1、 文档来源：准题库 APP 2017 下半年教师资格证考试 数学学科知识与教学能力 (初级中学 ) 本卷共分为 2 大题 17 小题，作答时间为 120 分钟，总分 150 分， 90 分及格。 一、单项选择题 (本大题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分 ) 1. A.0 B.1 C.2 D.3 【 答案 】 D 【 解析 】 文档来源：准题库 APP 2.当 x 时，与 x- 叫。是等价无穷小的为 ()。 A.sin(x- ) B. C.(x- )2 D.ln|x- | 【 答案 】 A 【 解析 】 3.下列四个级数中发散的是 ()。 A. B. C. 文档来源：准题库 APP D
2、. 【 答案 】 A 【 解析 】 4.下列关于椭圆的论述，正确的是 ()。 A.平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆 B.平面内到定点和定直线距离之比小于 1 的动点轨迹是椭圆 C.从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆另一个焦点 D.平面与圆柱面的截 线是椭圆 【 答案 】 C 【 解析 】 A 项错误， A 项中未强调此常数要大于两定点之间的距离，正确的说法是：平面内到两个定点的距离之和等于常数 (大于两定点间的距离 )的动点轨迹是椭圆。 B 项错误， B 项未强调定点不在定直线上，正确的说法是：平面内到定点和定直线距离之比大于 O 且小于 1 的动点轨迹是椭圆。
3、 C 项正确这是椭圆的光学性质，即从椭圆的一个焦点发出的射线 (光线 )，经椭圆反射后通过椭圆另一文档来源：准题库 APP 个焦点。 D 项错误，平面与圆柱面的截线有三种： 当平面与圆柱面的母线垂直时，截线是圆； 当平面与圆柱面的母线相交但不垂直时。截线是椭圆； 当平面与圆柱面的母线平行时，截线是一条直线或两条平行的直线。 5.下列多项式为二次型的是 ()。 A. B. C. D. 【 答案 】 D 【 解析 】 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中的二次齐次多项式 称为数域 P 上的一个 n 元二次型。二次齐次多项式不包含一次项和常数项。所以由定义可知 D 选项正确。 6.已知随机变量
4、X 服从正态分布 N( ， )，设随机变量 Y=2X，那么 Y 服从的分布是 ()。 A.N(2 ， 2 ) B.N(4 ， 4 ) C.N(2 ， 4 ) 文档来源：准题库 APP D.N( ， ) 【 答案 】 C 【 解析 】 由于随机变量 X 服从正态分布 N( ， )，则随机变量 Y=2X 的均值为 2 ，方差为 4 ，即 Y 服从的分布是 N(2 ， 4 )。 7.“ 矩形 ” 和 “ 菱形 ” 概念之间的关系是 ()。 A.同一关系 B.交叉关系 C.属种关系 D.矛盾关系 【 答案 】 B 【 解析 】 同一关系指两个概念间内涵不同、外延完全相同的关系。如 “ 等边三角形、等角
5、三角形 ” 。 交叉关系，在概念 a 和概念 b 的关系上，如果有的 a 是 b，有的 a 不是 b，并且有的 b 是 a，有的 b 不是 a。那么 a 和 b 这两个概念之间就是交叉关系。题干中的 “ 矩形 ” 和 “ 菱形 ” 概念之间的关系是交叉关系。这是因为矩形和菱形两概念的交叉部分是正方形。 文档来源：准题库 APP 属种关系指一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的关系，其中，外延大的概念叫属概念，外延小的概念叫种概念。如 “ 平行四边形 ” 和“ 矩形 ” 。 矛盾关系是在同一个属概念下的两个种概念的外延互相排斥。其相加之和等于该属概念的外延。如对实数这个属概念而言，有理数
6、和无理数这两个概念之 间的关系就是矛盾关系。 8.下列图形不是中心对称图形的是 ()。 A.线段 B.正五边形 C.平行四边形 D.椭圆 【 答案 】 B 【 解析 】 线段是中心对称图形，对称中心为线段的中点；正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；椭圆是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心为长轴与短轴的交点，对称轴是长轴或短轴所在的直线。 二、简答题 (本大题共 5 小题。每小题 7 分，共 35 分 ) 文档来源：准题库 APP 9.将平面曲线 y=x2 分别绕 y 轴和 x 轴旋转一周，所得旋转曲面分别记作S1 和 S2。 (1)在空间
7、 直角坐标系中，分别写出曲面 S1 和 S2 的方程； (4 分 ) (2)求平面 y=4 与曲面 S1。所围成的立体的体积。 (3 分 ) 【答案】 【 解析 】 (1)在空间直角坐标系中， 10.据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有 60是本专业考生，有 40是非本专业考生，其中本专业考生的通过率是 85，非本专业的考生通过率是 50。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。 【答案】 【解析】 根据题意可知，所求概率 11 在平面有界区域内，由连续曲线 C 围成一个封闭图形。证明：存在实数 使直线 y=x+ 平分该图形的面积。 文档来源：准题库 APP 【答案】 【 解析
8、】 12 给出 “ 平行四边形 ” 和 “ 实数 ” 的定义，并说明它们的定义方式。 【答案】 【 解析 】 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。它的定义方式是属概念加种差定义法，其中属概念是四边形。种差是两组对边分别平行。 实数的定义：有理数和无理数统称实数。它的定义方式是揭示外延定义法。 13 义务教育数学课程标准 (2011 年版 )设置了部分选学内容，以韦达定理为例简述设置选学内容的意义。 【答案】 【 解析 】 义务教育阶段的数学选学内容弥补了必修课程 在内容上的有限性和知识广度与深度上的局限性等不足。 选学内容一方面对必修课程的内容进行拓展或深化，促进学生对知
9、识的理解掌握；另一方面又能发展学生的技能，有助于提高学生对所学知识的应用能力。 文档来源：准题库 APP 以韦达定理为例，九年级上册数学课本中，在学习一元二次方程的求根公式后，介绍了一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理。这是一节选学内容，供学有余力的学生学习。韦达定理是对一元二次方程根的判别式、求根公式等知识的拓展和深化，应用起来更加灵活多变。它与一元二次方程根的判别式的关系是密不可分的，根的判别式是判定方程是否有实 根的充要条件，而韦达定理说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，因此韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体
10、现。 三、解答题 (本大题 1 小题， 10 分 ) 14.在线性空间 中，已知向量 =(1， 2， 1)， =(2， 1， 4)， =(0，-3， 2)，记 = + | ， R， =k |k R。 令 = | ， R， ， 。 (1)求子空间 V3 的维数； (4 分 ) (2)求子空间 V3 的一组标准正交基。 (6 分 ) 【答案】 【 解析 】 文档来源：准题库 APP 四、论述题 (本大题 1 小题， 15 分 ) 15.数学的产生与发展过程蕴含着丰富的数学文 化。 (1)以 “ 勾股定理 ” 教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化； (6分 ) (2)阐述数学文化对学生数学学习
11、的作用。 (9 分 ) 【答案】 【 解析 】 (1)在导入部分，通过数学史毕达哥拉斯在朋友家做客时发现地板中三角形的三边关系进行导入，让学生感受数学文化；在新课讲授阶段，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边的关系转化到求面积关系，渗透转化的思想方法。在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合而面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合思想；在巩固提高阶段，通过运用勾股定理解决生活中的实际 问题，培养学生的应用意识；在小结作业阶段让学生寻找有关勾股定理的资料，并对相关问题进行探究，进一步培养学生的探索精神。 文档来源：准题库 APP (2) 数学文化有利于激发学生的学习兴趣 数学文
12、化给学生带来的不仅仅是数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等，还包括数学思想、数学意识、数学精神等。在教学中可以适当地对学生进行数学文化的教育，如通过数学家的故事，数学问题的发现等内容的介绍来激发学生的学习兴趣。 数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神 新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数 学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。 数学文化教育有利于发展学生的数学应用意识 数学文化的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的应用价值。数学源于生活，其理
13、论的核心部分都是在人类社会的生产、生活实践之中发展起来的。因此，教学中应当有意谀地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系，将数学知识生活化，让学生感受到生活的各个领域中都要用到数学，从而更深切的体验数学文化的价值。 五、案例分析题 (本大题 1 小题， 20 分 ) 16.案例： 某学校的初二年级数学备课组针对 “ 一次函数 ” ，拟对 “ 兴趣班 ” 的学生上一次拓展课，经过讨论，拟定了如下教学目标： 文档来源：准题库 APP 进一步理解一次函数解析式 y=kx+b(k0) 中参数的含义； 探索两个一次函数图像的位置关系。 为了落实教学目标 ，针对参数 k，甲、乙两位老师给出了不同
14、的教学思路： 【教师甲】 先出示问题：一次函数图像是直线，两个一次函数表示的直线平行时，它们对应的一次函数解析式中参数 k 有什么特点呢 ? 然后。给出一般结论：若函数 y= x+ ( 0) ， y= x + ( 0) 表示的两条直线平行，则有 = 。接着通过具体实例，让学生体会参数 k 的含义。 【教师乙】 让学生在同一坐标系下，作一次函数图像，在此过程中体会 k 的含义。如，将学生分两组， 系，从而体会参数 k 的含义。 问题： (1)对该备课组拟定的教学目标进行评析； (6 分 ) (2)分析甲、乙两位教师 教学思路的特点。 (14 分 ) 文档来源：准题库 APP 【答案】 【 解析
15、】 (1)本次课为拓展课，针对的学生是兴趣班的学生。评析分为以下几点： 该备课组所拟定的目标，目标主体正确，行为动词恰当。 就知识与技能目标而言，进一步理解参数含义，符合拓展课的需求以及兴趣班的学情，而探索两个函数图像的关系体现了本堂课的具体过程。就过程与方法目标而言，有过程却无明显的方法体现，这一点上目标拟定有所不足。 三维目标还包括情感态度与价值观目标，尤其是兴趣班学生的拓展课，一定要体现出学生正确积极的情感态度和价值观而该备课组所拟定的目标在这一点上没有具体呈现。 (2)甲教师先出示问题，之后给出了平行直线中，一次函数解析式中 k 值相等的结论。这样做的设计思路是为了让学生直接对问题的结
16、论有一个深刻的印象，产生一定的认知，再举出一些具体的实例，让学生有的放矢的体会参数 k的含义，并对结论进行了巩固。但是这样的设计思路也有一些不足，没有考虑到学生的自主性，对学生发现问题的能力培养上是有所欠缺的，启发性有些不足。 乙教师，在授课中并没有直接的给出参数 k 的含义，而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的基础上得到本节课的知识内容。先将学生分组，进一步合作 画图归纳总结出答案，使课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果文档来源：准题库 APP 的形成过程和蕴涵的数学思想方法，体现了学生是学习的主体，有利于学生对于知识的学习和掌握。 六、教学设计题 (本大题 1 小题， 30 分
17、) 17 在学习了平行四边形、三角形的中位线定理后，某教师设计了一节习题课的教学目标： 进一步理解三角形中位线定理、平行四边形的判定定理； 能综合运用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理等知识解决问题； 提高发现和提出数学问题的能力。 他的教学过程设计中包含了下面的一道例题： 如图 1，在四边形 ABCD 中， E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA 的中点。 问题一求证：四边形 EFGH 是平行四边形； 问题二如何改变问题中的条件才能分别得到一个菱形、矩形、正方形 ? 针对上述材料，完成下列任务： 文档来源：准题库 APP (1)结合该教师的教学目标，分析该例题的设计意
18、图； (10 分 ) (2)类比上述例题中的问题二，设计一个新问题，使之符合教学目标 的要求； (8 分 ) (3)设计该例题的简要教学流程 (8 分 )，并给出解题后的小结提纲。 (4分 ) 【答案】 【解析】 (1)设计意图： a解决这道题目的问题一首先需要学生利用三 角形的中位线定理得到四边形 EFGH 的对边平行且相等 (或两组对边分别平行 )的结论，其次利用平行四边形的判定定理，判定四边形是乎行四边形。因此在练习过程中可以加深学生对三角形中位线定理和平行四边形判定定理的理解。又因为需要同时利用两个定理进行求解，所以可以提高学生对两者的综合应用能力，顺利达成教学目标和。 b问题一可以一
19、题多解，可以锻炼学生的发散思维，还能够加深学生对平行四边形判定定理的应用。此外问题二是一道开放性的题目由学生自己设定条件自主解答，因此可以达成教学目标。 c问题二的解决又需要学生 从对角线的角度出发，对平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定有深刻的认识，通过本问题的练习，兼顾到了教学目标和。 文档来源：准题库 APP (2)问题：连接 HF， EG 交于一点 O，取 0E， OG， OH， OF 的中点分别为 P， M，N， Q，连接 PN， PQ， MN， MQ，证明四边形 PQMN 是平行四边形。改变题干中什么条件四边形 PQMN 会是矩形、菱形、正方形，并说明理由。 (3)教师呈现图片
20、和问题，学生独立进行思考、作答。如果学生作答顺利，将课堂放手交还给学生，如果学生遇到了一定的难度，可以组织学生小组讨论，共同探讨或者教师通过问题进行启 发引导，降低题目的难度，对于问题一可以提出问题： 追问一：平行四边形的判定定理有哪些 ? 追问二：从题干和图形中，我们可以得到哪些边角相等，哪些边平行 ? 对于问题二可以提出问题： 追问：平行四边形在什么样的情况下可以转变成菱形、矩形、正方形 ? 学生进行充分思考，多数学生得出结果之后，指定学生进行回答。要求说明结果和做题的思路。教师及时给予积极有效的反馈点评，针对学生的回答进行总结。最后通过多媒体或黑板直观的呈现答案。 小结提纲 1：解决有关
21、平行四边形类的题目时，往往先利用其他四边形或三角形的相关几何 知识得到相关信息，进而求解。因此需要我们从整体上把握几何图形的性质和判定定理，以及其中的内在联系。 小结提纲 2：平行四边形的判定通常可以从边、角以及边角之间的位置、数量关系来进行判定，特殊的平行四边形如菱形、矩形、正方形具有平行四边形性质的所有性质，可以分别找出与平行四边形之间的联系与区别。 文档来源：准题库 APP 小结提纲 3：证明一个四边形是平行四边形，要找这个四边形对边或对角线存在的关系。证明一个四边形是矩形、菱形、正方形，可以先从这个图形是平行四边形出发，在平行四边形的基础之上，添加适当的边、角、对角线的条件。证明得到矩 形、菱形、正方形。
