2018年秋七年级数学上册 第三章 一元一次方程 3.4 实际问题与一元一次方程课件+素材（打包12套）（新版）新人教版.zip

第三章 一元一次方程第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程知识目标知识目标目标突破目标突破第三章 一元一次方程总结反思总结反思知识目标知识目标第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程1．通 过对产 品配套 问题 的分析、建模，会用一元一次方程解决 产 品配套 问题 ．2．通 过对 工程 问题 的分析、建模，会用一元一次方程解决工程 问题 ．第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程目标一 会用一元一次方程解决产品配套问题目标突破目标突破第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程目标二 会用一元一次方程解决工程问题第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程总结反思总结反思第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程知识点一 配套问题知识点二 工作时间、工作效率、工作量之间的关系第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程工作时间 工作效率工作量 工作效率工作量 工作时间1总工作量第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程第 1课时 配套问题、工程问题与一元一次方程13.4 实际问题与一元一次方程第 1 课时 工程、效率与一元一次方程情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导 入 类比导入 悬念激趣情景导入 展示城市内涝相关 图片．图 3－4－1法国文学家雨果曾说过，下水道是“城市的良心”．但每逢暴雨天气，国内各大城市的内涝却总让这点“良心”不得安宁．暴雨侵 袭带来的严重积水和交通堵塞屡遭抱怨却屡现不止．无怪乎台湾作家龙应台说：“验证一个国家和城市是否发达，一场雨足矣．”现在一个城市发生了内涝，需要对一个区域用水泵进行排水，若同时安排三个作业队，怎样分配任务呢？[说明与建议] 说明：通过这一情境的引入，让学生认识到城市建设离不开各种各样的工程，感受到自己的责任，要更加珍惜自己的学习时光，将来为社会多做贡献．建议：教师可让学生谈谈看到这些图片的感想．复习导入 回答下列问题：(1)列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？(2)列方程解应用题的关键是什么？[说明与建议] 说明：经过前两节课的学习，学生对列一元一次方程解决实际问题的步骤和方法有了基本了解并积累了一定的经验和方法，经过回顾为本课的学习做好铺垫．出示教学目标，明确本课学习的列一元一次方程解应用题的方法技巧，调动学生的学习热情．建议：小组内同学互相检查，特别注意每步的注意事项．教材母题——教材第 100 页例 2整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成，现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作，假设这些人 的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【模型建立】用一元一次方程解工程问题，对于这类题，常常把工作量看作 1，并利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题．【变式变形】1．一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管 10 分钟可以注满水池，单独开放乙管 15 分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分2钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？解：设甲管一共注水 x 分．由题意得 － × ＝1，x10 115 x2解得 x＝15.答：甲管一共注水 15 分．2．[天水期末] 一项工程由甲单独做需 12 天完成，由乙单独做需 8 天完成，若两人合做 3 天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天？解：设乙还需做 x 天．由题意得 ＋ ＋ ＝1，312 38 x8解得 x＝3.答：乙还需做 3 天．3．[台山模拟] 整理 一批图书，如果由一个人单独做要花 60 小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加 15 人和他们一 起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？解：设先安排整理的人员有 x 人，依题意得 ＋ ＝1.x60 2（ x＋ 15）60解得 x＝10.答：先安排整理的人员有 10 人．4．[东城区期末] 某校整理一批图书，由一个人做要 48 小时完成，现在计划由一部分人先做 4 小时，再增加 3 人和他们一起做 6 小时完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？解： 由题意可得，每个人每小时完成 ，148设先安排 x 人工作，则 x×4＋ ×(x＋3)×6＝1，148 148解得 x＝3.答：先安排 3 人工作．5．[泗县校级模拟] 小明用电脑打一份文件，如果每分钟打 30 个字，那么若干小时可以完成，当他打好 时，姐姐来替换小明打字，效率提高 40 %，结果比小明单独打完提前了25半小时．问这份文件有多少个字？解：设这份文件有 x 个字，则 × ＝ ＋30，x30 35 35x30×（ 1＋ 40%）解得 x＝5250.答：这份文件有 5250 个字．6．[晋江二模] 学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人．已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天．(1)两个人合做需要_ _______天完成；(2)现由徒弟先做 1 天，再由两个人合做，问：还需几 天可以完成这项工作？3解：(1)1÷( ＋ )＝1÷ ＝2.4(天)．14 16 512答：两个人合做需要 2.4 天完成．(2)设还需 x 天可以完成这项工作，由题意可得： ＋ ＝1，解得 x＝2.x＋ 16 x4答：还需 2 天可以完成这项工作．[命题角度 1] 产品配套此类问题中的配套的物品之间具有一定的数量关系，可作为列方程的依据．一般步骤为：设：按照题意设出未知数，一般地，所设未知数为工人人数；列：列式表示两类产品的生产数量；求：求出配套关系中除式的具体数据的最小公倍数；等：根据最小公倍数与产品配套关系，分配相乘，写出等式．例 某车间有 28 名工人生产甲、乙两种零件，平均每人每天可生产甲种零件 12 个或乙种零件 18 个，要使生产的甲、乙两种零件按 1∶2 配套组装，则生产这两种零件的工人应该如何安排？解：设安排 x 名工人生产甲种零件，则(28－x)名工人生产乙种零件，则2×12x＝18(28－x)．去括号，得 24x＝504－18x.移项，得 24x＋18x＝504.合并同类项，得 42x＝504.系数化为 1，得 x＝12.所以 28－x＝28－12＝16.答：安排 12 名工人生产甲种零件，16 名工人生产乙种零件．[命题角度 2] 工程问题解决此类问题，首先要抓住三个量：工作总量、工作时间、工作效率，及其间的关系：工作总量＝工作时间×工作效率；其次在此类问题中工作总量经常看作单位“1”．例 [泰州中考] 某地为了打造风光带，将一段长为 360 m 的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 20 天，已知甲工程队每天整治 24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．解：设甲工程队整治了 x m 的河道，则乙工程队整治了(360－x) m 的河道，根据题意得： ＋ ＝20，x24 360－ x16解得 x＝120，∴360－x＝240.答：甲工程队整治了 120 m 的河道，乙工程队整治了 240 m 的河道．[命题角度 3] 人员调配问题解决人员调配问题，关键要注意两组人员调配前后的变化情况，理清调配前后的等量关系，恰当设出未知数，正确列出方程．例 某班同学参加平整土地劳动，运土人数比挖土人数的一半多 3 人．若从挖土人员中抽出 6 人去运土，则两者人数相等．求原来运土和挖土的各有多少人．解：设挖土的人数为 x，则运土的人数为 x＋3，根据题意得：12x－6＝ x＋3＋6，解得 x＝30.124∴ x＋3＝18.12答：原来运土的人 数为 18，挖土的人数为 30.P101 练习1．一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成．用 1 m3钢材可做 40 个 A 部件或 240 个B 部件．现要用 6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，恰好配成这种仪器多少套？[答案] 4 m 3做 A 部件，2 m 3做 B 部件 160 套．2．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天．如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？[答案] 8 天．[当堂检测]1. 甲、乙两队完成一项工程，甲单独作要 8 天完成，乙单独作要 12 天完成，现在甲、乙合作 4 天后，因甲另有任务，余下部分由乙单独完成，还需要几天？设还需要 x 天，由题意列方程得（ ）A. 32+48+x =,96 B. 4（ + ）+x=1812C. 4（ + ）+ =1 xD. + + = 12. 某车间原计划 13 小时生产一批零件，后来每小时多生产 10 件，用了 12 小时不但完成任务，而且还多生产 60 件，设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程为（ ）A．13x=12（x+10）+60B．12（x+10）=13x+60C． - =1013x260D． - =103. 某单位组织职工植树，若由一人完成需要 80 小时，现在由一部分人先植了 5 小时，再增加 2 人，又植了 4 小时才完成任务，问先植树的有几人？参考答案：1. C 2. B3. 解：设先植树的有 x 人，由题意得：+ = 1,805x)2(4解得 x=85答：先植树的有 8 人. 列一元一次方程解奇妙古诗趣题古代的劳动人民创造了许多形式新颖独特，朗朗上口，容易记牢，饶有兴趣的数学诗，下面列举几道能用一元一次方程求解的数学诗供同学们赏析。1.房客我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一 房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客？题意：我问开店的李三公，有多少客人来住店？李三公回答说“一个房间内若住 7 个客人，则余下 7 人没处住，如果每一个房间住满 9 人，则又空出 一个房间”求多少客房、多少客人？解：设有 x 间客房，则根据题意，得7x 十 7=9（x 一 1）解得 x=8则客人为 人6378答略2.李 白买酒在我国的数学史上，有不少数学趣题是用诗词来表述的。民间广为流传至今的李白买酒数学诗就是其中一例。其诗为：李白无事街上走，提着酒壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有多少酒？赏析：这首诗告诉人们的是这样一件事：李白闲着没事提起酒，酒壶中原来是有酒的，每次遇到酒店便将壶中的酒增加一倍，看到了花，就开始饮酒作诗，每饮一次，喝去一斗酒（斗，古代酒器）。这样经过酒店遇到花，总共反复三次。在最后一次遇到花时，正好喝光了壶中的酒。试问李白的酒壶中原有多少酒？设原来酒壶中有酒 x 斗，则由题意得，012解得 x＝ （斗）87即李白的酒壶中原有 斗酒。3、羊群问题本题选自明代数学家程大位编著的《算法统宗》。甲赶羊群逐草茂，乙拽肥羊随其后。戏间甲及 100 否，甲说所玄无差谬。若得这般一群凑，再添半群小半群。得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？赏析：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方，有一个过路人牵着一只羊从后面追了上6来，他对牧羊人说“你的羊有 100 只吗？”牧羊人说“我的羊现在不是 100 只。假如我现在的羊，加上和我现有的羊数相等的一群羊，再加上现有的羊数一半，然后再加上现有的羊数一半的一半（即 ），另外，再加上你那只羊那就恰巧是 100 只”请你箅一算，牧羊人放41牧的这群羊一共有多少只？解：设牧羊人放牧的这群羊一共有 x 只，由题意得10421xx解得 x=36答：牧羊人放牧的这群羊一共有 36 只。第三章 一元一次方程第三章 一元一次方程第 1课时 工程、效率与一元一次方程第 1课时 工程、效率与一元一次方程探究新知探究新知活动 1 知识准备填空： (1)一项工作，如果甲单独做 2小时完成，那么甲单独做 1小时完成全部工作量的 ________．(2)一项工作，如果甲单独做 a小时完成，那么甲单独做 1小时完成全部工作量的 ________． 第 1课时 工程、效率与一元一次方程活动 2 教材导学一项工作，甲单独做需 20小时完成，乙单独做需 12小时完成，现在先由甲单独做 4小时，剩下的部分由甲、乙合做．剩下的部分需要几小时完成？ 工程、效率与一元一次方程第 1课时 工程、效率与一元一次方程[分析 ] 设甲、乙合做的时间为 x小时， 工作效率 工作 时间 工作量甲 __________ __________小时 __________乙 __________ __________小时 __________(4＋ x) x 第 1课时 工程、效率与一元一次方程第三章 一元一次方程知识目标知识目标目标突破目标突破第三章 一元一次方程总结反思总结反思第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程知识目标知识目标第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程1．通 过对销 售 问题 的分析、建模，会用一元一次方程解决 销售 问题 ．2．通 过 学 习 例 题 和相 应 的 习题训练 ，会用一元一次方程解决增 长 率 问题 ．第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程目标一 会用一元一次方程解决销售问题目标突破目标突破第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程目标二 会用一元一次方程解决增长率问题第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程总结反思总结反思第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程知识点一 商品经营中的盈利与亏损知识点二 增长率问题第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程第 2课时 销售问题、增长率问题与一元一次方程13.4 实际问题与一元一次方程第 2 课时 销售与一元一次方程情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬 念激趣情景导入 同学们，请帮我解决一个问题：一批服装的进价是每件 50 元，按成 本价提高了 60%后销售，后来，又按标价的八折进行销售．请你帮老师计算一下，这批服装在打完折后还能赚到钱吗？[说明 与建议] 说明：通过实际问题，熟悉销售问题中涉及的有关概念，并能简单计算．通过帮老师解决问题激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，这符合七年级学生的年龄特征和心理特征．建议：通过这 个活动让学生了解数学与周围世界的联系，以及数学在社会生活中的作用和 意义，感受到数学就在身边，亲切自然，极大地激发了学生学习数学的热情和积极性．复习导入 与销售有关的几个概念：1．进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价)．2．售价：在销售商品时的售出价(有时也叫成交价，卖出价)．3．标价：在销售时的标出价(有时称原价，定价)．4．利润：在销售商品的过程中的纯收入，在教材中规定：利润＝售价－进价．5．利润率：利润占进价的百分率，即利润率＝利润÷进价×100 %.6．打折：销售价占标价的百分率(如打八折，即按标价的 80%出售)．填空：1．进价 100 元的商品提价 40%后的价格为__140__元；提价后若打八折销售，则售价为__112__元；此商品 的利润为__12__元，利润率是__12%__ ．2．一件商品打 x 折出售，就是用原价乘以__ __．x10[说明与建议] 说明：复习相关概念，为新课的学习打好基础，特别是对于利润率这个概念，学生不易理解，也是解决问题时的难点．建议：尽量通过简单的习题，使同学们回顾销售相关概念，对于利润率的概念多加练习，同时注意公式的变形．教材母题——教材第 107 页第 11 题现对某商品降价 20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？【模型建立】解决打折销售问题，要注意寻找问题中的等量关系．常见的等量关系是： 售价＝进价＋进价×利润率．在解决问题时不一定都直接设元，也可能间接设元，应视解题的难易而定，求解后，还要检查解的合理性；在设未知数时，一般要写上单位，同时保证所列方程两边单位必须统一；解出方程后一定要检验结果是否正确，特别要检验结果是否符合实际意义．2【变式变形】1．一件商品原价为 120 元，按八折(即原价的 80%)出售，则现售价应为__96__元．2．某件商品进价是 270 元，按八折销售可获利润 50 元，则原售价为__400__元．3．某商品的进价是 1530 元，若按商品标价的九折出售，利润率是 15%.求该商品的标价．解：设该商品的标价为 x 元，根据题意得：0.9x＝1530×(1＋15%)，解得 x＝1955.答：该商品的标价为 1955 元．4．某老板先把一件商品按成本价提高 50%后标价，再打八折销售，售价为 600 元，这种商品的成本价是多少元？商品的利润率为多少？解：设这种商品的成本价是 x 元，根据题意得：(1＋50%)x×0.8＝600，解得 x＝500.利润率为 ×100%＝20%.答：这种商 品的成本价是 500 元，商品的利润率是 20%.600－ 5005005．某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了 1200 元．其中一个盈利 20%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商场的盈亏情况如何？解：设第一个手机的成本为 x 元，第二个手机的成本为 y 元，根据 题意得：(1＋20%)x＝1200，(1－20%)y＝1200，解得 x＝1000，y＝1500，∴(1200＋1200)－(1000＋1500)＝－100(元)．答：在这次买卖中，这家商场亏损 100 元．[命题角度 1] 一元一次方程——利润率问题打折销售问题中难度较大的就是涉及利润率的问题，问题集中体现在学生对利润率概念理解不清，列方程时把握不准．对于下面的例题这样理解比较简单：实际售价＝进价×(1＋提高率)．例 [枣庄中考] 商场购进一批服装，每件进价为 200 元，由于换季滞销，商场决定将这种 服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利 20%，则该服装标价是( B)A．350 元 B．400 元 C．450 元 D．500 元[命题角度 2] 一元一次方程——求商品打折数在打折销售问题中，如果知道了打几折，往 往很容易表示，比如打八折，就是乘以 80%或 0.8；但是如果求打折数，学生列方程时，经常出现问题．需要注意的是，如果设折数为x 时，方程中应该乘以 .x10例 某商品进价是 1000 元，标价为 1500 元，商店要求利润是 200 元，则商品应打几折进行销售？[答案：八折][命题角度 3] 储蓄问题用一元一次方程解这类问题，要准确理解以下几个关键词：(1)本金：顾客存入银行的钱叫本金．(2)利息：银行付给顾客的酬金叫利息．(3)期数：存入银行的时间叫期数．(4)利率：每个存期内的利息与本金的比叫利率．(5)本息和：本息和＝本金＋利息．例 小明的爸爸前年存了年利率为 2.42 %的两年期定期储蓄，今年到期后，所得利息正好能为小明买一个价格为 48.4 元的计算器，则小明的爸爸前年存了多少元？解：设小明的爸爸前年存了 x 元 ，则两年后共得利息为(2.42 %·x×2)元．根据题意，得 2.42 %·x×2＝48.4.解得 x＝1000.答：小明的爸爸前年存了 1000 元．3[教材习题答案]详见光盘内容[当堂检测]1.【2012•牡丹江】某商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获 利 10%，则这种商品每件的进价为（ ）A．240 元 B．250 元C．280 元 D．300 元2. 某种商品进价为 800 元，标价 1200 元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 20%，则至少可以打（ ）折．A．6 折 B．7 折C．8 折 D．9 折3. 某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共 20 万元．甲种存款的年利率为 1.5%，乙种存款的年利率为 2%．该公司一年共得利息 0.36 万元，求甲、乙两种存款各多少万元？参考答案：1. A 2. C 3. 解：设甲种存款 x 万元，乙种存款（200000-x）万元，依题意可得：1.5%x+2%（20-x）=0.36，解得 x=8，20-x=12．答：甲种存款 8 万元，乙种存款 12 万元．列一元一次方程解销售问题——素材内容详见光盘内容第三章 一元一次方程第三章 一元一次方程第 2课时 销售与一元一次方程第 2课时 销售与一元一次方程探究新知探究新知活动 1 知识准备一项工作，甲单独完成要 12小时，乙单独完成要 24小时，则甲工作 1小时可完成这项工作的 ____，乙工作 1小时可完成这项工作的____，甲、乙合作 ______小时可完成这项工作． 8 第 2课时 销售与一元一次方程活动 2 教材导学随着市场经济的不断发展，人们经营的理念在不断地增强， “打折销售 ” 是一个很流行的概念，如果你是一个商人，如何打折，这其中都是有学问的．一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价，又以 8折 (即按标价的 80%)优惠卖出，结果每件仍获利 15元，这种服装每件的成本是多少元？想一想这 15元的利润是怎么来的？ 销售与一元一次方程第 2课时 销售与一元一次方程我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本为 x元，那么每件服装的标价为 ____________________元；每件服装的实际售价为 __________________元；每件服装的利润为 ________________________元；因此，列出方程为 ______________________．解方程，得 x＝ ________．因此这种服装每件的成本为 ________元． (1＋ 40%)x (1＋ 40%)x×80% [(1＋ 40%)x×80% － x] (1＋ 40%)x×80% － x＝ 15 125 125 第三章 一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程知识目标知识目标目标突破目标突破第三章 一元一次方程总结反思总结反思知识目标知识目标第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程1．通 过对图 形、表格的 观 察， 获 取信息、分析、建模，会用一元一次方程解决 图 表信息 问题 ．2．通 过 学 习 例 题 和相 应 的 习题训练 ，会用一元一次方程解决行程 问题 ．第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程目标一 会根据图表信息列一元一次方程解决实际问题目标突破目标突破第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程目标二 会利用线段图分析行程问题并列一元一次方程加以解决第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程10第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程总结反思总结反思第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程知识点一 图表信息问题知识点二 行程问题第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第 3课时 图表信息问题、行程问题与一元一次方程第三章 一元一次方程知识目标知识目标目标突破目标突破第三章 一元一次方程总结反思总结反思第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程知识目标知识目标第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程1．通 过对 “ 电话计费问题 ” 的分析、 讨论 、建模，会用一元一次方程解决分段 计费问题 ．2．通 过对 “ 电话计费问题 ” 的 进 一步分析，会用一元一次方程解决方案 设计问题 ．第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程目标一 会利用一元一次方程解决分段计费问题目标突破目标突破第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程目标二 会利用一元一次方程设计方案第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程总结反思总结反思第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程知识点一 分段计费问题知识点二 方案设计第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程第 4课时 分段计费问题、方案设计问题与一元一次方程13.4 实际问题与一元一次方程第 3 课时 体育赛事与一元一次方程情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 我们来看两张图片(教师出示课件)图 3－4－7(1)你知道它们蕴含的是我们数学中的什么问题吗？(2)路程、速度、时间这三个量之间有怎样的等量关系？[说明与建议] 说明：通过图片的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题，激发学生的好奇心，引起每位同学的兴趣，唤醒学生的思维和问题意识，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题．建议：教学时注意引导学生关注路程公式的变形，让学生熟练掌握路程、速度、时间之间的关系．复习导入 问题导入：1.若小明每分钟走 60 米，那么他 4 分钟能走__240__米．(路程＝速度×时间)2．小明用 4 分钟绕学校操场跑了两圈(每圈 400 米)，那么他的速度为__200__米/分．(速度＝ )路 程时 间3．已知小明家距离火车站 2400 米，他以 4 米/秒的速度骑车到达车站需要__10__分钟．(时间＝ )路 程速 度[说明与建议] 说明：通过几个简单的问题，引入路程、时间、速度概念及其之间的关系，复习了相关知识，同时降低了学生对于此类问题的畏惧感，便于新知识的学习．建议：从基本题目入手，让学生熟悉路程公式，并引导学生对公式灵活变形，为新课学习做好铺垫．教材母题——教材第 112 页第 5，6 题1．(我国古代问题)跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里．慢马先走 12天，快马几天可以追上慢马？22．运动 场的跑道一圈长 400 m．小健 练习骑自行车，平均每分骑 350 m；小康练习跑步，平均每分跑 250 m，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？【模型建立】行程问题中常见的是追及问题和相遇问题．解决此类问题的关键是：(1)熟悉路程、速度、时间三者的关系；(2)理解相遇问题与追及问题的等量关系．相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝甲、乙的距离；追及问题：甲的路程－乙的路程＝甲、乙的距离．【变式变形】1．小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4 米，小强每秒跑 6 米．(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？(2)如果小彬站在小强前 10 米处，同时同向起跑，那么几秒后小强追上小彬？解：(1)设 x 秒后相遇，根据题意得：4x＋6x＝100，解得 x＝10.答：10 秒后两人相遇．(2)设 x 秒后小强追上小彬，根据题意得：6x－4x＝10，解得 x＝5.答：5 秒后小强追上小彬．2．A，B 两地相距 6 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．(1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发几小时后与甲相遇？(2)若两人同时同向出发，甲在后，乙在前，问甲用多少时间可以追上乙？(3)若两人同时出发，相向而行，经过多长时间两人相距 0.4 千米？(4)若两人同时出发，同向而行，经过多长时间两人相距 1.8 千米？解：(1)乙出发 x 小时后与甲相遇，根据题意得：8× ＋8x＋6x＝6，解得：x＝ .12 17答：乙 出发 小时后与甲相遇．17(2)设甲用 x 小时可以追上乙，根据题意得：8x－6x＝6，解得 x＝3.答：甲用 3 小时可以追上乙．(3)设经过 x 小时两人相距 0.4 千米，根据题意得：8x＋6x＝6－0.4 或8x＋6x＝6＋0.4，解得：x＝0.4 或 x＝ .答：经过 0.4 小时或 小时两人相距 0.4 千米．1635 1635(4)设经过 x 小时两人相距 1.8 千米，根据题意得：8x－6x＝6－1.8 或 8x－6x＝6＋1.8.解得：x＝2.1 或 x＝3.9.答：经过 2.1 小时或 3.9 小时两人相距 1.8 千米．3．一架飞机加满油后最多能在空中飞行 11 小时，飞机在无风时的速度是 550 千米/时，风速为 50 千米/时，这架飞机最远飞出多远就应返回？解：设这架飞机最远飞出 x 千米就应返回，根据题意得 ＋ ＝11，解得x550＋ 50 x550－ 50x＝3000.答：这架飞机最远飞出 3000 千米就应返回．[命题角度 1] 胜、负、平积分问题本类题一般题意会明确胜、负、平某类情况的场次，关键是通过设未知数找到另两类型3之间的关系， 而后根据题意求解．例 某中学七年级举行足球赛，规定胜一场记 3 分，平一场记 1 分，负一场记 0 分，七年级(九)班在比赛中共积 16 分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多 1 场，问七年级(九)班在比赛中共负了多少场？解：设胜了 x 场，同样平了也是 x 场，负了(x＋1)场．依题意可得 3x＋x＝16，x＝4.所以 x＋1＝5.答：七年级(九)班比赛中共负了 5 场．[命题角度 2] 环形跑道问题环形跑道问题类似于直线跑道，也涉及同向与反向，同向是追及，反向是相遇．例 [雅安中考] 甲、乙二人在一环形跑道上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的 2.5 倍，4 分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑 300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形跑道的长．解：设乙的速度为 x 米/分，则甲的速度为 2.5x 米/分，根据题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300，解得 x＝150.∴2.5x＝2.5×150＝375，4x＋300＝4×150＋300＝900.答：甲、乙二人的速度分别为 375 米/分、150 米/分，环形跑道的长为 900 米．[命题角度 3] 相遇、追及问题路程问题包括相遇与追及，解决此类问题关键是抓住等量关系．相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝甲、乙之间的距离，追及问题：甲的路程－乙的路程＝甲、乙之间的距离．借助线段图分析此类问题，可以化繁为简，便于解决．例 A，B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，甲的速度为 60 千米/时，乙的速度为 40 千米/时．(1)如果甲、乙相向而行，甲先行 50 千米，乙再出发，问：乙出发几小时后与甲相遇？(2)如果甲、乙同向而行，甲在后，乙在前，乙先行驶两小时，甲再出发，问乙在距离B 地多远处被甲追上？解：(1)乙出发 x 小时后与甲相遇，根据题意得：50＋40x＋60x＝200，解得 x＝1.5.答：乙出发 1.5 小时后与甲相遇．(2)设甲出发 x 小时后追上乙，根据题意得：60x－40x＝200＋40×2，解得 x＝14.∴40×(14＋2)＝640(千米)．答：乙在距离 B 地 640 千米处被甲追上．[教材习题答案]详见光盘内容[当堂检测]1. 足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．一队打 14 场，负 5 场，共得 19 分，那么这个队共胜了（ ）A．6 场 B．5 场C．4 场 D．3 场2. 一份数学试卷，只有 25 个选择题，做对一题得 4 分，做错一题倒扣 1 分，某同学做了全4部试卷，得了 70 分，他一共做对了（ ）A．17 道 B．18 道C．19 道 D．20 道3. 小 聪 从 家 到 学 校 ， 如 果 每 分 钟 走 100 米 ， 就 会 迟 到 3 分 钟 ； 如 果 每 分 钟 走 150 米 ， 就 会 早 到3 分 钟 ， 问 小 聪 每 分 钟 走 多 少 米 才 能 按 时 到 校 ？ 参考答案：1. B 2. C 3. 解：设 小 聪 按 时 到 校 要 分 钟 ， 则 根 据 题 意 可 列 方 程 ：.解得：x=15, 100（15+3）÷15=120答：小聪每分钟应该走 120 米 如何列一元一次方程解行程类应用问题所谓行程类应用问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的应用问题.在列出一元 一次方程解这类应用题时，我们常用的公式是：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度.当考虑两人或两个物体运动时，就有“相向”、“同向”、“背向”这三种情况.“相向而行”是指两者面对面地行进，其距离越来越近；“同向而行”是指两者的运动方向相同；“背向而行”是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行，到一定时间就会相遇；相遇后仍按原方向行进，就会变成背向而行。总之，相向而行与背向而行，其运动方向都是相反的，所以我们可作如下分类：两人（物体）运动 ，如果运动路线方 向 相 同 同 向相 向方 向 相 反 背 向不是直线，而是一个圆圈（比如我们在操场上进行环形赛跑），情况就要复杂一些.这时两人（或物体）如果面对面跑，那么也就是背对背跑，这两人（或物体）的距离会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象；如果不是面对面跑，而是同向跑，那么速度快的，就会比速度慢的先多跑 1 圈，然后多跑 2 圈，3 圈，…….这两人（或物体）的距离也会有“增加——减少——增加— —减少——增加……”的现象.对于这些情况，只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下，就可以明白.在行程问题中还有一类顺逆航行的问题.如果 航行的工具是轮船，那么常用的相等关系是：顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速 度－水流速度.如果航行的工具是飞机，那么常用的相等关系是：顺风速度＝无风时飞机速度＋风速；逆风速度＝无风时飞机速度－风速.例 1 一条环形跑道长 400 米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶 550 米；乙练习长跑，平均每分钟跑 250 米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程－乙的路程＝环形跑道－圆的周长；甲用的时间=乙用的时间.解答 设经过 x 分钟两人首次相遇.根据题意，得 550x－250 x=400.解这个方程，得 5x=1 .即经过 1 分钟，甲、乙两人首次相遇.3说明 在追及问题中常用的等量关系是：（1）若甲、乙同地出发，甲先行，则乙追上甲时有：甲所走的路程=乙所走的路程；甲所用的时间=乙所用的时间＋甲先行的时间.（2）若甲、乙同时不同地出发，甲在乙后面，则甲追上乙时有：甲所走的路程=乙所走的路程＋甲、乙出发时的距离；甲所用的时间=乙所用的时间.例 2 一架飞机飞行在两城市之间。风速为 24 千米/时，顺风 飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时。求两个城市之间的飞行路程.分析 方法一（设直接未知数）：设两个城市之间的飞行路程为 x 千米，则顺、逆风飞行的路程都是 x 千米，顺风 飞行的速度为 千米/时，逆风飞行的速度为 千米/时。所6052x3以，应该在速度这个量上找相等关系：因为顺风机速－风速＝无风机速；逆风机速＋风速＝无风机速，所以顺风机速－风速=逆风机速＋风速.即 －24= ＋24.6052x3方法二（设间接未知数）：设无风时的机速为 x 千米/时，则顺风机速为（ x＋24）千米/时，逆风机速为（ x－24）千米/时。又因为时间是已知量，有 x 和已知量可表示顺、逆飞行的路程，它们应相等.解法一 设两个城市之间的飞行路程为 x 千米.根据题意， －24= ＋24.解这个60523方程，得 x=2448.即两个城市之间的飞行路程为 2 448 千米.解法二 设无风时飞行的机速为 x 千米/时.根据题意，得 2 （ x＋4）=3（ x－4）.解这个方程，得 x=840.所以 3（ x－4）=3（840－4 ）=2 448.即两个城市之间的飞行路程为 2 448 千米.说明 有关船只航行问题可仿此分析解决.