1、1山东省邹平县实验中学八年级数学上册第 12 章 轴对称总复习教案及经典例题 新人教版一、教学目的与考点分析：1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：探索基本图形 （等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；了解直角三角形
2、的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.3.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.二、教学内容：（一） 、复习 三角全等形条件（二） 、教学内容知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做
3、轴对称图形，这条 直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.22.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称 轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分
4、线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P（x，-y）.（2）点 P（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为 P（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性
5、质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.32.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.四、例 1如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求：ABC 各角的度数分析：根据等边对 等角的性质，我们可以得到A=ABD，ABC=C=BDC，
6、再由BDC=A+ABD，就可得到ABC=C=BDC=2A再由三角形内角和为 180，就可求出ABC 的三个内角把A 设为 x 的话，那么ABC 、C 都可以用 x 来表示，这样过程就更简捷解：因为 AB=AC，BD=BC=AD ， 所以ABC=C=BDCA=ABD（等边对等角） 设A=x，则 BDC=A+ABD=2x，从而ABC=C=BDC=2x 于是在ABC 中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 解得 x=36 在ABC 中，A=35，ABC=C=72例 2在等边三角形 ABC 中的 AC 延长线上取一点 E,以 CE 为边做等边三角形 CDE，使它与三角形 ABC位于直线 AE 的
7、同一侧，点 M 为线段 AD 的中点，点 N 为线段 BE 的中点。求证：三角形 CNM 为等边三角形。分析 由已知易证明 ADCBEC,得 BE=AD,EBC=DAE,而 M、N 分别为 BE、AD 的中点，于是有 BN=AM，要证明CNM 是等边三角形，只须证 MC=CN，MCN=60 o，所以要证NBCMAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得NBCMAC证明：等边ABC 和等边DCE，BC=AC，CD=CE， （等边三角形的边相等）BCA=DCE=60 o（等边三角形的每个角都是 60）BCE =DCA BCEACD （SAS）EBC=DAC（全等三角形的对应角相等）BE=AD
8、（全等三角形的对应边相等）4又BN= 21BE，AM= AD（中点定义）BN=AM NBCMAC（SAS）CM=CN（全等三角形的对应边相等） ACM=BCN（全等三角形的对应角相等）MCN=ACB=60 oMCN 为等边三角形（有一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形）专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例 1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在ABC 中，C=90，A=30，如图所示.求证：BC= 2AB.证明：如图所示.作出ABC 关于 AC 对称的ABC.AB=AB.又CAB=30，B=B=BAB=60.AB=BB=
9、AB又ACBB，BC=BC= 21BB= AB.即 BC= AB.例 2 如图所示，已知ACB=90 ，CD 是高，A=30.求证 BD= 41AB.5证明：在ABC 中，ACB=90，A=30，BC= 21AB，B=60.又CDBA，BDC=90，BCD=30.BD= 21BC.BD= 21 AB= 4AB.即 BD= AB.二、有关等腰三角形的内角度数的计算例 3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求A 的度数.（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.解：AB=AC，BC=BD=ED=EA，ABC=C=BD
10、C，ABD=BED，A=EDA.设A=，则EDA=，ABD=BED=2，ABC=C=BDC=3（根据三角形的外角性质）.在ABC 中， A=，ABC=ACB=3，由三角形内角和可得 +3+3=180，= 7180，A= 7180.A 的度数为 .例 4 如图所示，在ABC 中，D 在 BC 上，若 AD=BD，AB=AC=CD，求BAC 的度数.6解：AD=BD，AB=AC=CD，B=C=BAD，CAD=CDA.设B=C=BAD=，则CAD=CDA=2，BAC=3.在ABC 中，BAC=3，B=C=，3+=180，=36” ，3=108，即BAC=108.BAC 的度数是 108.三、作辅助线
11、解决问题例 5 如图所示，B=90，AD=AB=BC，DEAC.求证 BE=DC.证明：连接 AE.EDAC，ADE=90.又B=90，在 RtABE 和 RtADE 中，RtABERtADE（HL） ，BE=ED.AB=BC，BAC=C.又B=90，BAC+C=90.C=45.DEC=45.C=DEC=45.DE=DC，BE=DC.例 6 如图所示，在ABC 中 ，AB=AC，在 AB 上取一点 E，在 AC延长线上取一点 F，使 BE=CF，EF 交 BC 于 G.求证 EG=FG.证明：过 E 作 EMAC，交 BC 于点 M，EMB=ACB，MEG=F.7又AB=AC，B=ACB.B=EMB，EB=EM.又BE=CF，EM=FC.在MEG 和CFG 中，MEGCFG（AAS）. EG=FG.例 7 如图所示，在ABC 中，B=60，AB=4，BC=2.求证ABC 是直角三角形.（分析）欲证ABC 是直角三角形，只需证明BCA=90即可.证明：取 AB 的中点 D，连接 CD.BC=2，AB=4，BC=BD=AD=2.BCD=BDC.又B=60，BCD=BDC=60.DC=BD=DA.A=DCA.又BDC 是DCA 的一个外角，BDC=A+DCA=60. A=30，BCA=180-B-A=180-60-30=90A BC 是直角三角形.
