1、1第 2 课时 余弦与正切关键问答在直角三角形中，一个锐角的余弦是哪两条边的比？在直角三角形中，一个锐角的正切是哪两条边的比？ 1 如图 28114，在 ABC 中， B90， AB1， BC2，则 cosA 的值为( )图 28114A. B. C. D.55 33 2 55 122 如图 28115，在 ABC 中， C90， AB5， AC3，则 tanB 的值为( )图 28115A. B. C. D.43 34 35 45命题点 1 求余弦函数值 热度：97%3如图 28116，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，3)，那么 cos 的值是( )2图 28116A. B. C.
2、 D.34 43 35 454. 如图 28117，已知 ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则 cosA 的值为( )图 28117A. B. C. D.33 55 2 33 2 55方法点拨在网格图中求锐角的余弦值，类似于在网格图中求锐角的正弦值.5 如图 28118，点 E， B， C 在 A 上，已知 A 的直径为 1， BE 是 A 的一条弦，则 cos OBE 的值为( )图 28118A OB 的长 B BE 的长 C OE 的长 D OC 的长方法点拨在圆中求某个圆周角的三角函数值时，可利用同弧所对的圆周角相等，把所求角转化到以直径为斜边的直角三角形中6. 如图 2811
3、9，直线 y x3 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，则 cos BAO34的值是( )图 28119A. B. C. D.45 35 43 54方法点拨3在平面直角坐标系中，求直线与坐标轴的夹角的余弦值，一般需要先求出直线与两坐标轴围成的直角三角形的三边长.7. 如图 28120，圆锥的母线长为 11 cm，侧面积为 55 cm2，设圆锥的母线与高的夹角为 ，则 cos 的值为_图 28120解题突破在圆锥中求角的余弦值时，通常关注由母线、圆锥的高、底面圆的半径所组成的直角三角形.命题点 2 余弦函数的简单应用 热度：95%8如图 28121，在 ABC 中， C90， AC8
4、cm， AB 的垂直平分线 MN 交 AC于点 D，连接 BD，若 cos BDC ，则 BC 的长是( )35图 28121A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm9在 Rt ABC 中， C90， AB15，cos B ，则 BC_35命题点 3 求正切函数值 热度：98%102017兰州如图 28122，一个斜坡长 130 m，坡顶离水平地面的距离为 50 m，那么这个斜坡与水平地面的夹角的正切值等于( )图 28122A. B. C. D.513 1213 512 131211如图 28123，已知 O 的半径为 5 cm，弦 AB 的长为 8 cm， P 是 AB 延长线上一
5、点， BP2 cm，则 tan OPA 的值为( )图 28123A. B. C2 D.32 23 1212. 如图 28124，直角三角形纸片的两直角边 AC 与 BC 之比为 34.(1)将 ABC 按图所示的方式折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 M 处，折痕为 BD；4(2)再将 ABD 按图所示的方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF.则 tan DEA 的值为( )图 28124A. B. C. D.34 43 1925 45解题突破折叠可以在保持角的度数不变的条件下，将角的位置进行转移 DEA 的正切值与 CBA 的正切值相等吗？13如图 28125，点 P(12，
6、a)在反比例函数 y 的图象上， PH x 轴于点 H，则60xtan POH 的值为_图 2812514 已知正方形 ABCD 的边长为 2， P 是直线 CD 上一点，若 DP1，则 tan BPC 的值是_易错警示不要把点 P 在直线 CD 上理解为点 P 在线段 CD 上，否则会导致漏解.15 如图 28126 是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图” ，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD 的面积是小正方形 EFGH 面积的13 倍，那么 tan ADE 的值为_图 28126解题突破若设小正方形 EFGH 的边长是 a，则大正方形 ABCD 的面积如何
7、表示？图中直角三角形的边长也能用 a 表示吗？16. 阅读理解题：利用 45角的正切，求 tan22.5的值，方法如下：解：构造 Rt ABC，其中 C90， ABC45，如图 28127.延长 CB 到点 D，使 BD AB，连接 AD，则 D ABC22.5.设 AC a，则 BC a， AB BD a.又12 25 CD BC BD(1 )a，tan22.5tan D 1.2ACCD a（ 1 2） a 2请你仿照此法求 tan15的值图 28127模型建立若已知一个锐角的正切值，利用阅读理解的方法，可以求这个角的一半的正切值.命题点 4 正切函数的简单应用 热度：95%17如图 281
8、28，在边长为 12 的正方形 ACBE 中， D 是边 AC 上一点，若tan DBA ，则 AD 的长为( )15图 28128A4 B2 C2 D23 218.如图 28129，在 Rt BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 CD BD，连接 AC，若12tanB ，则 tan CAD 的值为( )53图 28129A. B. C. D.33 35 13 15解题突破思维一：构造以 CAD 为一锐角的直角三角形求解；思维二：将 CAD 转移到某个直角三角形中，通过求与其相等的角的正切值得解.19如图 28130，在 Rt ABC 中， C90，边 AB 的垂直平分线分别交边BC， A
9、B 于点 D， E.如果 BC8，tan A ，那么 BD_436图 28130命题点 5 锐角三角函数的综合应用 热度：95%20在 Rt ABC 中， C90，sin Asin B34，则 tanA 的值是( )A. B. C. D.34 43 35 4521 如图 28131，在 Rt ABO 中，斜边 AB1.若 OC BA， AOC36，则( )图 28131A点 B 到 AO 的距离为 sin54B点 B 到 AO 的距离为 tan36C点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54解题突破点 B 到 AO 的距离是线段 BO 的
10、长，过点 A 作 AD OC 于点 D，则 AD 的长就是点 A 到OC 的距离22在 ABC 中， C90，sin B ，则 cosB_51323如图 28132，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BC 边上的中线， C45，sin B ， AD1.13(1)求 BC 的长；(2)求 tan DAE 的值图 2813224.已知：如图 28133， CA OA， E， F 是 AC 上的两点， AOF AOE.(1)求证：tan AOFtan AOE；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而_7图 28133模型建立锐角的正切函数值随角度的增大而增大.25 在如图 2813
11、4 所示的直角三角形中，我们知道sin ，cos ，tan ，sin 2 cos 2 1.即一个角的正ac bc ab a2c2 b2c2 a2 b2c2弦和余弦的平方和为 1.(1)请你根据上面的探索过程，探究 sin ，cos 与 tan 之间的关系；(2)请你利用上面探究的结论解答下列问题：已知 为锐角，且 tan ，求12的值sin 2cos2sin cos图 28134模型建立由本题可得到同角正弦、余弦的数量关系，以及同角正弦、余弦与正切之间的关系(1)sin2Acos 2A1；(2)tan A .sinAcosA8详解详析1A 2.B3D 解析 由勾股定理得 OA 5，32 42所
12、以 cos .故选 D.454D 解析 连接 BD，如图由勾股定理得AB ，12 32 10AD 2 ， BD ，22 22 2 12 12 2 AB2 AD2 BD2， ADB90，cos A .ADAB 2 210 2 55故选 D.5D 解析 连接 CE，则其必过 A 点，由同弧所对的圆周角相等可得 ECO OBE，所以 cos OBEcos ECO OC.OCCE6A 解析 当 x0 时， y3，当 y0 时， x4，直线 y x3 与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为 A(4，0)， B(0，3)，34 OA4， OB3.由勾股定理，得 AB5，则 cos BAO .OAAB 457
13、. 解析 设圆锥的底面圆的半径为 r，依题意得 2 r 1155，解得4 611 12r5，则圆锥的高为 4 ，所以 cos .112 52 64 6118A 解析 因为 cos BDC ，所以 CD BD.又因为 MN 垂直平分 AB，所以35 CDBD 35BD AD，所以 BD BD AC8 cm，所以 BD5 cm， CD3 cm，所以 BC4 cm.3599 解析 由题意得 cosB .又因为 AB15，所以 BC9.35 BCAB10C 解析 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长为 120 m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面的夹角的正切值 .故选 C.50120 5
14、1211D 解析 过点 O 作 OC AB 于点 C.因为 AB8 cm，所以 AC BC4 cm.因为OA5 cm，所以 OC3 cm.又因为 BC BP CP6 cm，所以 tan OPA .OCCP 12912A 解析 由折叠可得 EBD EDB， BDC BDM.因为 BDM EBD90，所以 BDC EDB90，即 EDC90，所以 DE BC，所以 DEA ABC，所以tan DEAtan ABC .ACBC 3413. 解析 点 P(12， a)在反比例函数 y 的图象上， a 5. PH x 轴512 60x 6012于点 H， PH5， OH12，tan POH .51214
15、2 或 解析 此题有两种情况：当点 P 在边 CD 上时，23 BC2， DP1， C90， CP1，tan BPC 2；BCCP当点 P 在边 CD 的延长线上时， DP1， DC2， CP3.又 BC2， C90，tan BPC .tan BPC 的值是 2 或 .BCCP 23 2315. 解析 设小正方形 EFGH 的边长是 a，则小正方形 EFGH 的面积是 a2，大正方形23ABCD 的面积是 13a2.图中的四个直角三角形是全等的， AE DH，设 AE DH x，在 Rt AED 中， AD2 AE2 DE2，即 13a2 x2( x a)2，解得 x12 a， x23 a(舍
16、去)， AE2 a， DE3 a，tan ADE .AEDE 2a3a 2316解：构造 Rt ABC，其中 C90， ABC30，如图，延长 CB 到点 D，使BD AB，连接 AD，则 D ABC15，设 AC a，则由构造的三角形得： AB2 a， BC12a， BD2 a，则 CD2 a a(2 )a，tan15 tanD 2 .3 3 3ACCD a（ 2 3） a 317A 解析 过点 D 作 DF AB 于点 F，由 CAB45，得 DF AF.又tan DBA ，所以 6AF AB12 ，所以 AF2 ，所以 AD AF4.15 DFBF 2 2 218D 解析 如图，过点 C
17、 作 CE AD，交 AD 的延长线于点 E.10tan B ，即 ，53 ADAB 53设 AD5 x(x0)，则 AB3 x. CDE BDA， CED BAD， CDE BDA， ，CEAB DEAD DCBD 12 CE x， DE x， AE x，32 52 152tan CAD .CEAE 1519. 解析 在 Rt ABC 中， C90，254BC8，tan A ， AC 6， AB 10，cos B .边 AB 的垂43 BCtanA 843 AC2 BC2 BCAB 45直平分线交边 AB 于点 E， BE AB5.在 Rt BDE 中， BED90，12cos B ， BD
18、 .BEBD 45 5BE4 25420A21C 解析 AB OC， BAO AOC36.在 Rt BOA 中， BOA90， AB1，sin36 ，BOAB BO ABsin36sin36，故选项 A，B 均错误；如图，作 AD OC，垂足为 D. BAO36， AOB90， ABO54.在 Rt AOD 中，sin AODsin36 ，ADAO AD AOsin36.在 Rt ABO 中，sin ABOsin54 ，AOAB AO ABsin54， AD ABsin54sin36sin54sin36，故选项 C 正确，选项 D 错误故选 C.22.121323解：(1)在 ABC 中， A
19、D 是 BC 边上的高， ADB ADC90.在 ADC 中， ADC90， C45， AD1，11 DC AD1.在 ADB 中， ADB90，sin B ， AD1，13 AB 3，ADsinB BD 2 ，AB2 AD2 2 BC BD DC2 1.2(2) AE 是 BC 边上的中线， CE BC ，12 2 12 DE CE CD ，212tan DAE .DEAD 2 1224解：(1)证明： CA OA， FOA 和 EOA 均为直角三角形，tan AOF ，tan AOE .AFOA AEOA AF AE，tan AOFtan AOE.(2)由(1)可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大故填“增大” 25解：(1)sin ，cos ，tan ，ac bc ab tan ，即 tan .sincosacbc ab sincos(2)tan ， ，2sin cos ，12 sincos 12 .sin 2cos2sin cos sin 4sin2sin 2sin 3sin4sin 34【关键问答】在直角三角形中，一个锐角的余弦是这个角的邻边与斜边的比在直角三角形中，一个锐角的正切是这个角的对边与邻边的比
