1、第 1 页（共 19 页）八年级上数学第十二章-十三章图形拔高题（含答案）一选择题1 （2012 秋丹江口市期末）如图，BAC 与 CBE 的平分线相交于点 P，BE=BC ，PB 与 CE 交于点H，PG AD 交 BC 于 F，交 AB 于 G，下列结论： GA=GP；S PAC：S PAB=AC：AB；BP 垂直平分 CE；FP=FC；其中正确的判断有（ ）A只有 B只有 C只有 D二填空题2如图，钝角三角形 ABC 的面积为 15，最长边 AB=10，BD 平分ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值为 3如图，在等边ABC 中，AC=3，点 O 在
2、AC 上，且 AO=1点 P 是 AB 上一点，连接 OP，以线段 OP为一边作正OPD，且 O、P、D 三点依次呈逆时针方向，当点 D 恰好落在边 BC 上时，则 AP 的长是 三解答题4在ABC 中，AB=AC ，BAC=120，ADBC，且 AD=AB（1）如图 1，DEAB，DF AC，垂足分别为点 E，F，求证： AE+AF=AD（2）如图 2，如果EDF=60，且EDF 两边分别交边 AB，AC 于点 E，F，那么线段 AE，AF，AD 之间有怎样的数量关系？并给出证明第 2 页（共 19 页）5已知：在ABC 中，AB=AC ，BAC=90，点 D 是 BC 的中点，点 P 是
3、BC 边上的一个动点，连接AP直线 BE 垂直于直线 AP，交 AP 于点 E，直线 CF 垂直于直线 AP，交 AP 于点 F（1） 当点 P 在 BD 上时（如图） ，求证：CF=BE+EF；（2）当点 P 在 DC 上时（如图） ，CF=BE+EF 还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE 、EF 之间的关系（不需要证明） （3）若直线 BE 的延长线交直线 AD 于点 M（如图 ） ，找出图中与 CP 相等的线段，并加以证明6已知ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边所在直线上的一个动点，以 AD 为边，作等边ADE（点 E始终在直线 AD 的右方） ，连接 CE（1）
4、当点 D 在 BC 边上，求证：BC=DC+CE；（2）当点 D 在 BC 的延长线上时，BC=DC+CE 是否成立，请说明理由；（3）当点 D 在 CB 的延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，请你画出符合条件的图形，并直接写出成立的结论第 3 页（共 19 页）7已知：在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点（1）求证：ACDBCD ；（2）求A；（3）直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图 1） ，求证：AE=CG；（4）直线 AH 垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD 的延长线于点 M（如图 2） ，找
5、出图中与 BE 相等的线段，并证明8如图，在ABC 中， BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P，过点 P 分别作 PNAB 于N，PMAC 于点 M，求证：BN=CM9如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，在底边 BC 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE，在 ABD 的内部作 ABF=2EDC，交 AD 于点 F（1）求证：ABF 是等腰三角形；（2）如图 2，BF 的延长交 AC 于点 G若 DAC=CBG，延长 AC 至点 M，使 GM=AB，连接 BM，点N 是 BG 的中点，连接 AN，试判断线段 AN、BM 之间的数量
6、关系，并证明你的结论第 4 页（共 19 页）10如图，在ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动（1）当点 Q 的运动速度为多少厘米 /秒时，能够使BPD CQP？（2）若点 Q 以（1）中的运动速度从点 C 出发，点 P 仍以 3 厘米/秒的运动速度从点 B 同时出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？11数学活动课上，老师提出了一个问题：已知ABC 是等边三角形，E
7、是 AC 边上一动点（点 E 不与点A，C 重合） ，F 在 BC 边的延长线上，连接 BE、EF ，使 CF=AE，如图 1，若 E 是 AC 边的中点时，试猜想线段 BE 与 EF 的数量关系（1）独立思考：请解答老师提出的问题，写出结论并证明（2）提出问题：一小组受此问题的启发，提出问题，如图 2，若点 E 是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，则线段 BE、EF 之间有什么数量关系？请解决该小组提出的问题，并给出证明（3）问题拓展：老师要求其他小组向一小组同学学习，仿照前两种情况提出问题，二小组提出问题：如图 3，若 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其他条件不变，则线段 BE
8、、EF 之间有什么数量关系？任务：请回答二小组所提出的问题，不必证明12 （2015江西三模）已知 ABC，分别以 AB、AC 为边作 ABD 和 ACE，且AD=AB，AC=AE， DAB=CAE，连接 DC 与 BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点（1）如图 1，若DAB=60，则AFG= ；如图 2，若 DAB=90，则 AFG= ；第 5 页（共 19 页）（2）如图 3，若DAB=，试探究 AFG 与 的数量关系，并给予证明；（3）如果ACB 为锐角，AB AC， BAC90，点 M 在线段 BC 上运动，连接 AM，以 AM 为一边以点A 为直角顶点，且在 AM 的右侧作等
9、腰直角AMN，连接 NC；试探究：若 NCBC（点 C、M 重合除外） ，则ACB 等于多少度？画出相应图形，并说明理由。 （画图不写作法）13如图，在ABC 中，DE，FG 分别是 AB，AC 的垂直平分线，连接 AE，AF，已知BAC=80，确定EAF 的度数。第 6 页（共 19 页）参考答案与试题解析一选择题1如图，BAC 与CBE 的平分线相交于点 P，BE=BC ， PB 与 CE 交于点 H，PGAD 交 BC 于 F，交 AB于 G，下列结论：GA=GP；S PAC：S PAB=AC：AB； BP 垂直平分 CE；FP=FC；其中正确的判断有（ ）A只有 B只有 C只有 D【考
10、点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】利用角平分线的性质对进行一一判断，从而求解【解答】解：AP 平分 BACCAP=BAPPGADAPG=CAPAPG=BAPGA=GPAP 平分BACP 到 AC，AB 的距离相等SPAC：S PAB=AC：ABBE=BC，BP 平分CBEBP 垂直平分 CE（三线合一）BAC 与CBE 的平分线相交于点 P，可得点 P 也位于BCD 的平分线上DCP=BCP又 PGADFPC=DCPFP=FC故都正确故选 D【点评】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等二填空题2如图，钝角三角形 ABC 的
11、面积为 15，最长边 AB=10，BD 平分ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值为 3 【考点】轴对称-最短路线问题 菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N，则 CE 即为 CM+MN 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 CE 的长，即为 CM+MN 的最小值【解答】解：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N，BD 平分ABC，MEAB 于点 E，MNBC 于 N，MN=ME，CE=CM+ME=CM+MN 的最小值第 7 页（共
12、 19 页）三角形 ABC 的面积为 15， AB=10， 10CE=15，CE=3即 CM+MN 的最小值为 3故答案为 3【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目3如图，在等边ABC 中，AC=3，点 O 在 AC 上，且 AO=1点 P 是 AB 上一点，连接 OP，以线段 OP为一边作正OPD，且 O、P、D 三点依次呈逆时针方向，当点 D 恰好落在边 BC 上时，则 AP 的长是 2 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系AO=1，则
13、OC=2证明AOP COD 求解【解答】解：C= A=DOP=60，OD=OP，CDO+COD=120， COD+AOP=120，CDO=AOPODCPOAAP=OCAP=OC=ACAO=2故答案为：2【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上三解答题4在ABC 中，AB=AC ，BAC=120，ADBC，且 AD=AB（1）如图 1，DEAB，DF AC，垂足分别为点 E，F，求证： AE+AF=AD（2）如图 2，如果EDF=60，且EDF 两边分别交边 AB，AC 于点 E，F，那么线段 AE，AF，AD 之间有怎样的数量关系？并给出证明【考点】全等三角形的判定与性质
14、；等腰三角形的性质菁优网版权所有第 8 页（共 19 页）【分析】 （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出BAD= DAC= 120=60，再证出ADE= ADF=9060=30，由含 30 角的直角三角形的性质得出 AE= AD，AF= AD，即可得出结论；（2）连接 BD，证明ABD 是等边三角形，得出 BD=AD，ABD= ADB=60，证出 ABD=DAC，得出EDB=ADF，由 ASA 证明BDEADF ，得出 BE=AF，即可得出结论【解答】 （1）证明：AB=AC，AD BC，BAD=DAC= BAC，BAC=120，BAD=DAC= 120=60，DEAB，DFAC，ADE=A
15、DF=9060=30，AE= AD，AF= AD，AE+AF= AD+ AD=AD；（2）解：线段 AE，AF，AD 之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：连接 BD，如图所示：BAD=60， AB=AD，ABD 是等边三角形，BD=AD，ABD=ADB=60，DAC=60，ABD=DAC，EDB+EDA=EDA+ADF=60，EDB=ADF，在BDE 与ADF 中， ，BDEADF（ASA） ，BE=AF，AE+BE=AD，AE+AF=AD【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含 30 角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能
16、进行推理论证是解决问题的关键5已知：在ABC 中，AB=AC ，BAC=90，点 D 是 BC 的中点，点 P 是 BC 边上的一个动点，连接AP直线 BE 垂直于直线 AP，交 AP 于点 E，直线 CF 垂直于直线 AP，交 AP 于点 F第 9 页（共 19 页）（1）当点 P 在 BD 上时（如图） ，求证：CF=BE+EF；（2）当点 P 在 DC 上时（如图） ，CF=BE+EF 还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE 、EF 之间的关系（不需要证明） （3）若直线 BE 的延长线交直线 AD 于点 M（如图 ） ，找出图中与 CP 相等的线段，并加以证明【考点】全等
17、三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】证明题【分析】 （1）如图，先利用等角的余角相等得到ACF=BAE，则可根据“ AAS”判定ACFBAE，得到 AF=BE，CF=AE，由于 AE=AF+EF，所以 CF=BE+EF；（2）如图，与（1）一样可证明 ACFBAE 得到 AF=BE，CF=AE 而 AE=AFEF，易得 CF=BEEF；（3）先判断ABC 为等腰直角三角形，由于点 D 是 BC 的中点，则 ADBC，再利用等角的余角相等得到1=3，则可根据“ASA” 判判断 AEMCFP，于是得到 AM=CP【解答】 （1）证明：如图，AFAP，BEAP，AFC=90，AE
18、B=90，CAF+ACF=90，而CAF+BAE=90，ACF=BAE，在ACF 和 BAE 中，ACFBAE（AAS） ，AF=BE，CF=AE，而 AE=AF+EF，CF=BE+EF；（2）解：CF=BE+EF 不成立如图，与（1）一样可证明ACFBAE，AF=BE，CF=AE，而 AE=AFEF，CF=BEEF；（3）CP=AM理由如下：AB=AC，BAC=90，ABC 为等腰直角三角形，第 10 页（共 19 页）点 D 是 BC 的中点，ADBC，ADC=90，1+2=90，3+2=90，1=3，在AEM 和CFP 中，AEMCFP（ASA ） ，AM=CP【点评】本题考查了全等三角
19、形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件也考查了等腰直角三角形的判定与性质6已知ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边所在直线上的一个动点，以 AD 为边，作等边ADE（点 E始终在直线 AD 的右方） ，连接 CE（1）当点 D 在 BC 边上，求证：BC=DC+CE；（2）当点 D 在 BC 的延长线上时，BC=DC+CE 是否成立，请说明理由；（3）当点 D 在 CB 的延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，请你画出符合条件的图形，并直接写出成立的结论【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
20、菁优网版权所有【分析】 （1）根据等边三角形的性质就可以得出BAC=DAE=60 ，AB=BC=AC，AD=DE=AE ，进而就可以得出ABDACE，由ABDACE 就可以得出 BC=DC+CE；（2）不成立，由等边三角形的性质就可以得出BAC=DAE=60 ，AB=BC=AC，AD=DE=AE ，进而就可以得出ABDACE，就可以得出 BC+CD=CE；（3）不成立，由等边三角形的性质就可以得出BAC=DAE=60 ，AB=BC=AC，AD=DE=AE ，进而就可以得出ABDACE，就可以得出 CE+BC=CD【解答】解：（1）ABC 和 ADE 是等边三角形，BAC=DAE=60，AB=B
21、C=AC，AD=DE=AEBACDAC=DAEDAC，BAD=EAC在ABD 和 ACE 中，ABDACE（SAS） BD=CEBC=BD+CD，BC=CE+CD第 11 页（共 19 页）（2）不成立，BC+CD=CE 成立理由如下：ABC 和ADE 是等边三角形，BAC=DAE=60，AB=BC=AC，AD=DE=AEBAC+DAC=DAE+DAC，BAD=EAC在ABD 和 ACE 中，ABDACE（SAS） BD=CEBD=BC+CD，CE=BC+CD；（3）不成立，DC=CE+BC 成立理由如下：ABC 和ADE 是等边三角形，BAC=DAE=60，AB=BC=AC，AD=DE=AE
22、BACBAE=DAEBAE，BAD=EAC在ABD 和 ACE 中，ABDACE（SAS） BD=CEDC=BD+BC，DC=CE+BC符合条件的图形如图所示：【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键7已知：在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点（1）求证：ACDBCD ；（2）求A；（3）直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图 1） ，求证：AE=CG；（4）直线 AH 垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD 的延长线于点 M（如图 2
23、） ，找出图中与 BE 相等的线段，并证明第 12 页（共 19 页）【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】 （1）通过全等三角形的判定定理 SSS 证得ACDBCD；（2）由等腰直角三角形的性质可以求得A=45 ；（3）首先根据点 D 是 AB 中点，ACB=90，可得出ACD=BCD=45，判断出AECCGB，即可得出 AE=CG；（4）根据垂直的定义得出CMA+MCH=90 ， BEC+MCH=90，再根据 AC=BC，ACM=CBE=45 ，得出BCE CAM，进而证明出 BE=CM【解答】 （1）证明：如图，D 是 AB 的中点，AD=BD在 ACD 与BCD 中， ，
24、ACDBCD（SSS） ；（2）解：如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，A=ABC，A+ABC=90，A=ABC=45，即 A=45；（3）证明：如图 1，点 D 是 AB 中点，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45，CAE=BCG，又 BFCE，CBG+BCF=90，又ACE+BCF=90 ，ACE=CBG，在AEC 和CGB 中， ，AECCGB（ASA） ，AE=CG；（4）解：BE=CM理由如下：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+ MCH=90，第 13 页（共 19 页）CMA=BEC，又ACM= CBE=45，在B
25、CE 和CAM 中， ，BCECAM（AAS） ，BE=CM【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件8如图，在ABC 中， BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P，过点 P 分别作 PNAB 于 N，PMAC 于点 M，求证：BN=CM【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】连接 PB，PC ，根据角平分线性质求出 PM=PN，根据线段垂直平分线求出 PB=PC，根据 HL 证 Rt
26、PMCRtPNB，即可得出答案【解答】证明：连接 PB，PC，AP 是BAC 的平分线，PNAB，PMAC，PM=PN，PMC= PNB=90，P 在 BC 的垂直平分线上，PC=PB，在 RtPMC 和 RtPNB 中，RtPMCRtPNB（HL） ，BN=CM【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力9如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，在底边 BC 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE，在 ABD 的内部作 ABF=2EDC，交 AD 于点 F（1）求证：ABF 是等腰
27、三角形；（2）如图 2，BF 的延长交 AC 于点 G若 DAC=CBG，延长 AC 至点 M，使 GM=AB，连接 BM，点N 是 BG 的中点，连接 AN，试判断线段 AN、BM 之间的数量关系，并证明你的结论第 14 页（共 19 页）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】 （1）先利用等腰三角形 ABC，得出 ABD=ACD，再利用三角形外角定理得出BAD+ABD=ADE+ EDC， EDC+ACD=AED，再结合ABF=2EDC，即可求出结论（2）延长 CA 至点 H，使 AG=AH，连接 BH，由三角形中位线定理得出 AG= BH，再得出ABC
28、 是等边三角形，易证BAHBCM，可得出 BH=BM，即可得出结论 AG= BM【解答】解：（1）等腰三角形 ABC 中，AB=AC，ABD=ACD，BAD+ABD=ADE+EDC， EDC+ACD=AED，AE=AD，ADE=AED，BAD=2EDC，ABF=2EDC，BAD=ABF，ABF 是等腰三角形；（2）如图 2 延长 CA 至点 H，使 AG=AH，连接 BH，点 N 是 BG 的中点，AN= BH，BAD=ABF（1）中已证明，DAC=CBG，CAB=CBA，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC，BAC=BCA=60，GM=AB，AB=AC，CM=AG，AH=CM，在BAH 和
29、 BCM 中，第 15 页（共 19 页）BAHBCM（SAS） ，BH=BM，AN= BM【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，得出第（2）题中ABC 是等边三角形10如图，在ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动（1）当点 Q 的运动速度为多少厘米 /秒时，能够使BPD CQP？（2）若点 Q 以（1）中的运动速度从点 C 出发，点 P 仍以 3 厘米/秒的运动速度从点
30、B 同时出发，都按逆时针方向沿 ABC 三边运动，经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】动点型【分析】 （1）BPDCQP 需满足 BP=CP，BD=CQ，设点 Q 的速度为 v，经过 t 秒分别利用BP=CP，BD=CQ 建立方程组可得出结果；（3）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，两点相遇时，路程差为 10+10，即可求出时间 x 的值，确定P 的运动路程，根据一周的长度算出答案即可【解答】解：（1）设点 Q 的速度为 v，经过 t 秒BPD 与 CQP要使BPD CQP，必须满足 B
31、D=CQ，BP=PC，即 ，解得 答：点 Q 的运动速度为 厘米 /秒时，能够使BPDCQP（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意得x=3x+210，解得 x= ，点 P 共运动了 3=80 厘米，80（8+10+10）=2 （周）24 厘米，这时在 AB 上答：经过 秒，点 P，Q 在第一次在边 AB 上相遇【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；特别是利用分类讨论的方法讨论三角形全等的情况，培养学生综合解题的能力第 16 页（共 19 页）11数学活动课上，老师提出了一个问题：已知ABC 是等边三角形，E 是 AC 边上一动点（点 E 不与点A，C 重合） ，F 在 B
32、C 边的延长线上，连接 BE、EF ，使 CF=AE，如图 1，若 E 是 AC 边的中点时，试猜想线段 BE 与 EF 的数量关系（1）独立思考：请解答老师提出的问题，写出结论并证明（2）提出问题：一小组受此问题的启发，提出问题，如图 2，若点 E 是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，则线段 BE、EF 之间有什么数量关系？请解决该小组提出的问题，并给出证明（3）问题拓展：老师要求其他小组向一小组同学学习，仿照前两种情况提出问题，二小组提出问题：如图 3，若 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其他条件不变，则线段 BE、EF 之间有什么数量关系？任务：请回答二小组所提出的问题，不必
33、证明【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CBE= ABC=30，AE=CE，所以 CE=CF，然后根据等边对等角的性质可得F= CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出F=30，从而得到CBE=F，根据等角对等边的性质即可证明；（2）图 2，过点 E 作 EGBC，交 AB 于点 G，根据菱形的性质结合 ABC=60可得 ABC 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到 AB=AC， ACB=60，再求出AGE 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 AG=AE，从而可以求出 BG
34、=CE，再根据等角的补角相等求出BGE= ECF=120，然后利用“ 边角边”证明BGE 和ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）图 3，证明思路与方法与图 2 完全相同【解答】 （1）答：猜想 BE 与 EF 的数量关系为：BE=EF；证明：（1）ABC 是等边三角形，E 是线段 AC 的中点，CBE= ABC=30，AE=CE，AE=CF，CE=CF，F=CEF，F+CEF=ACB=60，F=30，CBE=F，BE=EF；（2）答：猜想 BE=EF证明如下：如图 2，过点 E 作 EGBC，交 AB 于点 G，ABC 是等边三角形，AB=AC，ACB=60，又 EGBC，A
35、GE=ABC=60，第 17 页（共 19 页）又BAC=60，AGE 是等边三角形，AG=AE，BG=CE，又 CF=AE，GE=CF，在BGE 与ECF 中，BGEECF（SAS） ，BE=EF； （3）BE=EF证明如下：如图 3，过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点 G，ABC 是等边三角形，AB=AC，ACB=60，又 EGBC，AGE=ABC=60，又BAC=60，AGE 是等边三角形，AG=AE，BG=CE，又 CF=AE，GE=CF，又BGE=ECF=60，在BGE 与ECF 中，BGEECF（SAS） ，BE=EF【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的
36、判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键12已知ABC，分别以 AB、AC 为边作 ABD 和ACE，且 AD=AB，AC=AE， DAB=CAE，连接DC 与 BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点（1）如图 1，若DAB=60，则AFG= 60 ；如图 2，若DAB=90 ，则AFG= 45 ；（2）如图 3，若DAB=，试探究 AFG 与 的数量关系，并给予证明；（3）如果ACB 为锐角，AB AC， BAC90，点 M 在线段 BC 上运动，连接 AM，以 AM 为一边以点A 为直角顶点，且在 AM 的右侧作等腰直角AMN，连接 NC；试探究：若 N
37、CBC（点 C、M 重合除外） ，则ACB 等于多少度？画出相应图形，并说明理由 （画图不写作法）第 18 页（共 19 页）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【分析】 （1） 、 （2）结合图 3 解决一般性问题：根据已知条件易证ABE ADC（SAS） ，得 BE=CD，从而有 BF=DG连接 AG，可证明 BAFDAG，得GAF= DAB根据等腰三角形性质及三角形内角和定理，已知DAB 的度数，可求AFG 的度数（3）依题意画图；延长 CN 于 H，使 NH=MC构造出ANH 与 AMC 全等，运用全等三角形性质，结合三角形内角和定理求解【解答】 （1）解：60
38、；45（2 分）（2） （3 分）证明：连接 AGDAB=CAE，DAC= BAE又 AD=AB，AC=AE，DACBAE（4 分）DC=BE，ADC=ABE又 G、F 为中点，DG=BF，DAGBAF（5 分）DAG=BAFGAF=DAB=， （6 分）（3）解：如图延长 CN 于 H，使 NH=MC，连接 AHNCBC，MAN=90 ，AMC+ANC=180（7 分）ANH+ANC=180，AMC=ANH（8 分）在AMC 与ANH 中，AMCANH（SAS） ，AC=AH，MAC=NAH（9 分）第 19 页（共 19 页）HAC=MAN=90ACH=45，ACB=45（10 分）【点评
39、】此题考查全等三角形的判定与性质，综合性强，难度大13如图，在ABC 中，DE，FG 分别是 AB，AC 的垂直平分线，连接 AE，AF，已知BAC=80，请运用所学知识，确定EAF 的度数【考点】线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】在ABC 中，利用三角形内角定理易求B+C，再根据线段垂直平分线的性质易求BAE=B，同理可得CAF= C，再结合三角形内角和定理进而可得BAE+ CAFBAC=EAG【解答】解：在ABC 中，BAC=80，B+C=180BAC=100，DE 是 AB 的垂直平分线，EB=EA，BAE=B，同理可得CAF= C，EAF=BAE+CAFBAC=B+CBAC=20【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是先求出B+C
