , m n ，值域为1 log ,1 log a an m 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 3 页 共 3 页12、（1）1( ) sin(2 )6 2f x xpw ，而周期22Tppw ，所以 1w ，即1( ) sin(2 )6 2f x xp ，所以单调增区间为( , ),3 6k k k Zp pp p ； （2）由题意可得1sin(2 )6 3pa ，所以7 3 7sin(
11、 4 ) sin( 2(2 ) cos(2(2 )6 2 6 6 9 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 4 页 共 4 页13、（1）令 0x y 得 (0) 0f ； （2）令2xp 有 ( ) ( )2 2f y f yp p ，即 ( )f x 关于2xp 对称，令 0x 有( ) ( ) 0f y f y ，所以 ( ) ( ) 0f y f yp ，即 ( )f x 的周期为2p 又当 (0, )2xp 时， ( ) ( ) 0f x f xp ，故 ( ) 0f x 的根为x kp ， 由5(3 ) (2 ) 2 ( )cos 02 2x xf x f x
12、 f 得5( ) 0 cos 02 2x xf 或 ， 所以+22 ,5kx k k Z或p pp 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 5 页 共 5 页14、（1）设 ,0 , cos , sina r b R R ,其中1 2,2 3r R , 则22 2222 22( cos ) ( sin ) ( cos ) ( sin )2 cos 2 cosa b a b r R R r R RrR Rr rR Rr tb b b bb b 记为则 2 22 222 222 22 2222( ) 2 ( ) 4 cos 2( ) 2 ( ) 52t rR rR Rr rR
13、rRb 2 22 222 222 22 222 22 22( ) 2 ( ) 4 cos 2( ) 2 ( ) 4 4 16t rR rR Rr rR rR Rr Rb 故216 52t ，即4 2 13t 方法 2：如图 ,OB b OA a ，即求2( )OC CB 的最值，当 ,b a 定的情况下，C的轨迹是以 ,O B为焦点椭圆，2aCD，考虑离心率e，再让 ,b a 动，易得 2, 13OC CB （2）由 4a b 平方得： 2 21616 22 2a ba ba b ，所以 4a b ，当且仅当4a b ，且a与b同向时等号成立，即当且仅当a与b同向，且 2a b 时等号成立.
14、方法 2：设 cos , sin , cos , sina r r b R R ，其中1 2,2 3r R 由 4a b 平方得： 2 2cos cos sin sin 16r R r R . 所以： 2 216cos2r RRr ，即 2 2162r Ra b ，下同解法一. 方法3： 2 2 21 144 4ab ab ab ab ，当且仅当a与b同向，且 2a b 时等号成立. CDOBA2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 6 页 共 6 页方法 4：由已知条件易得：要使a b 达到最大，令 2a ，由图示可知，要使2 3,3 4b a b 同时满足，则b在a方向
15、上的投影长度的最大值为2 ，所以4a b ，当且仅当a与b同向，且 2a b 时等号成立. 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 7 页 共 7 页15、（1） 0a ； （2）即存在实数m ,使得关于x 方程1( )4xf x m 在 2,2 上有6 个互不相同的解，设22( 1) ,() ()( 1) ,x a x x ag x xf xx a x x a ， 当 2 2a a 或 时，1( )4g x m 在 2,2 上不可能有6个互不相同的解； 当 2 1a 时，有1 12 22 2a aa ，此时 ( )g x 在( 2, )a 递增，1( , )2aa递减，1
16、( ,2)2a递增，因为21 6 7( ) ( 2) 02 4a a af f ， (2) ( )f f a ，所以要使得1( )4g x m 在 2,2 上 有 6 个互不相同的解，只需1( ) ( 2)2f a f ， 解 得312a ； 当 1 1a 时 ， 有1 12 22 2a aa ，此时 ( )g x 在1( 2, )2a 递 增 ，1 1( , )2 2a a 递 减 ，1( ,2)2a递增，因为21 6 7( ) (2) 02 4a a af f ，1( ) ( 2)2af f ，所以要使得1( )4g x m 在 2,2 上有 6 个互不相同的解，只需1 1 1( ) ( )2 2 2a af f ，解得 0a ； 当1 2a 时，有1 12 22 2a aa ，此时 ( )g x 在1( 2, )2a 递增，1( , )2aa递减，( ,2)a 递增，此时1( ) (2)2af f ，所以要使得1( )4g x m 在 2,2 上有6个互不相同的解，只需1(2) ( )2f f a ，解得312a ； 故当3 32 2a 且 0a 时，存在实数m,使得关于x方程1( )4xf x m 在 2,2 上有6个互不相同的解.
