1、1课时 2 二次函数与几何图形综合题姓名：_ 班级：_ 限时：_分钟面积问题1(2018黄冈)已知直线 l：ykx1 与抛物线 yx 24x.(1)求证：直线 l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线 l与该抛物线两交点为 A，B，O 为原点，当 k2 时，求OAB 的面积2(2018陕西)已知抛物线 L：yx 2x6 与 x轴相交于 A、B 两点(点 A在点 B的左侧)，并与 y轴相交于点 C.(1)求 A、B、C 三点的坐标，并求ABC 的面积；(2)将抛物线 L向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x轴相交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧)，并与 y轴相交于点 C，要使ABC和AB
2、C 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式23(2018徐州)已知二次函数的图象以 A(1，4)为顶点，且过点 B(2，5)(1)求该函数的关系式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B 两点随图象移至 A，B，求OAB的面积34(2018温州)如图，抛物线 yax 2bx(a0)交 x轴正半轴于点 A，直线 y2x 经过抛物线的顶点 M.已知该抛物线的对称轴为直线 x2，交 x轴于点 B.(1)求 a，b 的值；(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP.设点 P的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，记
3、K ，求 K关于 m的函数表达式及 K的范围Sm角度问题45(2018广东省卷)如图，已知顶点为 C(0，3)的抛物线 yax 2b(a0)与 x轴交于 A，B 两点，直线 yxm 过顶点 C和点 B.(1)求 m的值；(2)求函数 yax 2b(a0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点 M，使得MCB15？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由6(2018天津)在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，点 A(1，0)已知抛物线 yx 2mx2m(m 是常数)，顶点为 P.(1)当抛物线经过点 A时，求顶点 P的坐标；(2)若点 P在 x轴下方，当AOP45时，求抛物线的解析式；(3)无
4、论 m取何值，该抛物线都经过定点 H.当AHP45时，求抛物线的解析式5特殊图形存在性问题7(2018山西)综合与探究如图，抛物线 y x2 x4 与 x轴交于 A，B 两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，连接 AC，BC.13 13点 P是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为 m，过点 P作 PMx 轴，垂足为点 M，PM 交 BC于点 Q，过点 P作 PEAC 交 x轴于点 E，交 BC于点 F.(1)求 A、B、C 三点的坐标；(2)试探究在点 P运动的过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点 Q的坐标；
5、若不存在，请说明理由；(3)请用含 m的代数式表示线段 QF的长，并求出 m为何值时 QF有最大值68(2018临沂)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB， tanABC2，点 B的坐标为(1，0)，抛物线 yx 2bxc 经过 A，B 两点(1)求抛物线的解析式；(2)点 P是直线 AB上方抛物线上的一点，过点 P作 PD垂直 x轴于点 D，交线段 AB于点 E，使 PE DE.12求点 P的坐标；在直线 PD上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M的坐标；若不存在请说明理由参考答案71解：(1)证明： 联立 y kx 1，y x2 4x， )化
6、简可得 x2(4k)x10，(4k) 240，故直线 l与该抛物线总有两个交点；(2)解： 当 k2 时，y2x1.如解图，过点 A作 AFx 轴于点 F，过点 B作 BEx 轴于点 E，联立 解得 或 ，y x2 4x，y 2x 1， ) x 1 2，y 1 2 2， ) x 1 2y 2 2 1)A(1 ，2 1)，B(1 ，12 )，2 2 2 2AF2 1，BE12 .2 2易求得直线 y2x1 与 x轴的交点 C为( ，0)，12OC ，12S OAB S AOC S BOC OCAF OCBE OC(AFBE)12 12 12 (2 112 ) .12 12 2 2 22解：(1)
7、令 y0，得 x2x60，解得 x3 或 x2，A(3，0)，B(2，0)令 x0，得 y6，C(0，6)，AB5，OC6，S ABC ABOC 5615；12 12(2)由题意，得 ABAB5.要使 SABC S ABC ，只要抛物线 L与 y轴交点为 C(0，6)或 C(0，6)即可设所求抛物线 L：yx 2mx6，yx 2nx6.又知，抛物线 L与抛物线 L的顶点纵坐标相同， ， ，24 m24 24 14 24 n24 24 14解得 m7，n1(n1 舍去)抛物线 L：yx 27x6 或 yx 27x6 或 yx 2x6. 3解：(1)设函数的关系式为 ya(x1) 24，8将 B(
8、2，5)代入得：a1，该函数的关系式为 y(x1) 24x 22x3；(2)令 x0，得 y3，因此抛物线与 y轴的交点为(0，3)；令 y0，x 22x30，解得 x13，x 21，即抛物线与 x轴的交点为(3，0)，(1，0)；(3)设抛物线与 x轴的交点为 M，N(点 M在点 N的左侧)，由(2)知：M(3，0)，N(1，0)，当函数图象向右平移经过原点时，点 M与点 O重合，因此抛物线向右平移了 3个单位，故 A(2，4)，B(5，5)，S OAB (25)9 24 5515.12 12 124解：(1)将 x2 代入 y2x，得 y4，M(2，4)，由题意得 b2a 2，4a 2b
9、4， ) a 1，b 4； )(2)如解图，过点 P作 PHx 轴于点 H.点 P的横坐标为 m，抛物线的函数表达式为 yx 24x，PHm 24m.B(2，0)，OB2，S OBPH 2(m 24m)m 24m，12 12K m4.Sm由题意得 A(4，0)M(2，4)，2m4.K 随着 m的增大而减小，0K2.5解：(1)将(0，3)代入 yxm 得 m3；(2)将 y0 代入 yx3 得 x3，B(3，0)，将(0，3)，(3，0)代入 yax 2b，9得 解得b 3，9a b 0， ) a 13，b 3， )y x23；13(3)存在，分以下两种情况：若点 M在 BC上方，设 MC交
10、x轴于点 D，如解图 1，则OCD451530，ODOCtan 30 ，D( ，0)3 3设 DC的解析式为 ykx3，将 D( ，0)代入得 k ，3 3取立 解得y 3x 3，y 13x2 3， ) x1 0，y1 3， )x2 3 3，y2 6， )M(3 ，6)；3若点 M在 BC下方，设 MC交 x轴于点 E，如解图 2，则OCE451560，OEOCtan 603 ，3E(3 ，0)3设 EC的解析式为 ykx3，将 E(3 ，0)代入得 k ，333联立 解得y 33x 3，y 13x2 3， ) x1 0，y1 3， )x2 3，y2 2， )M( ，2)3综上所述，存在点 M
11、，使得MCB15，此时点 M的坐标是(3 ，6)或( ，2)3 36解：(1)抛物线 yx 2mx2m 经过点 A(1，0)，01m2m，解得 m1.抛物线的解析式为 yx 2x2.yx 2x2(x )2 ，12 94顶点 P的坐标为( ， )；12 94(2)抛物线 yx 2mx2m 的顶点 P的坐标为( ， )m2 m2 8m4由点 A(1，0)在 x轴正半轴上，点 P在 x轴下方，AOP45，知点 P在第四象限如解图 1，过点 P作 PQx 轴于点 Q，则POQOPQ45. 10可知 PQOQ，即 ，解得 m10，m 210.m2 8m4 m2当 m0 时，点 P不在第四象限，舍去m10
12、，抛物线的解析式为 yx 210x20；(3)由 yx 2mx2m(x2)mx 2可知，当 x2 时，无论 m取何值时，y 都等于 4，点 H的坐标为(2，4)如解图 2，过点 A作 ADAH，交射线 HP于点 D，分别过点 D，H 作 x轴的垂线，垂足分别为 E，G，则DEAAGH90.DAH90，AHD45，ADH45，AHAD.DAEHAGAHGHAG90，DAEAHG，ADEHAG(AAS)，DEAG1，AEHG4，点 D的坐标为(3，1)或(5，1)当点 D的坐标为(3，1)时，可得直线 DH的解析式为 y x .35 145点 P( ， )在直线 y x 上，m2 m2 8m4 3
13、5 145 ( ) ，m2 8m4 35 m2 145解得 m14，m 2 .145当 m4 时，点 P与点 H重合，不符合题意，m ；145当点 D的坐标为(5，1)时，11可得直线 DH的解析式为 y x .53 223点 P( ， )在直线 y x 上，m2 m2 8m4 53 223 ( ) ，m2 8m4 53 m2 223解得 m14(舍去)，m 2 .223m .223综上可得，m 或 m .145 223故抛物线的解析式为 yx 2 x 或 yx 2 x .145 285 223 4437解：(1)令 y0 得 x2 x40，13 13解得 x13，x 24，点 A、B 的坐标
14、分别为 A(3，0)，B(4，0)，令 x0 得 y4，点 C的坐标为(0，4)；(2)存在，Q 1( ， 4)，Q 2(1，3)；5 22 5 22(3)如解图，过点 F作 FGPM 于点 G.B(4，0)，C(0，4)，OBC 为等腰直角三角形，OBC45，即 QMBM.B(4，0)，点 P的横坐标为 m，QMBM4m.PMx 轴，FGPM，FGx 轴，QFGOBC45，即 FGQG，QG QF.22PEAC，FGx 轴，PFGCAO.又AOC90，FGPM，PFGCAO， ，即 ，FGOA PGOC FG3 PG412PG FG.43又FGQG，PG QG QF，43 2 23由图可知：
15、PQQGPG QF QF QF，22 2 23 7 26QF PQ.3 27点 P的横坐标为 m，点 P的纵坐标为 m2 m4，即 PM( m2 m4)13 13 13 13又由图可知：PQPMQM( m2 m4)(4m)13 13 m2 m44m13 13 m2 m，13 43QF PQ3 27 ( m2 m)3 27 13 43 m2 m27 4 27 (m24m)27 (m24m44) (m2) 2 .27 27 4 27 0，27当 m2 时，QF 有最大值8解：(1)在 RtABC 中，由点 B的坐标可知 OB1.OC2OB，OC2，则 BC3.又tanABC2，AC2BC6，则点
16、A的坐标为(2，6)把点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式 yx 2bxc 中，得 1 b c 0， 4 2b c 6， )13解得 b 3，c 4.)故该抛物线的解析式为 yx 23x4；(2)由点 A(2，6)和点 B(1，0)的坐标求得直线 AB的解析式为 y2x2.如解图 1，设点 P的坐标为(m，m 23m4)，则点 E的坐标为(m，2m2)，点 D的坐标为(m，0)，则 PEm 2m2，DE2m2，由 PE DE，得m 2m2 (2m2)，12 12解得 m1.又2m1，m1，点 P的坐标为(1，6)；如解图 2，以 AB为直角边，分别以 A，B 为直角顶点作直角三角形 ABM交
17、PD于点 M1，M 2，设点 M的坐标为(1，n)当点 M位于直线 AB上方时，由 BM2AM 2AB 2，得(11) 2n 2(21) 2(6n) 2(21) 2(60) 2，解得 n .132故此时，点 M的坐标为(1， )132当点 M位于直线 AB下方时，由 AM2BM 2AB 2，得(21) 2(6n) 2(11) 2n 2(21)2(60) 2，解得 n1.故此时，点 M的坐标为(1，1)如解图 3，以 AB为直径作圆交直线 PD于点 M3，M 4，此时ABM 为直角三角形由 AB2AM 2BM 2，得(21) 2(60) 2(21) 2(6n) 2(11) 2n 2，解得 n3 .11故此时，点 M的坐标为(1， 3)或(1， 3)11 11综上所述，符合条件的点 M的坐标为(1， )或(1，1)或(1， 3)或(1， 3)132 11 1114
