1、二重积分的应用电自 092 班张凯强0902100202摘要：重积分是微积分学中的主要概念之一，许多物理、几何中的量都要用它来描述和计算。本文首先介绍定积分应用中的元素法，从而利用重积分的元素法来讨论重积分在几何物理上的一些应用。 关键词：二重积分的应用 元素法 前言：一、 元素法二、 二重积分在几何问题中的应用三、 二重积分在物理问题中的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量 U 对与闭区域 D 具有可加性（即当闭区域 D 分成许多小区域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部分量之和） ，相应地部分量可近似地表示为f（x，y）d 的形式，其中（ x，y）在
2、 d 内。这个 f（ x，y）d 称为所求量 U 的元素，记为 dU,所求量的积分表达式为 U=f（x，y）d。几何应用：曲面和面积 设曲面 S由方程 zf(,)给出, xy为曲面 S在 oy面上的投影区域,函数fxy(,)在 D上具有连续偏导数 f和 f(),现计算曲面的面积 A。在闭区域 xyD上任取一直径很小的闭区域 d(它的面积也记作 d),在 内取一点 ),(P,对应着曲面 S上一点 ),(yxfM,曲面 S在点 M处的切平面设为 T。以小区域 d的边界为准线作母线平行于 z轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 T上截下一小片平面,由于 d的直径很小 ,那一小片平面面
3、积近似地等于那一小片曲面面积。曲面 S在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为nfxyf,(,)1它与 z轴正向所成夹角 的方向余弦为cos(,)(,)122fxyf而 dAs所以 fxyfd122(,)(,)这就是曲面 S的面积元素, 故 yxffAxyDx),(),(22故 AzxydxDxy12【例 1】求球面 za22含在柱面 a2( 0) 内部的面积。解:所求曲面在 xoy面的投影区域 xyx(,)|曲面方程应取为 zaxy2, 则x, zyax2122zxyxy曲面在 o面上的投影区域 xyD为据曲面的对称性,有 dxyaAxyD22rcos0222cos02draa2)sin(
4、20)si(4da2若曲面的方程为 xgyz(,)或 hzx(,),可分别将曲面投影到 yoz面或zox面 ,设所得到的投影区域分别为 D或 ,类似地有AyzdyDyz12或 xzx2物理应用一、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为 xMmxyini1, yMmyxini12、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,在点 ()xy处的面密度为 (,)xy,假定 ()xy在 D上连续,如何确定该薄片的重心坐标 ,。这就是力矩元素,于是 MyxdMxydxyDD(,),(,)又平面薄片的总质量 m(,)从而,薄片的重心坐标为 xMmxydMmyxdyDxD
5、 (,),(,)特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 xAdydAdDDD11,( )为 闭 区 域 的 面 积十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例 2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 racos,rbs(0ab)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解: 由 D的对称性可知: y0Adrdbaab224cos()而 cos22baDy drxdM 2432coss3 cos)(11 dabrba2!4)1(32cos)(3232043 abdab83故 )(22abAMxy二、
6、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有 n个质点, 它们分别位于点 (,),()xyxyn12 处, 质量分别为 m12 。设质点系对于 x轴以及对于 y轴的转动惯量依次为IyIxminiini121,2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,在点 ),(yx处的面密度为 ),(yx, 假定)(yx在 D上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 xI, y。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例 3】求由抛物线 yx2及直线 y1所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线y1的转动惯量。解: 转动惯量元素为 dIyd()1
7、2Ddxy12()3381112312()()dxxd64560三、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,在点 ),(yx 处的面密度为 ),(yx,假定 )(yx在 D上连续,现计算该薄片对位于 z轴上点 10M处的单位质量质点的引力。于是,薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力 Fxyz,的力元素为3),(rxdykdx3),(Fy3)10(,rdxkdz 故 DzyDxrdyxkFrxyk33),(),(总结：本文主要讨论了二重积分在几何、物理上的一些应用，对重积分的应用可利用公式直接求解，也可采用元素法，利用物理公式寻找所求量的微元，推导应用的公式，选择恰当的坐标系，然后在相应的积分区域上计算重积分。参考文献：【1】 高等数学. 下册 / 同济大学数学系边 . 6 版.北京：高等教育出版社，2007.6【2】 同济大学 彭辉 张天德. 高等数学辅导（同济第六版）【3】 2010 全国硕士研究生入学统一考试.高等数学.辅导教材（主编：黄庆怀）
