1、从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：,3.3.5 高阶系统的时域分析,特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。,分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。2) 忽略偶极子的影响。,设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若 ，则系统稳定。,3.4 稳定性分析,判别系统稳定性的基本方法：(1) 劳斯古尔维茨判据 (2) 根轨迹法(3) 奈奎斯特判据(4) 李雅普诺夫第二方法,线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有
2、根都具有负实部.,3.4.1 线性系统的稳定性概念,系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。,劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：,当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。,2. 劳斯判据,判别系统稳定性。,例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据,注意两种特殊情况的处理：1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原
3、特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。,解：列出劳斯表,第一列数据不同号， 系统不稳定性。,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,劳斯表特点及第一种特殊情况,劳斯表特点,4 每两行个数相等,1 右移一位降两阶,2 行列式第一列不动,3 次对角线减主对角线,5 分母总是上一行第一个元素,6 一行可同乘以或同除以
4、某正数,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,均大于零!,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,判断系统的稳定性。,例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s
5、2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据,例3.6 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表 s4 1 1 2s3 2 2 0s2 (取代0) 2s1 2-4/s0 2,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。,解：列出劳斯表 s6 1 6 10 4s5 2 8 4s4 2 8 4 辅助多项式A(s)的系数s3 0 0 0,A(s) =2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s,第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。,解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 1 6 10 4s5 2 8 4s4 2 8 4s3 8 16 dA(s)/ds的系数s2 4 4s1 8s0 4,
