1、12.3角平分线的性质（1）,旧知回顾,角平分线的定义：,角平分线的定义：,从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线,C,C,AOC =BOC,AOB =2AOC =2BOC,角平分线的符号性质,在ADC和 ABC中，,AD= AB,AC=AC,DC=BC,ADC ABC,（SSS）, DAE=DAE,=,=,尺规作图,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C,3.作射线OC.,老师提示
2、: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,则射线OC就是AOB的平分线.,A,为什么OC是角平分线呢？,O,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC， OMC ONC（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,思考：角平分线有什么性质呢？ OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，,1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2.
3、 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,C,O,B,A,PD=PE,角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.,结论：,C,数学符号表示已知和求证：,OC是AOB的平分线,且PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等),几何语言表示:,角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证
4、: PD=PE,例题,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中PDO= PEO（已证）1= 2 （已证）OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,注意,特别是文字性叙述的几何证明题,4,随课巩固,例1:如图，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到AB的距离为？,例题讲解,E,例2：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。,E,D,F,M,N,例题讲解,N,D,N,D,N,D
5、,N,E,F,D,N,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。,例题讲解,1、如图，OC平分AOB， PMOB于点M， PNOA于点N， POM的面积为6，OM=6，则PN=_。,2,练习,2、如图:ABC中, C=900，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=D
6、F，求证：CF=EB,练习,HL,3、如图，ABC中，C=90，AC=CB，AD为BAC的平分线，DEAB于点E。 求证：DBE的周长等于AB。,A,B,C,D,E,练习,证明：周长 =DE+EB+BD =CD+DB+EB =CB+EB =AC+EB =AE+EB =AB,B,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,答：PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？,思考题,P1,l1,l
7、2,l3,练习1：如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,AAS,证明：过点P作PG 、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、HBM是ABC的角平分线，点P在BM上PG=PF （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PF=PH. PG=PF=PH.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,P,如图，在ABC中，AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD,再见,
