1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东 B 卷）数学（文科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ,320,432NM,则 NM（ ）A 5, B C 3,2 D 2,02已知复数 z满足 5)(zi，则 z（ ）A i43 B i43 C i4 D i433已知向量 )1,(),2(ba，则 a（ ）A , B 0 C )1,2( D )1,2(4若变量 yx,满足约束条件 30482yx则 yxz的最大值等于（ ）A 11 B10 C 8 D 75下列函数为奇函数的是（ ）A x2 B 1cos
2、2x C xsin3 Dx216为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为（ ）A20 B25 C40 D507在 中，角 A,B,C 所对应的边分别为 ,cba则“ ”是 “ BAsin”的（ ）A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件8若实数 k满足 05，则曲线2165xyk与曲线2165xyk的（ ）A焦距相等 B 离心率相等 C虚半轴长相等 D 实半轴长相等 9若空间中四条两两不同的直线 1234,l，满足 1234,ll 则下列结论一定正确的是（ ）A 14l B 14l C 与 既不垂直也不平
3、行 D 与 的位置关系不确定10对任意复数 12,w定义 121,其中 2是 的共轭复数，对任意复数 123,z有如下四个命题： 1231323()()();zzz 1231213()()()zzz； ；则真命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分（一）必做题（1113 题）11曲线 3xye在点 0,2处的切线方程为_12从字母 ,abcd中任取两个不同字母，则取字母 a的概率为_13等比数列 n的各项均为正数，且 154a，则 21223242log+llog+llog=_（2）选做题（14-15 题，考生只
4、能从中选做一题）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1C与 2的方程分别为 sinco2与1cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C与 2交点的直角坐标为_15 （几何证明选讲选做题）如图 1，在平行四边形 ABD中，点 E在 AB上且 ACE,2与DE交于点 F则 _的 周 长的 周 长AE三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分16 （本小题满分 12 分)已知函数 (sin(),3fxAxR，且 532()1f（1） 求 的值；（2） 若 (),(0,)2f ，求 ()6f
5、17 （本小题满分 13 分）某车间 20 名工人年龄数据如下表：.年龄(岁) 工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计 20（1） 求这 20 名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；（3） 求这 20 名工人年龄的方差 18 （本小题满分 13 分）如图 2，四边形 ABCD 为矩形，PD平面 ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图 3折叠：折痕 EFDC，其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为M，并且 MFCF（1） 证明：CF平面 MDF；（2）
6、 求三棱锥 M-CDE 的体积19 （本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，且 满足NnSnSn ,0322(1)求 1a的值；(2)求数列 n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 ，有 .31112naaa20 （本小题满分 14 分）已知椭圆 01:2bayxC的一个焦点为 0,5，离心率为 35。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点 0,yxP为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程21 (本小题满分 14 分)已知函数 321(1()fxaxR（1） 求函数 )f的单调区间；（2） 当 0a时，试讨论是否存在
7、 01(,),2x，使得 01()2fxf参考答案一、选择题1C 解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. ，故选 C.3,2NM解析2绝对送分题。答案为B。因为集合为高中教材的第一个内容。也基本上是各省市的必考内容，放在第一小题给人信心。虽然为送分题，但仍然会有个别同学拿不到分，原因主要是粗心引起。2A 解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题. .故选 A.iiiz 43)(435解析2同样的送分题。一般解法是将左边Z的复数除到右边。秒杀方法是两边同时乘以 ，口算得到结果D。3C 解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题. .故选 C.)1,2(,1(ab解析2又一送分题，由向量减法法则
8、秒杀。答案为B。4B 解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0） ， （0，3） ， （2，3） ， （4，2） ， （4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当 x=4，y=2 时，z=2x+y 取得最大值 10。本题也可以通过平移直线，当直线 经过（4，2）时，截距达到最大，即 取得最大值 10.故选答案 B.xyzxy z解析2基础题，一般做法画出可行区域。求出交点（2，3），（4，2）。得最大值为C。此题容易错选成D，即将（4，3）代入，要注意（4，3）在区域之外。5D 解析：本题考察函数的奇偶性.对
9、于 A， ，非奇非偶，对xxx 22于 B， ，为偶函数；对于 C, ，1cos2)cos(xx xsin)si()sin(333 为偶函数； D 中函数的定义域为 R，关于原点对称，且 x21xx21为奇函数. 故答案为 D。)21(x解析2选B。又一送分题。一种做法是用奇函数的性质。容易得出结果。另一秒杀方法是用0代入，只有B的结果为0.6B 解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为 ，故答案为 B.25401解析2由系统抽样的概念，先进行分组，每组为1000除以40即每组25名学生，故分段时隔为25.选C。7A 解析：本题考查正弦定理的应用。由于 所以,2siniRBbAa,sin2,
10、siBRbAa所以 ，故“ ”是 “ n”的充要BRAbasin2si 条件，故选答案为 A.解析2由大边对大角，或由正弦定理都可以秒杀。答案为A。8A 解析：本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令 ，则这两个曲线方程分4k别为 和 ，它们分别对应的 ，故162yx152yx 1752,17621 cc。所以它们的焦距相等，故答案为 A.21c解析2由已知可得两曲线均为双曲线，在又曲线中C是最长的。故选D。9D 解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知 和 的位置关系可能有1l414l或 ，故 1l与 4的位置关系不确定.故答案为 D./解析2线与线的位置关系，放在
11、选择的倒数第二题，相对来说有一定难度。可以想象一下以笔为直线，将L1和L4放在课桌面上，第二条和第三条与课桌面垂直，问题得到解决。此题需要一定的空间想象能力。10C 解析：对于， 321z3231321321 zzz对于， .321z令 ， ，则 ，则biaz2dicidbcaz32 idbcaz32，所以32z 31213213211321 )( zzzz 32z故231211321)(zz321321zz ，故2,z故答案为 C.解析2此题为创新题，另一种说法是定义新运算。解法较多。基本解法可以用特殊值法，如取三个已知复数分别代入。另一个秒杀的方法是，前9个题的结果是1A，3B，2C，3D
12、，按照历年广东文科的分布规律最后一题应选A。这种解题法没有科学依据，但近十年来都是这样的分布！11解析：本题考查导数的几何意义。 ，故 ，所以 53xye在点xey550ek0,2处的切线方程为 即xy22解析 2此为基础题。求出导数为5，然后用点斜式方程。12解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母 ,abcde中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 个，含有字母 a 有 ab,ac,ad,ae。故概率为 52104解析 2一般解法是用列举的办法或画数状图。简单解法是取到字母 A 后，需要在另外 4 个字母中任取一个，有 4 种方法，一共从
13、 5 个字母中取 2 个有 10 种方法。13解析：本题考查等比数列的定义和性质. )(log5431a)4log()(log34251 a本题也可以直接引入 和 这两个基本量求解.1q解析 2此题秒杀方法是令此数列 的常数列。结果为 5.2na14解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由 得 ，sinco2sinco22即 ，由 得 .联立 和 ，解得 ， ，所以则曲线 1C与yx21cosxyx21xyC交点的直角坐标为（1，2）.解析 2转化为直角坐标系方程 后易得结果。21:,:Cy15解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为 即DAB/,所以 ,所以
14、CDAE/FAE3EABDCF的 周 长的 周 长解析 2显然两三解形相似。相似三角形面积的等于相似比的平方。故面积比为 9.16解析：（1）由题意得 ，所以243sin)125sin()125(f .3A（2）由（1）得 ，所以)3sin()(xf )3sin()sin(3)( f所以,i)icos(i)ico3s(in .因为 ，所以.si20361in1s2所以cos3)2i(3)6sin(3)6( f点评：笔者觉得 2014 年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，
15、思维受阻的可能性比较小.17解析：（1）年龄 30 的的工人数为 5，频率最高，故这 20 名工人年龄的众数为 30，极差为最大值与最小值的差，即 40-19=21.（2）茎叶图如下: 192830124(3) 这 20 名工人年龄的平均数为3020143215398 x所以这 20 名工人年龄的方差 6.1220304)3()1(4)39(028319 2222 s点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得会遇到几个问题，一是关于计算，而是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.18（1）证明：（1）因为 面 , 面 ,所以
16、.又因为四边形PDABCABDAP为矩形，所以 ,因为 ,所以 面 .在图 3 中，因为ABCDC面 ，所以 即 ,又因为 , ,所以FPFMFM面 .M(2)因为 面 ， 面 ,所以 .在图 2 中，DDC.32CD因为 ,所以 .所以在 中，1,P3PFRt，23sinF.所以在图 3 中， 即 .在 ,1coDC2CPF3MDFRt.又因为在 , ,所以 ,所以262FMDRtE/ 41CPE,所以431DPE831CSDEC所以 .162833VECM点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立
17、体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！19解析：（1）当 时， 解得 或 。因为 ，所以 .1n0612a21a310na21a（2）由题意得 ,因为 ，所以 ，所以 ，所以)(3nSnnS3S即0)(Snn2当 时，a 2)1()(21 当 ， 满足上式，故1Nna（3）证明：当 时， .n316)(1当 时，2 )1(3232242)(2 nnnna所以)(1(3)1()(1n所以 )1()1(6)()()( 221 nn aaaaa 36311436 故对一切正整数 n，有 .121 naaa点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到 NnSSn
18、n ,032，其本质就是关于 的一元二次方程，采用因式分解或nS求根公式求出 是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为 ，结合题目特31点不难猜测利用 这个模型就可以达到目的，而在证明)1()(1nan方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与 2014 年广东理科数列题第)(an19 相比，笔者觉得文科的难度其实更大！20解析：（1）由题意得 ， ，所以 ，所以 ，所以椭圆5c35ace3a422cabC 的标准方程为 .1492yx（3）由题意可设两条直线的斜率都要存在，设其中的一条切线方程为 ，则另一条切线bkxy为 .联立 ，消 得mxky1036942yxbky03
19、69189422k因为直线与椭圆相切，所以 ，化简得 .同理0)36)(182b4kb可得 。又因为 0,yxP是这两条切线的交点，所以联立222419kkmxkyb解得 ，所以 .所以 ，1)(2b 11)(22kbmkbxy 1)(20kbmx，因为 ，20ky2220k 240y所以 ，将 和 代入 式，得2401kbmx 492k229km.13)(131)4()9(4 24222202 kkkyx当 与 轴垂直， 轴时，或 与 轴垂直 轴时，此时满足条件的 的坐标为 ，1lyl22lxyl1 P2,满足上述方程，所以点 P 的轨迹方程为 320点评：本题的第（2）问与 2012 年广
20、东文科高考和 2011 年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！21解析： . 令axf2)(102ax当 即 时， ，所以 ()f的单增区间为 .04a0)(f ,当 即 时， 有两个不等的根， ，01a02axaax1241x2当 当 当,)(,xf ,0)(,11xfax所以 ()f的单增区间为 和 ，单减01ax ,1a区间为 .a,综上所述，当 ， ()fx的单增区间为 .当 ， ()fx的单增区间为,1a和 ，单减区间为 a1, ,1a,（2）当 时， ， ， .因为 ，0ax1241 x12 0所以
21、所以 ， .,1aa02x由（1）知 ()fx在 单减，在 单增., ,1a当 即 时， ()fx在 单减，故不存在 01(,),2x，使得1a3,00()2fxf当 即 ， ()fx在 上单减，在 上单增.1a03aa1, 1,a当 即 此时 ()f在 上单减，在 上单增.故不存在45，22,0,201(,),2x，使得 01(fx当 时，此时 ，所以 ，而45a，2a2431)(af24313a，所以存在 使得 0()fxf.31)0(f ,01,0x时，存在 ，使得 01()2ff.45a21,0a当 时，此时3，1，所以 ，而 ， 即2431)(af32415aaf38)1(127，所以存在 使得 0()fxf.7f ,0x综上所述： 当 或 时，不存在 01(,),2x，使得 01()2ff，当3a45或 时，存在 0(,),，使得 0()fxf.453点评：与 2011 广东高考的 19 题或 2012 的 21 题相比，你会觉得第（1）问其实并不难！难度较大的是本题的第（2）问，综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力，可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多，将是一个很大的挑战和考验！
