1、高中文科数学知识点精编函数一、函数的概念：1. 映射：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。2. 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果
2、按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、对应关系、值域.3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要
3、依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1；(5) 指数为零，底不可以等于零；(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.三、值域的求法: 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域2.函数值域的常用方法：(1)观察法：通过对函数
4、定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2)配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如： 的),(,)(2nmxcbaxf形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3)换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4)分离常数法：对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。(5)反求法：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；yx y常用来解，型如： ),(,nmdcba(6)判别
5、式法：若 函 数 y=f（ x） 可 以 化 成 一 个 系 数 含 有 y 的 关 于 x 的 二 次 方 程 a（ y） x2+ b（ y）x+c（ y）=0，则在 a（ y）0 时，由于 x、 y 为实数，故必须有 =b2（ y）4 a（ y） c（ y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的 x 值。(7)最值法：对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值 f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数 y 的值域。(8)基本不等式法：转化成型如： ，利用基本不等式公式来求值域。)0(kxy(9)单调性法：函数
6、为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)(10)数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。(11)构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。(12)导数法：利用导数求值域。四、解析式的求法：1. 待定系数法：已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。2. 函数性质法：
7、如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性） ，则可利用这些性质求出解析式。3. 图象变换法：若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。4. 换元法：5. 配凑法：6. 赋值（式）法：五、函数图象：1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . 2.画法：（1）描点法：
8、（2）图象变换法：常用变换方法有三种： 平移变换、伸缩变换、对称变换3.区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示六、函数的单调性：1. 定义：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x 2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单
9、调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质2. 图象的特点：如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3. 函数单调区间与单调性的判定方法：(1)定义法：任取 x1，x 2D，且 x1x2； 作差 f(x1)f(x 2)； 1 2变形（通常是因式分解和配方） ； 定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ； 3 4下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 5(2)图象法(从图象上看升降)4.函数单调性的常用结论：(1)若 均为某区间上
10、的增（减）函数，则 在这个区间上也为增（减）,()fxg()fxg函数；(2)若 为增（减）函数，则 为减（增）函数；()fx(3)若 与 的单调性相同，则 是增函数；若 与 的单调性不()f ()yfg()fx同，则 是减函数； 其规律：“同增异减”ygx(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1. 定义：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x
11、)，那么 f(x)就叫做偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数2. 具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称3. 判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 1确定 f(x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 3若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数4. 函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在 处有定义，则 ，如果一个函数 既
12、是奇函0x()f()yfx数又是偶函数，则 （反之不成立）()f（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。（4）两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该()yfu()gx复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。（5）若函数 的定义域关于原点对称，则 可以表示为x()fx，11()()()22fff该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。（6）若函数 是偶函数，则 ；xfy)(axfxf若函数 是偶函数，则 .)(a（7）多项式函数的奇偶性多项式函数 是奇函数 的偶次项(
13、即奇数项)的系数全为零.PP多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.()xx八、函数的对称性：1.函数自对称：（1）关于 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是y )(xff（2）关于原点 对称的函数（奇函数）的充要条件是0, 0（3）关于直线 对称的函数的充要条件是x1)fxf（4）函数 满足 时，函数 的图象关于直线 对()yf()()fafb(y2abx称。（注：特别地，当 a=b=0 时，该函数为偶函数）（5）函数 满足 时，函数 的图象关于点（ ，()yfx()()fxfc()yfx）对称。 （注：当 a=b=c=0 时，函数为奇函数）2c2.两个函数的图象对称性：（1）
14、 )(xfy与 )(xf关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)(xgf0y（2） f与 f关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)()(f x（3） xfy与 2xaf关于直线 a对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)2()xgxa（4） 与 关于直线 对称。)()(y换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。f fy（5） 关于点 对称。2afbxy与 ,ab换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对)(f)(xgy bxgxf2)(),ab称。（6） 与 关于直线 对称。xafy（7） 与 关于直线 对称。()1()fyx九
15、、函数的周期性：1定义：一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值()fx时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做函数的周期。(T)(fxf()fx2函数周期性的性质：（1）对于非零常数 A，若函数 满足 ，则函数 必有一个yA)(ffx()yfx周期为 2A。（2）对于非零常数 A，函数 满足 ，则函数 的一个周期()fx1()fff为 2A。（3）对于非零常数 A，函数 满足 ，则函数 的一个周期为()yf()()ffx()yfx2A。3.对称性和周期性之间的联系：（1）函数 有两根对称轴 x=a， x=b 时，那么该函数必是周期函数，且
16、对称轴之间()yfx距离的两倍必是函数的一个周期。（2）函数 满足 和 （ a b）时，函数()()ffc()()fxfbc是周期函数。()f（函数 图象有两个对称中心（ a， ） 、 （ b， ）时，函数 是周期函数，yx2(yfx且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。 ）（3）函数 有一个对称中心（ a， c）和一个对称轴 ） （ a b）时，该函数也是()f x周期函数，且一个周期是 4()b十、一次函数：形如 的函数0,kRkxy十一、二次函数：1. 一般式： ,)(2acbxf2. 顶点式： )nm3. 零点式： 0,(21xf十二、反比例函数：形如 的函数0,ky1. 我们常用分
17、离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究： )0,()( 2cadxbcdcxabadcxb或： )0,()1()()( cadxbcxcxcaxca十三、 “对号”函数：形如 的函数0,baxy1. 一般地，对于函数 ,xy（）当 时，函数在 及 上为增函数，在 及0,ba),(ab),()0,(ab上为减函数函数的值域是 ),( ),2,ab（）当 时，函数在 及 上都是增函数，值域为 )0,()( ),(十四、指数函数：1. 根式的概念：如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时，,1nxaRxnNxan的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表
18、示，负na的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实n a数；当 为偶数时， a2. 根式的性质： ；()na当 为奇数时， ；n当 为偶数时， (0)| a3. 分数指数幂的概念：规定：1） ； 2） ；)(Nnan )0(10an 个3） 1Qpp正数的正分数指数幂的意义是： 且(0,mnanN1)0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是： 且 1)(,mnna )n0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数4. 分数指数幂的运算性质： (0,)rsrsaR()(0
19、,)rsrsR （注）上述性质对 r、 R 均适用。()bbr5. 指数函数：函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)图象 101a01xyx(,)O101xx(,)Oy定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时，,1)x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况(0)1()xxa(0)1()xxa变化a对图象的影响在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低aa十五、对数函数：1. 对数：定义：如果 的 b 次幂等于 N，就是 ，那么数 称以 为底 N)1,0(a且 abba的对数，记作 其中 称对数的底，N 称
20、真数log1）以 10 为底的对数称常用对数， 记作 ；10logl2）以无理数 为底的对数称自然对数， ，记作)782.(e Nelogln基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2）对数恒等式： ， ， ，log10al1aNaloglba3）对数式与指数式的互化： (0,1)xx运算性质：如果 ，那么0,aM1）加法： logllog()aaaN2）减法： 3）数乘： ll()naanR4）换底公式： ；)0,1,0ogNmam； 1llba bnaaloglog2. 对数函数：函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域
21、 R过定点 图象过定点 ，即当 时，11x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log()1l0()aaxlog(1)0l()aax变化a对图象的影响在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高十六、幂函数：1. 幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx2. 幂函数的图象01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla3. 幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (
22、图象关于y原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,(1,)单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂0,0函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴(,) xy奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中qp互质， 和 ） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为,pqZpqqpyx偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数qpyx图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若,(0)101xyx，其图象
23、在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，1x若 ，其图象在直线 下方yx十七、复合函数：1. 定义：设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.2. 定义域：(1)已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：实际上是已知中间变量的 的取值范围，即 ， ，通过解不等式 求得 的范围，即为 的定义域。(2)已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：实际上是已知直接变量 的取值范围，即 。先利用 求得的范围，则 的范围即是 的定义域。3. 值域：关键是由里向外，逐层解决
24、。4. 解析式：(1)已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。(2)已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。1、配凑法就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接把 换成 而得2、换元法就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ），再把 （关于 的式子）直接代入 中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得5. 单调性：（1）引理证明：已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又)(xgfy)(xguba,(函数 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）)(uf )(xgfyba,(上是增函数.（2）复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是
25、由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(f增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）复合函数 的单调性判断步骤：xy1、确定函数的定义域； 2、将复合函数分解成两个简单函数： 与 。)(ufy)(xg3、分别确定分解成的两个函数的单调性；4、若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函)(xgfy数，而另一个是减函数），则复合后的函数 为减函数。)(xfy6. 奇偶性：（1）若内函数为偶函数，那
26、么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。十八、抽象函数：1. 定义：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。2. 几类常见的抽象函数：序号 抽象函数满足条件 代表函数1 1212()()fxfxf正比例函数（ ）()fxk021212()()ffxx指数函数 （xfa）,131212(
27、)()fxffx或 122fff对数函数 （()logafx）0,1a4 或1212()()fxfx)y(fx幂函数 ()afx5 1212fff 余弦函数 cosf6 )y(fx1)yx(正切函数 f(x)=tanx7 2121()fff 1()logaxfx8 ()()fxf或()laf()fx3. 定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）4. 值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。5. 单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当
28、加以配凑。6. 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。7. 周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。8. 对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。十九、反函数：1. 定义：一般地，对于函数 ，设它的定义域为 D，值域为 A。如果对于 A 中的任意y)(xf一个值 ，在 D 中总有惟一确定的 值与它对应，使 ，这样得到 关于 的y ()yfxxy函数叫函数 的反函数。记作 。习惯上，把它改写为)(xf )(1f )(1f。)(Ax2. 求反函数的基本步骤：（1）求值域：求原函数的值域（2）反解：视 y 为常量，从 中解
29、出唯一表达式 ，yfx1xfy（3）对换：将 与 互换，得 ，并注明定义域。x13. 反函数 与原函数 的关系：1ff（1） 的定义域、值域分别为 的值域、定义域。1yfxyfx（2）若 存在反函数，且 为奇函数，则 也为奇函数。1yfx（3）若 为单调函数，则 同 有相同的单调性。f 1ff（4） 和 在同一直角坐标系中，图像关于 对称。yx1yfx4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）二十、分段函数：所谓“分段函数” ，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。二十一、恒成立问题与存在性问题：
