1、1【三角函数疑难点拔】一、 忽略隐含条件例 3 若 ，求 的取值范围。01cosinxx正解： ，由 得 )4(22)4in()(4324Zkxk )(22Zkx二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设 、 为锐角，且 + ，讨论函数 的最值。1022cosy错解 ，可见，当)cos(21)()(1)cos2( y时， ；当 时， 。分析：由已知得 ，1)cos(3max2miny 90,3，则 ，当 ，即 时， ，最大值不60601)cos(21)cos(621miny存在。三、 忽视应用均值不等式的条件例 5 求函数 的最小值。)20,(sinco22 xbaxay错解
2、，当 时，)12sin0(4sincosii )2()1(22 xabx12sinxaby4min分析：在已知条件下， （1） 、 （2）两处不能同时取等号。正解： ，当且仅当 ，即 ，时，22 222)( )cottan(cott xbxxxbacottnabnminbay【经典题例】 例 4：已知 b、c 是实数，函数 f(x)= 对任意 、 R 有： 且cbx2,0)(sinf ,0)cos2(f（1）求 f（1）的值；（2）证明：c ；（3）设 的最大值为 10，求 f（x） 。)(sinf思路（1）令 = ，得 令 = ，得 因此 ；（2）证明：由已知，当 时，,0)1(f,01,f
3、 1x当 时， 通过数形结合的方法可得： 化简得 c ；（3）由上述可知，-1，1是,0)(xfxx 0)3(的减区间，那么 又 联立方程组可得 ,所以,)(f,)(f 45b45)(2xf例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数 的单调递增区间是？ ；43sinlog21xy Zkk38（2）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 1 ；ac8xa（3）把函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，则所)4sin(xy2得的函数解析式子是 ；)8sin(xy例 6：函数 ， （1）求 f(x)的定义域；（2）求 f(x)的最大值及对应的 x
4、 值。xxfcosin12)(思路（1）x|x (2)设 t=sinx+cosx,则 y=t-1 kk且 Z42,1maxkyZ例 7：在 ABC 中，已知 （1）求证：a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取值范BACAsin23cosin2csi 围。思路（1）条件等式降次化简得 （2）ii，得 B 的取值范围,18682)(32)(cos2 acacacB 3,0(14设 sinx，且 0osi，则 x的取值范围是 ；2,19已知 ，证明不存在实数 能使等式 cos +msin =m(*)成立；),0()1,(m（2）试扩大 的取值范围，使对于实数 ，等式(*)能成立；（3）在扩大后
5、的 取值范围内，若取 ,求出使等式(*)成立的 值。x3x提示：可化为 （2） （3）1)4tan()2(x6最值问题典型错例例 5. 求函数 的最大值和最小值。yxsico132错解：原函数化为 ，关于 的二次方程的判别式 ，90ynisinx()14902y即 ，所以 。剖析：若取 ，将导致 的错误结论，此题错2maxmin12， y12sinx3在忽视了隐含条件 。正解：原函数化为 ，当 时，解得 ，满足|si1490iiyisinx1当 时，解得 ，又 ，则有 或y0inxy82sin|sixRx， 140182y，解得 ，所以148122y31ymaxmin33，难点 化简与求值【例
6、】已知 ,cos( )= ,sin( + )= ,求 sin2 的值_.4125例 1不查表求 sin220+cos280+ cos20cos80的值.3解法一：sin 220+cos280+ sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos802213=1 cos40+ cos160+ sin20cos(60+20)=1 cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+ sin20(cos60cos20sin60sin20)=1 cos40 cos40 sin40+ sin40 sin2203 1443=1 cos40 (1cos40)=
7、 4341解法二：设 x=sin220+cos280+ sin20cos80， y=cos220+sin280 cos20sin80，则3 3x+y=1+1 sin60= ， x y=cos40+cos160+ sin100=2sin100sin60+ sin100=03 x=y= ，即 x=sin220+cos280+ sin20cos80= .41 41例 2关于 x 的函数 y=2cos2x2 acosx(2 a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)= 的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大21值.解：由 y=2(cosx )2 及 cosx1，1得：4f(a) ， f(
8、a)= ,14 a= a= 2,+ ，故 2 a1= ，解得： a=1，此时，)2( 412 a28)y=2(cosx+ )2+ ，当 cosx=1 时，即 x=2k ， kZ， ymax=5.难点训练1.()已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均 tan 、tan ，且 ， ( )，则 tan 的值是( )2,2A. B.2 C. D. 或2213413.设 ( )， (0， )，cos( )= ，sin( + )= ，则 sin( + )=_.43,54354.不查表求值: .10cos)7tan(in10si5.已知 cos( +x)= ，( x )，求 的值.453274
9、xtsi2i7.扇形 OAB 的半径为 1，中心角 60，四边形 PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并求此最大面积.8.已知 cos +sin = ，sin +cos 的取值范围是 D， xD，求函数 y= 的最小值，并求取得最小值时 x 的值.10432logx参考答案难点磁场解法一： ,0 . + ,sin( )=24343sin2 =sin( )+( + )=sin( ).54)(sin1)cos(,15)(cos1 2cos( + )+cos( )sin( + ) 。解法二：sin( )= ,cos( + )= ,63)513554sin2 +sin2 =2
10、sin( + )cos( )= sin2 sin2 =2cos( + )sin( )=67 640sin2 = 6)54072(1难点训练一、1.解析： a1，tan +tan =4 a0。tan +tan =3a+10,又 、 ( , ) 、 ( , ),则224( ,0),又 tan( + )= ,整理得 2tan22 342tan1)tan(,34)1(tan1t 又=0.解得 tan =2.答案：B2tan323.解析： ( ), (0, ),又 cos( )= .4,45答案：65)sin( .65134)2(5)43sin()i)43cos()2)(insi(132)cos(,1)
11、43sin(.,3.05) 即三、4.答案：2 75283)4()4cos(in2sinco)(icosin1ta1si 54,3,7.7)si)(:. 22xxxx又 解 7.解：以 OA 为 x 轴. O 为原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为(cos ,sin )，则 PS=sin .直线 OB 的方程为 y= x，直线 PQ 的方程为 y=sin .联立解之得 Q( sin ；sin )，所以 PQ=cos 3sin 。 于是 SPQRS=sin (cos sin )= ( sin cos sin 2 )= ( sin2 )= (333 2cos13sin2 + cos2 )=
12、 sin(2 + ) .0 , 2 + . sin(2 + )2126366561.sin(2 + )=1 时， PQRS 面积最大，且最大面积是 ，此时， = ，点 P 为 的中点， P( ).6 21,8.解：设 u=sin +cos .则 u2+( )2=(sin +cos )2+(cos +sin )2=2+2sin( + )4. u21,1 u1.即3D=1,1,设 t= ,1 x1,1 t .x= .x53t.21,32,258logl82log 0l.,4.2411032.05.05.0min .0max2 xty MyMttx此 时时 时 是 减 函 数在时即当 且 仅 当 提
13、高训练 C 组一、选择题5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 ，那么下列命题成立的是（ ）siiA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是第一象限角，则,csoB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是第二象限角，则 tantC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是第三象限角，则D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是第四象限角，则,二、填空题51 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知角 的终边与函数 决定的函数图象重合， 的值为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
14、j )0(,125xyx sin1tacos2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，则 是第 象限的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 24 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如果 且 那么 的终边在第 象限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,0sina,1cosin5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若集合 ， ，则 =_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j | ,3AxkxkZ|BxBA三、解答题1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 角 的
15、终边上的点 与 关于 轴对称 ，角 的终边上的点 与 关于直线 对称，求P),(ba)0,(baQ值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j sintasin3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 64i参考答案一、选择题 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 画出单位圆中的三角函数线二、填空题1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在角 的终边上取点73125(12,5)3,cos,tan,si13Pr2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 一、或三 1 22(
16、)kkZkZ1212()4kk4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二 2sina0,cos,in0三、解答题1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解： 22(,)i,tabbP22(,)sin,cos,tanabQ头htp:/w.xjkygcom126t:/.j sinta10cosin3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解： 624244(cs)(inss)i ) 21(3si)nco【练习】一、选择1、函数 的值域是（ ）A. 1，1 B.-2,2 C. 0,2 D.0,15、 二、填空3、已知 f（x）asinxbcosx 且 x 为 f（x）的一条对称轴，则 a：b 的值为 .4、若函数 答案与解析一、选择题：1、选 B. ，当 x0 时，22sinx2 即2y2；当 x0 时，y0 包含于2，2.于是可知所求函6数值域为2，2，故应选 B. 5、选 C.解析：由 f(x)在区间 ， 上递增及 f（x）为奇函数，知 f(x)在区间 ， 上递增，该区间长度应小于或等于 f（x）的半个周期.，应选二、填空题3、答案：a：b1。解析：由题设得 ，又 x 为 f（x）的一条对称轴，当 x 时 f(x)取得最值， 即 ，a:b=1。4、答案： ，解析： ，由 ，注意到，由得： ，再注意到当且仅当于是由及 得
