1、1161.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用 a（a0）的意义解答具体题目提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键1重点：形如 a（a 0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“ （a0）”解决具体问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题：二、探索新知很明显 3、 10、 46，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如 a（a0） 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号（学生活动）议一议：1-1 有算术平方根吗？20
2、的算术平方根是多少？3当 a0）、0、 42、- 、 1xy、 （x0，y 0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0解：二次根式有： 2、 x（x0）、 0、- 2、 xy（x0，y0）；不是二次根式的有： 3、 1x、 4、 y例 2当 x 是多少时， 31x在实数范围内有意义？2分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10， 31x才能有意义解：由 3x-10，得：x 13当 x 13时， 在实数范围内有意义三、巩固练习教材 P5 练习 1、2、3四、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如 a（a 0）的式
3、子叫做二次根式， “ ”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数五、布置作业1教材 P5 1，2，3，42选用课时作业设计16.1.2 二次根式(2)教学内容1 a（a 0）是一个非负数；2（ ） 2=a（a 0）教学目标理解 （a 0）是一个非负数和（ a） 2=a（a0），并利用它们进行计算和化简通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ） 2=a（a0）；最后运用结论严谨解题教学重难点关键1重点： a（a 0）是一个非负数；（ ） 2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出 （a0
4、）是一个非负数； 用探究的方法导出（a） 2=a（a0）教学过程一、复习引入3（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当 a0 时， 叫什么？当 a、0），反过来 ab= （a0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标理解 = （a0，b0）和 = （a0，b0）及利用它们进行运算利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1重点：理解 ab= （a0，b0）， ab= （a0，b0）及利用它们进行计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的
5、乘法规定及逆向等式2填空（1） 96=_， 916=_；（2） 3=_， 3=_；（3） 416=_， 416=_；（4） 8=_， 38=_规律： 916_ ； 163_ ； 416_ ；38_ 93利用计算器计算填空:（1） 4=_，（2） 3=_，（3） 25=_，（4） 78=_规律： 3_ ； _ 2； _ ； _ 。每组推荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定： ab= （a0，b0），反过来， = （a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例
6、 1计算：（1） 123 （2） 18 （3） 146 （4） 8分析：上面 4 小题利用 ab= （a0，b0）便可直接得出答案解：（1） 23= 1= 4=2 （2） 8= 3842= 3=2（3） 146= 16= =2（4） 8= = =2 2例 2化简：（1） 364 （2）2649ba（3） 2964xy （4） 25169xy分析：直接利用 = b（a0，b0）就可以达到化简之目的10解：（1） 364= 8（2）29ba=23ba（3） 264xy= 28xy （4） 2519= 2513三、巩固练习 教材 P14 练习 1四、归纳小结本节课要掌握 ab= （a0，b0）和 a
7、b= （a0，b0）及其运用五、布置作业1习题 162 2、7、8、92选用课时作业设计21.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1计算（1） 35，（2） 7，（3） 82a老师点评： = 1， = 6
8、， =112现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h 2km， 那么它们的传播半径的比是_它们的比是 12Rh二、探索新知观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐 34 个人到黑板上板书老师点评：不是 12Rh= 1212h.例 1(1) 53; (2) 42xy; (3) 238xy例 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5c
9、m，BC=6cm，求 AB 的长BAC解：因为 AB2=AC2+BC2所以 AB= .56= 16913()342=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm三、巩固练习练习 2、3四、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用五、布置作业1习题 162 3、7、102选用课时作业设计21.3 二次根式的加减(1)12教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程一、复习引入学生活动：
10、计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x 2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a 2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减二、探索新知学生活动：计算下列各式（1）2 +3 2 （2）2 8-3 +5 （3） 7+2 +3 97 （4）3 -2 + 2老师点评： （1）如果我们把 2当成 x，不就转化为上面的问题吗？2 +3 =（2+3） =5 2（2）把 8当成 y；2 -3 +5 =（2-3+5） 8=4 =8 2（3）把 7当成 z；+2 + 9=2 +2 +3 =（1+2+3） 7=6（4） 3看为
11、x， 2看为 y3 -2 +=（3-2） += + 213因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 与 8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3 2+ 8=3 +2 2=53 + 7=3 3+3 =6所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1） 8+ （2） 16x+ 4分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1） + =2 +3 =（2+3） 2=5（2） 6x+ 4=4 x+8 =（4+8） x=12例 2计算（1）3 8-9 13+3 2（2）（
12、 4+ 0）+（ - 5）解：（1）3 8-9 13+3 2=12 3-3 +6 =（12-3+6） 3=15（2）（ 4+ 0）+（ - 5）= 48+ 20+ 1- 5=4 +2 5+2 - =6 3+三、巩固练习教材 P19 练习 1、2四、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并五、布置作业1习题 163 1、2、3、52选作课时作业设计21.3 二次根式的加减(2)14教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标运用二次根式、化简解应用题通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题重难点关键讲
13、清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例 1如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/ 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/ 秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么
14、PB=x，BQ=2x， 根据三角形面积公式就可以求出 x 的值解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x依题意，得： 12x2x=35x2=35x= 35所以 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米答： 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米例 2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材， 只需知道这四段的长度15BA C2m1m4m D解：由勾股定理，得AB= 2240ADB=2 5BC= 1C=所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2 5+ +5+2 =3 5+7 32.24+
15、713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材三、巩固练习教材练习 3四、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题五、布置作业1习题 163 72选用课时作业设计21.3 二次根式的加减(3)教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、
16、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1计算（1）（2x+y）zx （2）（2x 2y+3xy2）xy2计算（1）（2x+3y）（2x-3y ） （2）（2x+1） 2+（2x-1） 2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1） 单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用16二、探索新知如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例 1计算:（1）（
17、 6+ 8） 3 （2）（4 6-3 2）2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整式的运算规律解：（1）（ + ） = 3+ 8= 8+ 24=3 +2 6解：（4 6-3 ）2 =4 2 -3 2 2=2 3-例 2计算（1）（ 5+6）（3- ） （2）（ 10+ 7）（ 10- 7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1）（ +6）（3- 5）=3 5-（ ） 2+18-6=13-3（2）（ 10+ 7）（ 10- 7）=（ 10） 2-（ 7） 2=10-7=3三、巩固练习课本练习 1、2四、归纳小结本节课应掌握
18、二次根式的乘、除、乘方等运算五、布置作业1习题 163 1、8、92选用课时作业设计171 勾股定理（一）一、教学目的171了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例
19、2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一
20、直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 32+42与 52的关系，5 2+122和 132的关系，即 32+42=52，5 2+122=132，那么就有勾 2+股 2=弦 2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利
21、用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S +S 小正 =S 大正 4 ab（ba） 2=c2，化简可证。21发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。cb aD CA Bbbbbccccaaaa bbbbaa ccaa18左边 S=4 abc 21右边 S=（a+b） 2左边和右边面积相等，即4 abc 2
22、=（a+b） 2化简可证。六、课堂练习1勾股定理的具体内容是： 。2如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若 D 为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B 的对边和斜边： ；三边之间的关系： 。3ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2= a2c 2，则 =90； 若满足b2c 2a 2，则B 是 角； 若满足 b2c 2a 2，则B是 角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。171 勾股定理（二）一、教学目的1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。
23、三、例题的意图分析例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在 RtABC，C=
24、90已知 a=b=5,求 c。AC BDbccaabDCAEB19已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15，A=30，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角
25、形的两边长分别为 5 和12，求第三边。分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边ABC 的高。 求 SABC 。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可21解。六、课堂练习1填空题在 RtABC，C=90，a=8，b=15，则 c=
26、 。在 RtABC，B=90，a=3，b=4，则 c= 。在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。2已知：如图，在ABC 中，C=60，AB= 34，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。 3已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求 这个等腰三角形的面积。171 勾股定理（三）D C B AAC BD20一、教学目的1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的
27、思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例 1（教材探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角
28、都是直角。让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例 2（教材探究 2）分析：在AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算 OB。 在COD 中，已知 CD=3，CO=2，利用勾股定理计算 OD。则 BD=ODOB，通过计算可知 BDAC。进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系，给 AC 不同的值，计算 BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵
29、红叶树的离地面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离3是米，水平距离是 米。2 题图 3 题图 4 题图3如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。DA BC30A BCC ABOABCD214如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？171 勾股定理（四）一、教学目的1会用勾股定理
30、解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角
31、。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1（补充）1已知：在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=，3求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考
32、点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊 角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分 析：欲求 AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股 定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由 2BCA，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2 和 BC=6。例 2（补充）已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？ACBCA BDB ACD22分
33、析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC 及 SABC 。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？解略。例 3（补充）已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三
34、种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。483DE 2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。12S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE=6小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上
35、画出表示 的点。2,13六、课堂练习1ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC= ，S ABC = 。2ABC 中，若A=2B=3C，AC= cm，则A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，S ABC = 。3ABC 中，C=90，AB=4，BC= ，CDAB 于 D，则 AC= ，CD= 32，BD= ，AD= ,S ABC = 。4已知：如图，ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求 SABC 。172 勾股定理的逆定理（一）一、教学目的AB CDEAB C231体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命
36、题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例 2 通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是
37、直角三角形。四、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。五、例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2
38、证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生
39、更容易接受。abcabB CA A1C1B124证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是a、b、c，a=n 21，b=2n，c=n 21（n1）求证：C=90。分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2即可。由于 a2+b2= （n 21） 2（2n） 2=n42n 21，c 2=（n 21
40、） 2= n42n 21，从而 a2+b2=c2，故命题获证。六、课堂练习1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是 30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。ABC 的三边之比是 1：1： ，则ABC 是直角三角形。22ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC 是直角三角形。B如果 c2= b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=
41、b 2，则ABC 是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca= ，b= ，c=532Da：b：c=2：3：44已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a= ，b= ，c= ； a=5，b=7，c=9；25a=2，b= ，c= ； a=5，b= ，c=1。3762172 勾股定理的逆定理（二）一、教学目的1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。252进一步加深性质定理与判定定理之间关
42、系的认识。二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例 1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析例 1（见教材）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30；因为 242+182=302，PQ 2+PR2=QR2，根据勾
43、股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习1小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是 。2
44、如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？172 勾股定理的逆定理（三）一、教学目的1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。B ACDPNESQRENA BC263进一步
45、加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、例题的意图分析例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造 3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中，A、
46、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC 的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充）已知：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形 ABCD 的面积。分析：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 3（补充）已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD。求证：ABC 是直角三角形。 分析：AC 2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD2AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD） 2=AB2六、课堂练习1若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a 2b 2c
