1、八年级数学动点问题1 （ 2012常德）已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线 BC 运动，连接 DP，作 CNDP 于点 M，且交直线 AB 于点 N，连接OP，ON （当 P 在线段 BC 上时，如图 1：当 P 在 BC 的延长线上时，如图 2）（1 ）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论：BN=CP；OP=ON ，且 OPON；（2 ）设 AB=4，BP=x ，试确定以 O、P 、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系解答： （1 ）证明：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，OC=OB，DC=BC，DCB= CB
2、A=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DP CN，CMD=DOC=90，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD= CNB，DCAB ，DCN=CNB=CPD ，在DCP 和CBN 中，DCPCBN（AAS） ，CP=BN，在OBN 和OCP 中，OBNOCP（SAS） ，ON=OP，BON= COP，BON+ BOP=COP+BOP，即NOP= BOC=90 ，ONOP，即 ON=OP，ON OP（2 ）解：AB=4 ，四边形 ABCD 是正方形，O 到 BC 边的距离是 2，图 1 中，S 四边形 OPBN=SOBN+SBOP，2已知正方形 ABCD，点 P 是
3、对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在直线上，且随着点 P 的运动而运动， PE=PD 总成立（1 ）如图（1 ） ，当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明） ；（2 ）如图（2 ） ，当点 P 运动到 CA 的延长线上时， （1 ）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3 ）如图（3 ） ，当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）解答： （1 ）解：PE=PB，PEPB
4、（2 ）解：（1 ）中的结论成立四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线，CD=CB，ACD=ACB，又 PC=PC，PDCPBC，PD=PB，PE=PD，PE=PB，：由，得PDCPBC，PDC= PBC （7 分）又PE=PD，PDE= PEDPDE+ PDC=PEC+PBC=180，EPB=360（PEC+ PBC+DCB）=90，PE PB（3 ）解：如图所示：结论：PE=PB，PEPB3已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点E、F，垂足为 O（1 ）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求
5、AF 的长；（2 ）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和 CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab0） ，已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求 a 与 b 满足的数量关系式解答： 解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADBC，CAD=ACB，AEF= CFE，EF 垂直平分 AC，垂足为 O
6、，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四边形 AFCE 为平行四边形，又EFAC，四边形 AFCE 为菱形，设菱形的边长 AF=CF=xcm，则 BF=（8 x）cm，在 RtABF 中，AB=4cm，由勾股定理得 42+（8x ）2=x2，解得 x=5，AF=5cm（2 ） 显然当 P 点在 AF 上时，Q 点在 CD 上，此时 A、 C、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理 P 点在 AB 上时，Q 点在 DE 或 CE 上或 P 在 BF，Q 在 CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形因此只有当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，以 A、C、P、
7、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，PC=5t，QA=12 4t，5t=12 4t，解得以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒由题意得，四边形 APCQ 是平行四边形时，点 P、Q 在互相平行的对应边上分三种情况：i）如图 1，当 P 点在 AF 上、Q 点在 CE 上时，AP=CQ，即 a=12b，得 a+b=12；ii）如图 2，当 P 点在 BF 上、Q 点在 DE 上时，AQ=CP ，即 12b=a，得 a+b=12；iii）如图 3，当 P 点在 AB 上、Q 点在 CD
8、上时，AP=CQ，即 12a=b，得 a+b=12综上所述，a 与 b 满足的数量关系式是 a+b=12（ab0） 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0 ，2） ，点 P 是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧作等边三角形 APQ当点 P 运动到原点 O 处时，记 Q 的位置为 B（1 ）求点 B 的坐标；（2 ）求证：当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时， ABQ 为定值；（3 ）是否存在点 P，使得以 A、O、Q、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由解答： （1 ）解：过点 B 作 BCy 轴于点 C，A（0，2 ）
9、 ，AOB 为等边三角形，AB=OB=2，BAO=60，（2 ）证明：当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时，不失一般性，PAQ=OAB=60，PAO=QAB，在APO 和AQB 中，APOAQB（SAS） ，ABQ=AOP=90 总成立，当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时，ABQ 为定值 90；（3 ）解：由（2）可知，点 Q 总在过点 B 且与 AB 垂直的直线上，可见 AO 与 BQ 不平行当点 P 在 x 轴负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方，此时，若 ABOQ，四边形 AOQB 即是梯形，当 AB OQ 时，BQO=90 ， BOQ=ABO=60当点 P
10、 在 x 轴正半轴上时，点 Q 在 B 的上方，此时，若 AQOB，四边形 AOBQ 即是梯形，当 AQOB 时，ABQ=90 ，QAB=ABO=605如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线MN BC设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F，连接AE、AF 那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论解答： 解：当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形证明：CE 平分BCA，1= 2，又MNBC ，1= 3，3= 2，EO=CO，同理，FO=CO，EO=FO，又O
11、A=OC，四边形 AECF 是平行四边形，CF 是BCA 的外角平分线，4= 5，又1=2 ，1+ 5=2+4，又1+5+ 2+4=180，2+ 4=90，平行四边形 AECF 是矩形6正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 DB 的中点，点 P 是 DB 所在直线上的一个动点，PE BC 于 E，PFDC 于 F（1 ）当点 P 与点 O 重合时（如图） ，猜测 AP 与 EF 的数量及位置关系，并证明你的结论；（2 ）当点 P 在线段 DB 上（不与点 D、O、B 重合）时（如图 ） ，探究（1 ）中的结论是否成立？若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3 ）当点 P 在 DB 的长
12、延长线上时，请将图 补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论解答： 解：（1）AP=EF，APEF ，理由如下：连接 AC，则 AC 必过点 O，延长 FO 交 AB 于 M；OFCD，OEBC，且四边形 ABCD 是正方形，四边形 OECF 是正方形，OM=OF=OE=AM，MAO=OFE=45，AMO=EOF=90，AMO FOE（AAS ） ，AO=EF，且AOM=OFE=FOC=45，即 OCEF ，故 AP=EF，且 APEF（2 ）题（1 ）的结论仍然成立，理由如下：延长 AP 交 BC 于 N，延长 FP 交 AB 于 M；PMAB
13、，PEBC ，MBE=90，且MBP=EBP=45，四边形 MBEP 是正方形，MP=PE，AMP=FPE=90；又ABBM=AM，BC BE=EC=PF，且 AB=BC，BM=BE，AM=PF，AMP FPE （SAS ） ，AP=EF，APM=FPN=PEFPEF+PFE=90，FPN=PEF，FPN+PFE=90，即 APEF，故 AP=EF，且 APEF（3 ）题（1 ） （2 ）的结论仍然成立；如右图，延长 AB 交 PF 于 H，证法与（2 ）完全相同7、如图，一个直角三角形纸片的顶点 A 在MON 的边 OM 上移动，移动过程中始终保持AB ON 于点 B，AC OM 于点 AM
14、ON 的角平分线 OP 分别交 AB、AC 于 D、E 两点（1 ）点 A 在移动的过程中，线段 AD 和 AE 有怎样的数量关系，并说明理由（2 ）点 A 在移动的过程中，若射线 ON 上始终存在一点 F 与点 A 关于 OP 所在的直线对称，判断并说明以 A、D 、F、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3 ）若MON=45，猜想线段 AC、AD、OC 之间有怎样的数量关系，只写出结果即可不用证明解答： 解：（1）AE=AD理由如下：AB ON，AC OM，AED=90 MOP，ADE=ODB=90 PON ，而MOP=NOP，AED=ADEAD=AE（2 ）菱形理由：连接 DF、EF
15、，点 F 与点 A 关于直线 OP 对称，E、D 在 OP 上，AE=FE，AD=FD由（1）得 AE=AD，AE=FE=AD=FD四边形 ADFE 是菱形；（3 ） OC=AC+AD理由：四边形 ADFE 是菱形，AEO= FEO ，AOE= FOE ，EFO=EAO，ACOM，OP 平分MON，AE=EF，EFOC，EFO=90，AE=EF=AD， OA=OF，MON=45，ACO= AOC=45 ，OA=AC，FEC=FCE，EF=CF，CF=AE，OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD8如图，ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过 P 作直线 MNBC，设 MN 交BCA
16、的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F（1 ）求证：PE=PF；（2 ）当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 AECF 可能是矩形吗？说明理由；（3 ）若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且求此时BAC 的大小解答： （1 ）证明：CE 平分BCA，BCE=ECP，又MNBC ，BCE=CEP，ECP= CEP，PE=PC；同理 PF=PC，PE=PF；（2 ）解：当点 P 运动到 AC 边中点时，四边形 AECF 是矩形理由如下：由（1）可知 PE=PF，P 是 AC 中点，AP=PC，四边形 AECF 是平行四边形CE、CF 分别平分BCA 、ACD，且B
17、CA+ ACD=180，平行四边形 AECF 是矩形；（3 ）解：若四边形 AECF 是正方形，则 ACEF，AC=2APEFBC，ACBC，ABC 是直角三角形，且 ACB=90，BAC=309如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AD=6，BC=8， ，点 M 是 BC 的中点点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动在点 P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧点
18、P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0 ） （1 ）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围） ；（2 ）当 BP=1 时，求EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3 ）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由解答： 解：（1）y=MP+MQ=2t； （2 ）当 BP=1 时，有两种情形：E
19、PQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是EPQ，其面积为 若点 P 从点 B 向点 M 运动，由题意得 t=5PQ=BM+MQBP=8，PC=7设 PE 与 AD 交于点 F，QE 与 AD 或 AD 的延长线交于点 G，过点 P 作 PHAD 于点 H，则 HP= 在 RtHPF 中， HPF=30，HF=3，PF=6FG=FE=2又FD=2，点 G 与点 D 重合，如图 2此时EPQ 与梯形 ABCD 的重叠部分就是梯形 FPCG，其面积为 （3 ）能，此时，4t5 过程如下：如图，当 t=4 时，P 点与 B 点重合，Q 点运动到 C 点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，PEQ 为等边三角形
20、，EPC=60，APE=30， AF=3，BF=6 ，EF=FG=2，GD=6 23=1，所以 Q 向右还可运动 1 秒，FG 的长度不变，4t5 10 （正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作PFCD 于点 F如图 1，当点 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF（1 ）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与点 A、O 重合） ，PE PB 且 PE 交 CD 于点 E求证：DF=EF；写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2 ）若点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合） ，PEPB 且 PE
21、 交直线 CD 于点 E请完成图 3 并判断（1）中的结论 、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论 （所写结论均不必证明）解答： 解：（1）如图 2，延长 FP 交 AB 于点 Q，AC 是正方形 ABCD 对角线，QAP=APQ=45 ，AQ=PQ，AB=QF，BQ=PF ，PE PB，QPB+FPE=90，QBP+QPB=90，QBP=FPE，BQP=PFE=90，BQPPFE，QP=EF，AQ=DF，DF=EF；如图 2，过点 P 作 PGADPFCD，PCF= PAG=45，PCF 和PAG 均为等腰直角三角形，四边形 DFPG 为矩形，（2 ）结论仍成立；结论不成立，此时 中三条线段的数量关系是 PAPC= CE如图 3：PBPE，BCCE，B、P 、C 、E 四点共圆，PEC= PBC，在PBC 和PDC 中有：BC=DC（已知） ，PCB=PCD=45（已证） ，PC 边公共边，PBCPDC（SAS） ，PBC=PDC，PEC= PDC，PFDE，DF=EF；
