1、南京学泽教育1八年级数学(上)期末复习+例题解析 第一章 三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定： 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对
2、应相等的两个三角形全等。角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路：已知两边：找第三边（SSS） ；找夹角（SAS） ；找是否有直角（HL）.已知一边一角：找一角（AAS 或 ASA） ；找夹边（SAS）.已知两角：找夹边（ASA） ；找其它边（AAS）.南京学泽教育2例题评析例 1 已知：如图，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，
3、求证：AB=AC例 2 已知：如图， A、C 、F、D 在同一直线上，AFDC，AB DE，BCEF，求证：ABC DEF例 3 已知：BECD，BEDE，BC DA，求证： BEC DEA； DFBC例 4 如图，在ABE 中，AB AE,ADAC,BADEAC, BC、 DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .例 5 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90得到DCF ，连接 EF，若BEC=60，求EFD 的度数.例 6 如图，将长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点B的位
4、置， AB与 CD 交于点 E.（1）试找出一个三角形与 AED 全等，并加以证明.（2）若 AB=8， D E=3， P 为线段 AC 上的任意一点， PG AE 于 G， PH EC 于 H， PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。BCDEFABC DEF A OCEBDAAB CD E南京学泽教育3例 7 已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1 ）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ， QE 与 Q
5、F 的数量关系是 ； （2 ）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系， 并给予证明； （3 ）如 图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明复习作业：解答题1.（1）如下图，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B，C 的距离 分别为 3，4 ，5，则APB=_ _。分析：由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处，此时ACP_这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB 的度数。（2）
6、请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知 如右图，ABC 中，CAB=90，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且EAF=45，求证：EF 2=BE2+ FC2 。2.如图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， ABC BAD求证：（1） OA=OB；（2） AB CD南京学泽教育43.如图所示， ABC ADE，且 CAD=10， B= D=25， EAB=120，求 DFB 和 DGB 的度数4.如图所示，已知 AEAB ，AF AC ，AE=AB，AF =AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC BF .5.已知：如图，AB=AE ,1= 2,B=E.
7、求证：BC=ED.6.如图所示，在ABC 中，AB=A C，BDAC 于 D，CEAB于 E，BD ，CE 相交于 F.求证：AF 平分BAC .7.ABC 中， ACB90 ，ACBC 6，M 点在边 AC 上，且 CM2，过 M 点作 AC 的垂线交 AB 边于 E 点.动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 M 点运动，速度为每秒 1 个单位，当动点 P 到达 M 点时，运动停止.连接 EP，EC.在此过程中， 当 t 为何值时，EPC 的面积为 10？ 将EPC 沿 CP 翻折后，点 E 的对应点为 F 点，当 t 为何值时， PFEC？ACBEMPFACBMP南京学泽教育58.在 A
8、BC 中 ， ABC 90， 分 别 以 边 AB、 BC、 CA 向 ABC 外 作 正 方 形 ABHI、 正 方 形BCGF、 正 方 形 CAED， 连 接 GD， AG， BD. 如图 1，求证：AG BD. 如图 2，试说明：S ABC S CDG .（ 提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）图 1图 2第二章 轴对称1、 轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。2、 轴对称的性质： 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 3、线段的垂直平分线：性质定
9、理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。ACBFGEDIHACBFGEDIH南京学泽教育6拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等4、角的角平分线：性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。5、等腰三角形： 性质定理：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（三线合一） 判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。 （等角对等边）
10、6、等边三角形：性质定理：等边三角形的三条边都相等；等边三角形的三个内角都相等，都等于 60；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。判断定理：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是 60的三角形是等边三角形； 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。7、直角三角形推论：直角三角形中，如果有一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。南京学泽教育7例题评析1、线段的对称轴有 条，是 2、线段垂直平分线上的点到 的距离相等 3、到 距离相等的点在线段的垂直平分
11、线上 例 1：如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线(1)若 AC6 ，ABD 的周长是 13，则ABC 的周长是_；(2)若ABC 的周长是 30，ABD 的周长是 25，则 AC _例 2：如图，在ABC 中，边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、点 D.(1)若 BC8，则ADE 的周长是_；(2) 若BAC=110，那么EAD_(3) 若EAD=100，那么BAC_4、角的对称轴有 条，是 5、角平分线上的点到 的距离相等 又 6、角的内部到 距离相等的点在角的平分线上 又 例 3：如图，在ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC. (1)若 CD=5，则点 D
12、 到 AB 的距离为 .(2) 若 BD：DC=3：2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 .例 4：如图，OP 平分AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为 A、B下列结论中，不一定成立的是 ( )APA=PB BPO 平分APB C OA=OB DAB 垂直平分 OP补充：三角形的三条边的垂直平分线的交点到 的距离相等三角形的三条角平分线的交点到 的距离相等1. 请你先在图的 BC 上找一点 P，使点P 到 AB、AC 的距离相等，再在射线AP 上找一点 Q，使 QB=QC2. 如图，求作点 P，使点 P 同时满足：PA=PB ；到直线 m，n 的距离相等DCABFEPBA
13、CDCABCBAD南京学泽教育87、等边对等角 8、等角对等边 9、等腰三角形 、重合（三线合一）（有 条对称轴） 又 又 又 例 5：（1 ）等腰三角形的一边长为 5，另一边长为 11，则该等腰三角形的周长为 （2 ）等腰三角形的两边长分别为 4、5.则该等腰三角形的周长为 （3 ） 已知等腰三角形的一个外角为 100，则这个等腰三角形的顶角为_ （4 ）等腰ABC 中，若 A=30，则B= 例 6：(1)如图，在 RtABC 中，若 AB=AC，AD=AE，BAD=40,则EDC=_(2)如图， ACB=90,E、F 为 AB 上的点，AE=AC，BC=BF，则ECF=_ _(3)如图，
14、AB=AC=DC，且 BD=AD，则B=_ _例 7：如图，ABC、ACB 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E试说明 BDEC DE 例 8：如图，已知 AB=AC，AD=AE求证：BD=CE 例 9：在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上（1）求证：BE=CE；（2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45，原题设其它条件不变求证：AEFBCFBACBADCDBCAE EFDBCA南京学泽教育910、 （ 1）等边三角形的性质：等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，
15、每条边上都有三线合一，有 条对称轴（2）等边三角形的 3 个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例 10： (1)如图，在等边三角形 ABC 中，BDCE，AD 与 BE 相交于点 P，则APE=_ (2)如图，正方形 ABCD，EAD 为等边三角形，则EBC_ (3)如图，已知等边 ABC，AC=AD, 且 ACAD，垂足为 A，则BEC_ 例 11：如图，C 为线段 AE 上一动点( 点 C 不与点 A、E 重合) ，在 AE 的同侧分别作等边ABC 和等边 CDE，AD 与 BE 相交于点 O，AD 与 BC 相交于点
16、P，BE 与 CD 相交于点 Q，连接 PQ下列五个结论：AD=BE；PQAE ；AP=BQ；DE=DP；AOB=60，其中恒成立的有_( 填序号) 例 12：如图，ABC 是等边三角形， D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE求证：AEBC11、直角三角形斜边上的中线等于 又 12、用等积法求直角三角形斜边上的高SABC= = 13、直角三角形中，30 的角所对的直角边等于 又 DABCDABCABCAB CD例 12： (1)在 RtABC 中，C=90，CD 是斜边 AB 的中线，且 CD=4 cm，则AB=_(2)在
17、 RtABC 中，C=90，B=30，AB=8，则 AC=_(3)在 RtABC 中，C=90，AC=8 ，BC=6，则 AB 边上的高 CD= 例 13：如图，在ABC 中，BD、CE 是高，G 、F 分别是 BC、DE 的中点，连接 GF，求证： GFDE例 14：如图，已知：三角形 ABC 中，A 90，ABAC ，D 为 BC 的中点， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BEAF，求证：DEF 为等腰直角三角形相关练习：1如图，在ABC 中，BC=8 cm，BP、CP 分别是ABC 和ACB 的平分线，且PD AB，PEAC ，求PDE 的周长2如图，在边长为 2 等边ABC 中
18、， AD 是 BC 边上的中线，E 、F 是 AD 的三等分点，则图中阴影部分的面积是_cm 23如图，在ABC 中，CD 与 C，分别是ABC 的内角、外角平分线，DF/BC 交 AC 于点E试说明(1) DCF 为直角三角形；(2)DE=EF4如图，ABC 是等腰三角形，B=C，AD 是底边 BC 上的高，DE AB 交 AC 于点E试找出图中除ABC 外的等腰三角形，并说明你的理由5.如图，AD 是ABC 的角平分线，点 E 在 AB 上，且 AE=AC，EFBC 交 AC 于点 F求证：EC平分DEF6如图，AC 平分BAD ，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BCDC BE 与
19、 DF 相等吗？请说明理由7如图，C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，在 AB 的同侧分别作ACD 和 BCE，CA CD，CBCE，ACD 与BCE 都是锐角，且ACDBCE ，连接 AE交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC试说明： (1) ACE DCB (2) PC 平分APB8如图，等边ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=CD，AB=10cm( l ）求 BE 的长； ( 2 ）试说明 BD=ED9画图、证明：如图，AOB=90 ，点 C、D 分别在 OA、OB 上（1 ）尺规作图（不
20、写作法，保留作图痕迹）：作AOB 的平分线 OP；作线段 CD 的垂直平分线 EF，分别与 CD、OP 相交于 E、F；连接 OE、CF、DF（2 ）在所画图中，线段 OE 与 CD 之间有怎样的数量关系，并说明理由 求证：CDF 为等腰直角三角形10.如图，已知点 D 为等腰直角ABC 内一点，CADCBD15，E 为 AD 延长线上的一点，且 CECA（1）求证：DE 平分BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证： ME=BD11.如 图 ， 设 BAC=（ 0 90） .现 把 小 棒 依 次 摆 放 在 两 射 线 之 间 ， 并 使 小 棒 两 端 分别 落 在 射
21、 线 AB， AC 上 .从 点 A1 开 始 ， 用 等 长 的 小 棒 依 次 向 右 摆 放 ， 其 中 A1A2 为 第 一 根 小 棒 ，且 A1A2=AA1 .(1)小 棒 能 无 限 摆 下 去 吗 ？ 答 ： .(填 “能 ”或 “不 能 ”)(2)若 已 经 摆 放 了 3 根 小 棒 ， 则 1 =_， 2 =_， 3=_； （ 用 含 的 式 子 表 示 ）(3)若 只 能 摆 放 4 根 小 棒 ， 求 的 范 围 .12如图 1，点 P、Q 分别是等边ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外） ，点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的运动速度相同
22、，连接 AQ、CP 交于点 M（1 ）求证：ABQ CAP；（2 ）当点 P、Q 分别在 AB、 BC 边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3 ）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、 BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则 QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数13如图，在ABC 中，AB AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 边上，且BE CD，BDCF(1)试说明 DEDF(2)若A40 ，求EDF 的度数14如图，ABC 中，AB=AC，BAC=54，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点O
23、，将C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则OEC 为_15如图，在ABC 中，AB AC5 ，BC6，点 M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，则MN 等于 16如图，P 为AOB 的平分线 OC 上任意一点，PM OA 于 M，PNOB 于 N，连接 MN交 OP 于点 D则PMPN；MONO；OPMN ； MD ND其中正确的有 17如图所示，等边三角形 ABC 的边长是 6，点 P 在边 AB 上，点 Q 在 BC 的延长线上，且APCQ，设 PQ 与 AC 相交于点 D(1)当DQC30时，求 AP 的长(2)作 PEAC 于 E，求
24、证：DEAECD18如图，在ABC 中，已知 BABC ，B120 ，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D(1)求A 的度数；(2)若 AC6cm，求 AD 的长度19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为 10 cm、12 cm，则它的面积为_cm 220.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，ACB=90 oAC=80 mBC=60 m(1)若入口 E 在边 AB 上，且与 A、B 距离相等，求从人口 E 到出口 C 的最短路线的长；(2)若线段 CD 是一条水渠，且点 D 在 AB 边上，已知水渠造价约为 10 元m，则点 D 在距点 A 多远处，此水渠的造价最低?最
25、低造价是多少?第三章 勾股定理勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边1、勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b 2c 2。2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足 a2b 2c 2的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13。 4、简单运用：勾股定理常用于求边长、周长、面积；理解：已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。 用于证明线段平方关系的问题。利用勾股定理，作出长为 的线段
26、n勾股定理的逆定理常用于判断三角形的形状；理解：确定最大边（不妨设为 c） ； 若 c2a 2b 2，则ABC 是以C 为直角的三角形； 若 a2b 2c 2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；若 a2b 2c 2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）难点：运用勾股定理立方程解决问题。例题评析1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 例 1：（1 ）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，正方形 A、B、C 的面积分别是 8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形 D 的面积是_cm 2（2
27、 ）如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积为为 7，2 号、3 号两个正方形的面积和为4，则 a，b，c 三个方形的面积和为 （3 ）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100则大的半圆面积是_例 2：(1)在 Rt ABC 中，A90，B 45，AB3，则AC_BC_ (2)在 RtABC 中，B90 ，C30，AB3 ，则 AC_BC_.(3)在 RtABC 中，C90 ，AC:AB=3:4，AB 25 ，则 AC_ BC_.(4).在 RtABC 中, AB6，AC8，则 BC= .例 3：（1 ）如图，已知 AB13，BC14 ，AC15，AD BC
28、 于 D，求 AD 长（2 ）已知ABC 中，AB13， AC15，ADBC，且 AD=12，求 BC 的长.例 4：（1 ）在 RtABC 中， A 90，B45，BC6, 求 AC 和 BC（2）在 RtABC 中，B90，C30，BC3，求 AB 和 AC（3 ）若直角三角形中，一斜边比一直角边大 2，且另一直角边长为 6，求斜边的长（4 ）等腰三角形 ABC 的面积为 12，底上的高 AD 为 4，求它的腰长（5 ）等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积 .例 5：（1 ）在 ABC 中，C90，AB6，BC8，DE 垂直平分 AB，求 BE 的长.（2）在
29、 ABC 中，C90，AB6，BC8 ，AE 平分CAE，EDAB, 求 BE 的长.（3 ）如图，折叠长方形纸片 ABCD，是点 D 落在 边 BC 上的点 F 处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求 EC 的长度 .ABCEDACB DEACB2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 例 1：每个小正方形的边长为 1.(1)求 ABC 的面积 (2)判断 ABC 的形状 例 2：如图，在四边形 ABCD 中，AB 3 cm，AD4 cm，BC13 cm，CD 12 cm，A90，求四边形 ABCD 的面积例 3：如
30、图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，AD9，BD1 ，CD3试问：ABC 是直角三角形吗？为什么？例 4：如图，在ABC 中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC 边上的中线 AD=15 cm，求 AC 3、勾股数： 常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；9、 、 ；ABC例：下列命题中，是假命题的是( )A在ABC 中，若B CA，则ABC 是直角三角形B在ABC 中，若 a2 (bc) (bc)，则ABC 是直角三角形C在 ABC 中，若A：B：C3 ：4：5，则ABC 是直角三角形D在ABC 中，若 a：b：c5：4 ：3，则ABC 是直角三角形4、补充：长方体盒
31、子内最长的线段 ； d长方体盒子外小虫爬行的最短路线 ； 圆柱体盒子内最长的线段 d 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线 例 2：底面周长为 12，高为 8 的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点 A 爬到点 B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )A10 B8C5 D4例 3：某开发区有一空地 ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，B90，AB 3m，BC4 m，AD12 m，CD 13 m，若每种植 1 平方米草皮需要 100 元，问总共需要投入多少元？5、勾股定理的应用例 1：（1 ）一轮船以 16 n mi1eh 的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mi1eh 的速度同时
32、从港口出发向东南方向航行，那么离开港口 A2h 后，两船相距 （2 ）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 m，消防车的云梯最大升长为 13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是 （3 ）一棵树在离地面 9m 处断裂，树的顶部落在离底部 12 m 处，树折断之前有_m例 2：如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m，梯子的顶端 B 到地面的距离为 24 m，现将梯子的底端 A 向外移动到A，使梯子的底端 A到墙根 O 的距离等于 15 m同时梯子的顶端B 下降至 B，那 BB等于 ( )A3m B4 m C5 m D 6 mBA
33、ABCBBCA课后练习1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影) 。(1)在图中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图、图 中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数2： 中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米时一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪 A”正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车”位置 B 与“车速检测仪 A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车” 超速了吗？请说明理由3：
34、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN 30，点 A 处有一所中学，AP160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为 18 千米时，那么学校受影响的时间为多少秒？4：如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为 AC1 km，BD3 km，CD3 km 现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20 000 元千米，请你在河 CD 边上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水
35、管的总费用？第四章 实数1、平方根：定义：一般地，如果 x2=a(a0)，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号 a”。a性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 2、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。3、算术平方根：定义：一般地，如果 x2=a(a0)，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。 表示方法：记作“ ”，读作“根号 a”。a性质：一个正数只有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根。 注意 的双重非负性：a.
36、0,a ,0222 a4、立方根：定义：一般地，如果 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） 。表示方法：记作“ ”，读作“三次根号 a”。3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33a a325、开立方：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。6、实数定义与分类：无理数：无限不循环小数叫做无理数。理解：常见类型有三类：开方开不尽的数：如 , 等； 739有特定意义的数：如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 +8等；有特定结构的数：如 0.1010010001等；(注意省略号)实数：有
37、理数和无理数统称为实数。实数的分类：按定义来分 按符号性质来分整数(含 0) 正有理数有理数 分数 正实数 正无理数实数 实数 0无理数 负实数 负有理数负无理数7、实数比较大小法：理解：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。平方法：a、b 是两负实数，若 a2b 2，则 ab。8、实数的运算：六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。实数的运算律：加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配
38、律。9、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法四舍五入法。10、科学记数法： 把一个数记为 （其中 1a1,n 是整数)的形式，就叫科学计数法。na1011、实数和数轴： 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的关系。例题评析1、a 的平方根是 ， （其中 a ）2、平方根的性质：正数有 个平方根，它们 0 有有 个平方根，是 负数 （ 的平方根是它本身）3、a 的算术平方根是 ， （其中 a ）（ 的算术平方根是它本身）4、公式：
39、 ， （其中 a ）2， （其中 a ）a5、a 的立方根是 ， （其中 a ）（ 的立方根是它本身）6、公式：， （其中 a ）3， （其中 a ）a例 1：（1）169 的平方根是_，196 的算术平方根是_，125 的立方根是_；（2） 的平方根是_， 的平方根是_， 的立方根是_1436464例 2：化简： _， _， _， =_， _0.6281310272337例 3：如果一个正数的平方根是 a3 与 2a15 ，求这个正数例 4：已知 2a1 的平方根是 3，3ab1 的立平方根是 3，求 a2b 的平方根例 5：（1 ）若 0，则 xy_xy2（2 ）已知 ， 则 x_，y _
40、33例 6：求下列各式中的 x(1) 4x2-322 (2) (4x1) 2289 (3) (4) 3190x3(2)790x例 7：(1) (2) (3) （4）2536725231()8例 8：已知数 a 在数轴上对应的位置如图所示，化简 231aa7、 和 统称为实数.实数与 一一对应.无理数的三种形式：（1） （2） （3） 例 1：把下列各数填入相应的集合内，4 ，- ，3.1415， ，0.6，0， ， 32913125， ，0.01001000100001，7.303003396(1)有理数集合： (2)无理数集合： (3)正实数集合： (4)负实数集合： 例 2：在数轴上找出表
41、示 的点.5-C A0 B例 3：（1）指出下列各数在哪两个相邻整数之间 0,y0； 点 P(x,y)在第二象限：x0；点 P(x,y)在第三象限：x0,y0。坐标轴上的点的特征：点 P(x,y)在 x 轴上：y=0，x 为任意实数；点 P(x,y)在 y 轴上：x=0，y 为任意实数。点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上：即是原点坐标为（0，0） 。两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线 y=x）上：x 与 y 相等；点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线（直线 y=-x）上：x 与 y 互为相反数。和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
42、：位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征：点 P 与点 p关于 x 轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P（x，-y）点 P 与点 p关于 y 轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P（-x，y）点 P 与点 p关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x，-y）点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：点 P(x,y)到 x 轴的距离等于|y|； 点 P(x,y)到 y 轴的距离
43、等于|x|； 点 P(x,y)到原点的距离等于 。2yx例题评析1平面直角坐标系是由 构成的2平面直角坐标系中的点与有序实数对（ x， y） 3坐标轴把坐标平面分为_ _个象限，_上的点，不属于任何一个象限填空：点的位置 横坐标符号 纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限在正半轴上在 x轴上在负半轴上在正半轴上在 y轴上在负半轴上4在平面直角坐标系中，把图形向左右平移，点的 坐标不变；向上下平移，点的 坐标不变；所得图形与原图形相比 例 1点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，且在 y 轴的左侧。（1）到 x 轴距离为 2 的点有多少？假如能把它们画完，这些点组成什么样的图形？（2）到 y 轴距离为 3 的点有多少？假如能把它们画完，这些点组成什么样的图形？（3）根据题目中的已知条件（所求点在 y 轴左侧）能求得 P 的坐标吗？例 2如图，已知三角形 ABCD 中点 A（1，2） ，B（3，5） ，C（4，3） ，小张同学在画完图后不小心把坐标轴给擦掉了，请你帮他画出 x 轴， y 轴及原点，并计算三角形 ABC 的面积课后练习：一、选择题1已知坐标
