1、第四章 流体动力学基础,主要内容： 系统和控制体（雷诺输运定理） 连续方程（积分方程、微分方程） 动量方程（流体和固体壁面相互作用力） 动量矩方程（转动机械中流体动能和机械的能相互转换） 伯努利方程、能量方程（流体的能量守恒） 流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程）,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理 4.2 连续方程 4.3 动量方程 4.4 动量矩方程 4.5 伯努利方程、能量方程 4.6 微分形式的连续方程 4.7 纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理,系统就好比我们在工程热力学中讲到的闭口系统，它的特征是控制质量，也就是
2、在流场中取一定质量的流体为系统。随着流体的流动，系统的位置会改变，系统边界的形状也会改变，是拉格朗日法。 控制体就好比我们在工程热力学中讲到的开口系统，它的特征是控制体积，也就是在流场中圈定一定的体积作为控制体，随着流体的流动，控制体将有新的流体流入，同时也有原有的流体流出，就好像开口系统一样，和边界有质量交换，但控制体的体积和边界形状也保持一定，是欧拉方法。,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理,设N为在t时刻系统所含物理量的总和，f为单位体积流体所含的物理量。,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理,上式右边第一项即,上式右边第二项等于在dt时间内经由控制面CS1流入 控制体的流体所具有的物理量
3、，考虑到在控制面CS1 上速度矢量V1和法线方向n1之间的夹角为钝角，故,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理,同理，上式右边第三项等于在dt时间内经由控制面CS2流出控制体的流体所具有的物理量，考虑到在控制面CS2上速度矢量V2和法线方向n2之间的夹角为锐角，故由CSI+CSIII=CS，可得雷诺输运定理,4.1 系统和控制体、雷诺输运定理,全导数=当地导数+迁移导数 和欧拉方法推导的加速度公式一致，对于定常流动，当地导数=0。 由雷诺输运公式，可以得到连续方程、动量方程、动量矩方程。,4.2 连续方程,根据质量守恒定律取N=M，则单位体积的质量f=r,于是根据雷诺输运定理有（1）对于均质不可
4、压缩流体，r为常数，有 则有连续方程无论定常或非定常流动均满足上式； （2）对于定常流动，r仅为空间坐标x,y,z的函数，也有 ，则连续方程也可表示为 。,4.2 连续方程,上式表示单位时间内进、出控制体的净流量为零，即流进量等于流出量。 对于一维定常流动有,4.3 动量方程,在惯性坐标系中，系统流体所具有的总动量 根据动量定理有注意：1、在雷诺输运定理的推导过程中，假定初始时刻控制体和系统边界重合，因此作用在系统上的外力即作用在控制体上的外力；2、参考坐标系固连在控制体上。 令N=k，根据雷诺输运定理，可以得到矢量形式的动量方程：物理意义：作用在控制体上的外力之和等于该控制体内的流体总动量的
5、时间变化率与通过控制面的净动量流率之和。 对于二维流动，在直角坐标系中，x、y方向的动量方程分量式为：,4.3 动量方程,注意：对于进入控制面情况， 总是小于零；而对于离开控制面情况， 总是大于零。故通过控制面的净动量流率可以理解为离开控制面的动量流率减去进入控制面的动量流率。,4.3 动量方程,以管内一维流动为例，设速度沿截面旋转抛物面分布， 平均速度va=0.5vmax。一般情况下， ，只有当速度沿截面均匀分布时， 。,4.3 动量方程,动量方程式的应用： （1）流体对弯曲管道的作用力R取如图所示的控制体，假设管道在水平面内，重力作用不予考虑。设速度均匀分布，b1 = b2 =1。,4.3
6、 动量方程,特例：对于等直径管道,4.3 动量方程,（2）自由射流的冲击力：,忽略重力影响，大气压对控制体边界的净作用力为零，故只考虑表压的作用。取虚线框为控制体。 x方向：没有外力，忽略壁面摩擦力，则动量保持恒定。即：,4.3 动量方程,在解题时需要注意的要点： 1.在运动变化初期，控制体和系统边界相重合，故以控制体内的流体为研究对象； 2.控制体的划分，以方便计算为原则； 3.在应用动量方程时，只涉及控制面上的流动参数，而不必考虑控制体内的流动情况； 4.注意坐标轴的建立和运动参数的方向、正负号；,4.3 动量方程,例：平板向着射流以等速v运动，导出使运动所需功率的表达式。,解：将坐标系固
7、连于平板,4.4 动量矩方程,单位质量流体具有的动量矩为： 系统流体具有的动量矩为： 根据输运公式有:,根据动量矩定理有：,作用在系统上的外力矩也可认为作用在控制体上的外力矩。,动量矩方程：,4.4 动量矩方程,理想叶轮的假设： （1）流体流过叶轮的流量qv和转速w恒定； （2）流体在叶轮入、出口的速度沿周围方向均匀分布，流体为定常运动； （3）假设叶轮具有无限多的叶片，而且叶片很薄，流体在流道中作相对运动时，流线和叶片形状一致，进入流道时，流体和叶片无冲击,不考虑流体粘性，能量无损耗； 对虚线所划的控制体，作用的外力矩有： （1）转轴力矩Tz；,（2）质量力力矩：由于对称性，重力对转轴的力矩
8、为零； （3）不考虑粘性，表面力均沿径向，力矩也为零；,4.4 动量矩方程,4.4 动量矩方程,例：已知离心式通风机叶轮的转速为1500r/min，内径d1=480mm，入口角b1 =60,入口宽度b1=105mm；外径d2=600mm，出口角b2 =120,出口宽度b2=84mm；流量qv=12000m3/h，空气密度r=1.20kg/m3。试求叶轮入口及出口处的牵连速度、相对速度和绝对速度，并求叶轮所能产生的理论压强。,4.4 动量矩方程,4.5伯努利方程、能量方程,伯努利方程描述的是理想流体沿流线、一元流动中的机械能守恒规律。,以沿流线方向的一微元体作为研究 对象，可采用动量方程（教材）
9、，现 采用牛顿第二定律予以证明。,4.5伯努利方程、能量方程,4.5伯努利方程、能量方程,式（3）称为理想流体一元非定常流动的运动微分方程式， 也称欧拉方程。,4.5伯努利方程、能量方程,上式表示：对于理想、不可压缩流体、在重力场中、作定常流动时、沿流线单位质量流体的位势能、压力势能和动能之和是常数。,4.5伯努利方程、能量方程,考虑到流体在流动中有热效应（有内能变化），系统 内外有热传输的沿流线的能量方程，可以通过雷诺输运 公式推导得到。,4.5伯努利方程、能量方程,根据能量守恒定理，有,4.5伯努利方程、能量方程,4.5伯努利方程、能量方程,4.6微分形式的连续方程,微分形式的连续方程以微
10、元体为研究对象，以质量守恒定律为基础，揭示流体空间变形规律。推导原则： 控制体内流体质量增长率+通过控制界面流出、流进控制体的质量净流量=0,4.6微分形式的连续方程,x方向上进、出微元控制体的质量流量差： 同理，y,z方向上进、出微元控制体的质量流量差分别为：根据雷诺输运定理有两边同除以dxdydz,得对于不可压缩流体，r=c,有三维： 二维：,4.6微分形式的连续方程,物理意义：不可压缩流体的流动中，流体的形状虽有改变，但体积却保持不变。 上式还可写成： 其中 称为线变形速度。还有圆柱坐标系、球坐标系下的连续方程。,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,纳维-斯托克斯方程(N-S Equation)又称为不可压缩粘性流体的运动微分方程。分析如图微元体的受力情况：,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,4.7纳维-斯托克斯方程,
