1、.递 推 数 列 题 型 高 考 归 纳 解 析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是数列问题的难题。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型 1 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列 满足 ， ，求 。解：由条件知：分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即所以， 变式:（2004，全国 I，个理 22本小题满分 14 分）已知数列 ，且 a2k=a2k1 +(1) k, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.（I）求 a3, a5；（II）求 an的通
2、项公式.解： ，. ，即 ， 将以上 k 个式子相加，得将 代入，得，。经检验 也适合，类型 2 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例 1:已知数列 满足 ， ，求 。解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即.又 ，例 2:已知 ， ，求 。解：。例 3:（2004，全国 I,理 15）已知数列 an，满足 a1=1， (n2)，则 an的通项 解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得当 时， ，即 ，又 ，将以上 n 个式子相乘，得类型 3 （其中 p，q 均为常数， ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
3、例 1:已知数列 中， ， ，求 .解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所以 .例 2:（2006，重庆,文,14）在数列 中，若 ，则该数列的通项 _（key: ）例 3:（2006.福建.理 22.）已知数列 满足（I）求数列 的通项公式；（II）若数列 bn滿足 证明：数列 bn是等差数列；（）证明：（I）解：是以 为首项，2 为公比的等比数列 即 （II）证法一：.，得即，得 即 是等差数列 证法二：同证法一，得 ，令 得设 下面用数学归纳法证明 （1）当 时，等式成立 （2）假设当 时， 那么这就是说，当
4、 时，等式也成立 .根据（1）和（2），可知 对任何 都成立 是等差数列 （III）证明：变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异类型 4 （其中 p，q 均为常数， ）。（或 ,其中 p，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中），得： 再待定系数法解决。例 1:已知数列 中， , ，求 。解：在 两边乘以 得：.令 ，则 ,解之得：所以例 2:（2006，全国 I,理 22）设数列 的前 项的和 ，（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：解：（I）当 时， ；当 时， ，即 ，利用 （其中 p，q 均为常数， ）。（或
5、,其中 p，q, r 均为常数）的方法，解之得：()将 代入得S n= (4n2 n) 2n+1 + = (2n+11)(2 n+12)= (2n+11)(2 n1)T n= = = ( )所以, = )= ( )0 ， an an1 =5 (n2) 当 a1=3 时， a3=13， a15=73 a1， a3， a15不成等比数列 a13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 例 3: (2005,江西,文,22）已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 SnS n2 =3 求数列 an的通项公式.解： ， ，两边同乘以 ，可得令
6、 .又 ， ， ， 。类型 7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。例 1:设数列 ： ，求 .解：设 ，将 代入递推式，得.（）则 ,又 ，故 代入（）得说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之.例 2:（2006，山东,文,22, ）已知数列 中， 在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3 ()令()求数列()设 的前 n 项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出 ，若不存在,则说明理由。解：（）由已知得 又.是以 为首项，以 为公比的等比数列
7、（II）由（I）知，将以上各式相加得：（III）解法一：存在 ，使数列 是等差数列， .数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数即又 当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列 解法二：存在 ，使数列 是等差数列 由（ = 1 * ROMAN I）、（ = 2 * ROMAN II）知，又当且仅当 时，数列 是等差数列。 .类型 8解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。例 1：已知数列 中， ，求数列解：由 两边取对数得 ，令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。例 2:（2005，江西,理,21）已知数列（1）证明（2）求数列 的通项公式 an.解：用数学归纳法并结合函
8、数 的单调性证明：（1）方法一用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ，命题正确.2假设 n=k 时有.则而又 时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ；2假设 n=k 时有 成立，令 ， 在0，2 上单调递增，所以由假设有：即也即当 n=k+1 时 成立，所以对一切（2）解法一：所以 ,.又 bn=1，所以解法二：由（I）知， ，两边取以 2 为底的对数，令 ,则 或例 3:（2006,山东,理,22）已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（）证明数列lg(1+ an)是等比数列；（）设
9、 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；（）记 bn= ，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1 解：（）由已知 ，.，两边取对数得 ，即 是公比为 2 的等比数列 （）由（）知（*）=由（*）式得（） ， ， 又 ，由得，又 ， .类型 9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。例 1：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。解：取倒数：是等差数列，例 2:（2006，江西,理,22,）（此题较难，涉及到数列，不等式的放缩法，数学归纳法等知识，综合性较强，要认真研究，体会）已知数列a n满足：a 1 ，且 an（1）求数列a
10、 n的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1a2an 2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 nN *，有.31（ ）3用数学归纳法证明 3式：（i）n1 时，3式显然成立，（ii）设 nk 时，3式成立，即 31（ ）则当 nk1 时，31（ ）（ ）1（ ） （ ）1（ ）即当 nk1 时，3式也成立 故对一切 n?N*，3式都成立 利用 3得，31（ ）11 故 2式成立，从而结论成立 类型 10 （下面介绍的方法供学习程度较高，且有余力的同学参考用）.解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有（其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ），那么，可作特
11、征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。例 1：已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式. 解: 数列 的特征方程为 变形得 其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部分，则有即例 2：已知数列 满足：对于 都有.（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？解：作特征方程 变形得特征方程有两个相同的特征根 依定理 2 的第（1）部分解答.(1) 对于 都有(2) 令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，当 4， 时， .(3) 令 则 对于(4)、显然当 时，数列从第
12、2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，.数列 是存在的，当 时，则有令 则得 且 2.当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不存在.于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷数列 都不存在.例 3:（2005，重庆,文,22, ）数列 记（）求 b1、 b2、 b3、 b4的值；（）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和解法一：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或 , , 解法二：（I）.（II）因 ，故猜想 因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）故 的等比数列., .解法三：（）由整理得（）由所以解法四：（）同解法一（）.从而类型 11 或解法：这种类
13、型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。例：（I）在数列 中， ，求 （II）在数列 中， ，求类型 12 归纳猜想法解法：数学归纳法例 1:（2006，全国 II,理,22,本小题满分 12 分）.设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2 anx an0 有一根为 Sn1， n1，2，3，（）求 a1， a2；（） an的通项公式 提示:1. 为方程的根,代入方程可得将 n=1 和 n=2 代入上式可得 2.求出 等,可猜想 并用数学归纳法进行证明，本题主要考察一般数列的通项公式与求和公式间的关系3.方程的根的意义(根代入方程成立)4.数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把 分开为,可得解：()当 n1 时， x2 a1x a10 有一根为 S11 a11，于是( a11) 2 a1(a11) a10，解得 a1 . 当 n2 时， x2 a2x a20 有一根为 S21 a2 ，于是( a2 )2 a2(a2 ) a20，解得 a2 ()由题设( Sn1) 2 an(Sn1) an0，即 Sn22 Sn1 anSn0 当 n2 时， an Sn Sn1 ，代入上式得Sn1 Sn2 Sn10 由()知 S1 a1 ， S2 a1 a2
