1、用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接
2、代入公式 cos x， sin y， 2 x2 y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 等.2.直角坐标( x， y)化为极坐标( ， )的步骤：(1)运用 ，tan (x0)；x2 y2yx(2)在0，2)内由 tan (x0)求 时，由直角坐标的yx符号特征判断点所在的象限(即 的终边位置).解题时必须注意：1 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.2 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定 0，0 2，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.3 进行极坐标方程与直角坐标
3、方程互化时，应注意两点：.注意 ， 的取值范围及其影响.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.例如、 （2015 年全国卷）在直角坐标系 中。直线 :xOy1C，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半2x2C2211xyx轴为极轴建立极坐标系。（I） 求 ， 的极坐标方程；12（II） 若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点3C4R2C3为 , ,求 的面积MN2CA解：（）因为 ，所以 的极坐标方程为cos,inxy1C， 的极坐标方程为 cos22cs4i0（）将 代入 ，得42oin，解得 ，故23012,，即12|MN由于 的半径为 1，所以 的面积为2C2CA12二、简单曲线
4、的极坐标方程及应用1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点 M 的坐标 与 之间的关系,然后列出方程 f(,)=0,再化简并检验特殊点.2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性. 例如、 （2015 全国卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ t 为参数， t 0） ，其中 0 ，在以 O 为极点，cosinxtyx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ， C3：sin。23cos（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，
5、求 的最|A大值。解：（）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角2C20xy3C坐标方程为 .30xyx联立 解得 或2,30xyx0,xy3,2.xy所以 与 交点的直角坐标为 和2C3 (0,)3,)2（）曲线 的极坐标方程为 ，其中1 (,0)R因此 的极坐标为 ， 的极坐标为A(2sin,)B(23cos,)所以 |si3co|4si()|B当 时， 取得最大值，最大值为 456|A三、简单参数方程及应用1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点: 准确把握参数形式之间的关系; 注意参数取值范围对曲线形状的影响.2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数
6、时可能得到不同的参数方程.3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.例如、 （2014 年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线 ：C，直线 ： （ 为参数）.2149xyl2xty（）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；Cl（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点Plo30l，求 的最大值与最小值.A|P解：（）曲线 的参数方程为 （ 为参数）C2cos,3inxy直线 的普通方程为l260x（）曲线 上任意一点 到 的距离为C(cos,3in)Pl5|4cos3in6|d则
7、 ，其中 为锐角，且25| |sin()6|sin30dPA4tan3当 时， 取得最小值，最小值为sin()1|PA25四、参数方程与极坐标方程的综合应用第一步:消去参数,将曲线 C1 的参数方程化为普通方程;第二步:将曲线 C1 的普通方程化为极坐标方程;第三步:将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程;第四步:将曲线 C1 与曲线 C2 的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.例如、 （2017 年全国卷）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 （ t 为参数），直线 l2的参数方程为2+,xyk.设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化
8、时， P 的轨迹为,mk（ 为 参 数 ）曲线 C.（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3： (cos +sin ) =0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径.2解：将参数方程转化为一般方程1:2lykx21:lyxk 消 可得：24xy即 的轨迹方程为 ；P将参数方程转化为一般方程3:20lxy联立曲线 和C3l204xy解得2xy由 解得cosinxy5即 的极半径是 M五、极坐标方程解圆锥曲线问题如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。例如、(2007 重庆理改编)中心在原点
9、的椭圆 ，点O21367xy是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点 使F 12P,012312PPF 证明： 为定值，并求此定值213解 ：以点 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：F，设点 对应的极角为 ，则点 与 对应的极角分别为92cos1P2P3、 ， 、 与 的极径就分别是01023、 与 ，1|FP92cos2|FP09cos(12)3|FP092cos(1)因此 ，213100s()2999而在三角函数的学习中，我们知道 00cos(12)cos(12)因此 为定值 213FP六、参数方程解圆锥曲线问题1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。2.消
10、去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。例如、 （2016 年天津卷）设椭圆 的右焦点为 ，132yax)( F右顶点为 .已知 ，AFAeO31其中 为原点， 为椭圆的离心率. Oe（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上） ，垂直AlBx于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 .若 ，且 llMyHFMOA，求直线 的斜率的取值范围.MAO解：（）设 ，由 ，即 ，(,0)Fc13|cOAF13()ca可得 ，又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆223ac223ab224的方程为 .14xy（）设直线 的斜率为 （ ） ，则直线 的方程为 .设 ，lk0l )2(xky),(Byx由方程组 ，消去 ，整理得 .)2(1342xkyy 0161)34(222xkk解得 ，或 ，由题意得 ，从而 .34682k3482kxB 342kyB由（）知， ，设 ，有 ，)0,1(F),(Hy),1(HF.由 ，得 ，所以342,9(2kBFB0B，解得 .因此直线 的方程为013422ykHkyH1249M.kxy49设 ，由方程组 消去 ，解得),(Myx)2(1492xkyky.在 中， ，即)1(290kxMAO|MOAM，化简得 ，即 ，解得 或2Myx1x1)(290k46k.46k所以，直线 的斜率的取值范围为 .l ),46,(
