1、- 1 -加试模拟训练题（18）1、圆 23,S均与圆外切，切点分别为 1,ABC，并且它们还分别与 的两条边相切，证明 11,AB三线共点。2、已知 ),0(,cba，且 1abc，证明： ).(4)( - 2 -3、 某个团体有 n 个成员(n5)，并且有 n1 个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员证明：有两个委员会恰好有一个成员相同4证明：对于任意正整数 n，数 2052051n 不能被 2整除。- 3 -加试模拟训练题（18）1、圆 23,S均与圆 S外切，切点分别为 1,ABC，并且它们还分别与 ABC的两条边相切，证明 11,ABC三线共点。 （20 届全俄）证明 设
2、ABC的内切圆的圆心为 I，半径为 R， 123,SSAA的半径分别为123,r，则11, rrHAHRIS 。设 P为 I上的一点，且满足 PrIR，则,rHPRI AA，从而有 1,P在一条直线上。同理 1,B与 1,C均三点共线，即 11,BC三线共点。2、已知 ),0(,cba，且 abc，证明： ).1(4)( 证明：不妨设 1， 式等价于 ),(6)()()(222 cbabacbca 即 ).(346)(122 cbab 因4)(1c，只须证明：),(36)(422 cabab即证： 03)(cc 因 ,222 对于式，只须证明：- 4 -.0)(3)(22cbcba 把左边看作
3、 的二次函数，判别式 .4)3(2abc即证 4)(2ac，即证： .)1(2a即 ,016943a 分解因式可得 0)(，此不等式显然成立.所以式成立，即原不等式成立.3、 某个团体有 n 个成员(n5)，并且有 n1 个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员证明：有两个委员会恰好有一个成员相同【题说】 第八届(1979 年)美国数学奥林匹克题 5【证】 用反证法假设任两个(三人)委员会或者有两个成员相同，或者没有成员相同如果委员会 A 与 B 有公共成员，那么它们有两个公共成员 a、b如果委员会 B 又与 C 有(两个)公共成员，那么 a、b 中至少有一个属于 C，从而 C 与 A
4、 也有公共成员因此可将有相同成员的委员会归为一组这样同一组中每两个委员会有(两个)相同成员，不同组的委员会没有公共成员每一组中委员会的个数 k 必不超过这组中不同成员的人数 h显然 h3当 h3 时，k1当 h4 时，k2设x，y，a、x，y，b是其中的两个委员会，则其它的委员会只能是x，a，b、y，a，b或x，y，d的形式，这里 d 至多有 h4 种选择，所以 k4(h4)h于是委员会的总数 n1人数 n，矛盾这表明，至少有两个委员会恰有一个成员相同4证明：对于任意正整数 ，数 2052051n 不能被 2整除。证明：只需证 2（ ）2（ 205 ）即可。因为若 n是正整数，则 )( 1221 nnn yxyxyx ；若 是正奇数，则 ( 1nyx ；故 2 205； 205205)1(3n， 2n 205所以 n2（ ） 。又因为 3，所以 2 2，所以 2 2（ 20505 ）2即（ ）2（ 052051n ）命题得证。
