1、经典模型系列手册 温故而知新 1 熟能生巧 模型一：手拉手模型全等 等边三角形 条件：OAB , OCD均为等边三角形 结论：OAC OBD;60AEB q OE平分AED（易忘） EODCBAA BCDOEOA BEA BCDOE智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 2 锲而不舍 等腰RT 条件：OAB , OCD均为等腰直角三角形 结论：OAC OBD;90AEB q OE平分AED（易忘） OA BECDDCEBAOA BEO导角核心图形 经典模型系列手册 温故而知新 3 熟能生巧 任意等腰三角形 条件：OAB , OCD均为等腰三角形 且AOB COD 结论：OAC OBD;AEB AO
2、B OE平分AED（易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： OA OB ，OC OD AOB COD OABCDEOA BCD智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 6 锲而不舍 模型三：对角互补模型 （全等型90） 条件：90AOB DCE q OC平分AOB 结论：CD CE ；2OD OE OC 212ODCE OCD OCESSS OC 辅助线之一：作垂直，证明CDM CEN EDCBOANMAO BCDE经典模型系列手册 温故而知新 7 熟能生巧 条件：90AOB DCE q OC平分AOB 结论：CD CE ；2OD OE OC 212ODCE OCD OCESSS OC 辅
3、助线之二：过点C作CF OCA 证明ODC FEC FAOBCDE智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 8 锲而不舍 当DCE一边交AO延长线上于点D时，如图 以上三个结论：（辅助线之一） CD CE 不变 2OE OD OC （重点） 212OCE OCDSS OC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 MN EDCBOA经典模型系列手册 温故而知新 9 熟能生巧 当DCE一边交AO延长线上于点D时，如图 以上三个结论：（辅助线之二） CD CE 不变 2OE OD OC （重点） 212OCE OCDSS OC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 FAOBCDE智康1对
4、1 初数团队制作 滴水穿石 10 锲而不舍 细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结论“CD CE ”互换 条件：90AOB DCE q CD CE 结论：OC平分AOB； 2OD OE OC 212ODCE OCD OCESSS OC EDCBOA经典模型系列手册 温故而知新 11 熟能生巧 （全等型120） 条件：2120AOB DCE q OC平分AOB 结论：CD CE ；OD OE OC 234ODCE OCD OCESSS OC 请模仿（全等形90）辅助线之一完成证明 ODACEB智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 12 锲而不舍 辅助线之二：在OB上取一点F，使OF OC 证明O
5、CF为等边三角形（重要） 结论：CD CE ；OD OE OC 234ODCE OCD OCESSS OC 必须熟练，自己独立完成证明 FBECADO经典模型系列手册 温故而知新 13 熟能生巧 当DCE一边交AO延长线上于点D时，如图 以上三个结论：（辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 ODACEBF智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 14 锲而不舍 （全等型任意角D） 条件：2AOB D , 180 2DCE D q CD CE 结论：OC平分AOB； 2cosOD OE OC D 2sin cosODCE OCD OCESSSOCDD 难度较大
6、，记得经常复习 O BECDA经典模型系列手册 温故而知新 15 熟能生巧 当DCE一边交AO延长线上于点D时，如图 以上三个结论：（辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 OBECDA智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 16 锲而不舍 （对角互补模型-相似型） 如图，若将条件“OC平分AOB”去掉 条件：90AOB DCE q不变，COED ，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：tanCE CD D ； (tan )cosOD OE OCDD 221tan tan2OCD OCESSOCDD OADCE BMN BE
7、CDAO经典模型系列手册 温故而知新 17 熟能生巧 证明：过点C作CF OCA，交OB于点F 90DCE OCF q DCO ECF 180AOB DCE q 180CDO CEO q CDO CEF CDO CEF tanEF CE CFDO CD COD （关键步） FOADCEB智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 18 锲而不舍 结论得证 tanEF OD D ()cosOE EF OCD 结论得证 22()tanCEFCDOS CFSCOD 2tanCEF CDOSS D OCE CEF OCFSSS 且21tan2OCFSOCD 结论得证 难度非常大，请仔细认真复习 经典模型系列手
8、册 温故而知新 19 熟能生巧 对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 初始条件：角平分线与两边相等的区别 常见两种辅助线的作法 注意下图中“OC平分AOB” CDE CED COA COB 相等是如何推导 EDCBOA智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 24 锲而不舍 倍长中线类模型 条件：矩形ABCD；BD BE DF EF 结论：AF CFA 模型提取： 有平行线AD BE 平行线间线段有中点DF EF 可以构造8字全等ADF HEF HHB EFDAFEDCBA经典模型系列手册 温故而知新 25 熟能生巧 倍长中线类模型 条件：平行四边
9、形；ABCD2BC AB ； AM DM ；CE ADA 结论：3EMD MEA 辅助线:有平行AB CD，有中点AM DM 延长EM，构造AME DMF，连接CM构造等腰EMC , MCF 通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化 FABCDEMMEDCBA智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 30 锲而不舍 最短路程模型之一（将军饮马类） 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决 特点：动点在直线上；起点，终点固定 PA+PQ+BQPA+PBl2l1BAQPBAPlBBAAP+PQ+QBAP+PQ+QBl1l2AQPBAlAQPBBA经典模
10、型系列手册 温故而知新 31 熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如右图OC平分AOB M为OB上一定点 P为OC上动点 Q为OB上动点 求：MP PQ最小时，P、Q的位置 辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化PQ PQ ，过点M作MH OAA MP PA MP PQ MH t（垂线段最短） HQQPMCBOAPA垂线段最短智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 32 锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 12BP AP最短 结论：以A为顶点作30PAC q，过点P作PQ ACA，转化12PQ AP ,过点B作AC的垂线与A
11、P的交点为所求（垂线段最短） 所求点定点动点定点CQABPllPBA经典模型系列手册 温故而知新 33 熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处，22BP AP最短 结论：以A为顶点作45PAC q，过点P作PQ ACA，转化12PQ AP ,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求 所求点定点动点定点CQABPllPBA智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 34 锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：(0,4)A、(2,0)B ，(0, )Pn 问题：n为何值时，55PB PA值最小 结论：x上取点(2,0)C，使5sin5OAC
12、过点B作BD ACA，交y轴于点E为所求 1tan tan2EBO OAC ，即(0,1)E EDCAB xyOPPOyxBA经典模型系列手册 温故而知新 35 熟能生巧 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA , 2OB ()OA OB! OB绕点O在平面内360q旋转 问题：AB的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 最大值：OA OB；最小值：OA OB 最大值位置最小值位置BOA智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 36 锲而不舍 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA , 2OB 以点O为圆心，OB，OC为半径作圆 点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点 问题： 若PA的最大值为10，则6OC 若PA的最小值为1，则3OC 若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 02PCd PCAOB智康1对1 初数团队制作 滴水穿石 40 锲而不舍 二倍角模型 条件：ABC中，2BC 辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A，连接AA、BA、CA 则BA为ABC的角平分线， 那么BA AA CA （注意这个结论） 此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法 ACBACBA
