1、12005 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 试卷一、填空题1函数 的连续区间是 。xexy)1(sin22 。4limx3 （1） 轴在空间中的直线方程是 。（2）过原点且与 轴垂直的平面方程是 。x4设函数 ,当 时，函数 在点1 ,b)(1)2)1(xaexfx _,ba)(xf处连续。1x5设参数方程 ，2sinco3ryx（1）当 是常数, 是参数时，则 。rdxy（2）当 是常数， 是参数时，则 。 r二选择题1设函数 在 上连续可导， ，且 ，则当（ ）时，)(xfyb, a),(bac0)(cf在 处取得极大值。)(xfc（A）当 时， ，当 时， ,0)(xfxx
2、（B）当 时， ，当 时， , )(f（C）当 时， ，当 时， ,xafbc0（D）当 时， ，当 时， .c)( f2设函数 在点 处可导，则)(fy0x（ ） 。hfh23lim0 ).(5 ),(4),( ),( 000 xfDxfCBxfA3设函数 ，则积分 （ ） 。 , x,22ef 1fd.)(1)( 0 ,1)( DCBA25设级数 和级数 都发散，则级数 是（ ）.1na1nb1)(nnba（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）可能发散或者可能收敛三计算题1求函数 的导数。xy)1(22. 求函数 在区间（1，2）中的极大值，极小值。3x3. 求函数 的 n 阶
3、导数 。xef2)(ndxf4计算积分 。02135计算积分 。dxe6计算积分 。1208.把函数 展开成 的幂级数，并求出它的收敛区间。xy1x9.求二阶微分方程 的通解。yd210.设 是两个向量，且 求 的值，其中 表示向量 的ba, ,3ba22baa模。 四综合题1计算积分 ，其中 是整数。021sinsi2mxdx n,2已知函数 ，cbaf 34)(其中常数 满足 ，dcb, 0（1）证明函数 在（0，1）内至少有一个根，)(xf（2）当 时，证明函数 在（0，1）内只有一个根。ac832)(xf2005 年高数（一）答案（A）卷1填空题姓名：_准考证号：_报考学校 报考专业：
4、 -密封线-31连续区间是 ),1(0),(23 （1） 或者 ，或者 （其中 是参数） ， （2） 0zy01zyx0,zytxt0x4 ,ba5 （1） ， （2） .yr2x3二选择题题 号 1 2 3 4 5答 案 B D B D三计算题。1解 ：令 ， （3)ln(l2xy分）则 （7 分）xx )1(l1) 222 2解： ，驻点为 （2 分）)43(3 xy 34,021（法一） ，6， （极大值） ， （5 分）04)( 1)(y， （极小值）. （7 分）3y2753（法二） x1 （1，0） 0 ) ,(342) ,(342y正 0 负 0 正-2 递增 1 递减 275递
5、增（5 分）当 时， （极大值） ，当 时， （极小值） （7 分）0x1y34x275y3解：利用莱布尼兹公式（7 分）xn enxdxf )1(24解： (3 分) 0101012 2)2(3 dxxdxd4 (7 分) 34ln12l0x5解： (3 分)de2dxex2C （其中 C 是任意常数） （7 分）)1ln(2xx6解： （3 分）102dex dxeex102 )2()(2 2 + =10)(x31x 。 （7 分）ee38：解：(2 分)211xxy )21()()(23 nnx ， （5 分） 01)nnx收敛区间为（-1， 3）. （7 分）9.解：特征方程为 ，特征
6、值为 （二重根） ， 021齐次方程 的通解是 ，其中 是任意常数.ydxxecy)(221,c(3 分)的特解是 ， （6 分）ydx2x所以微分方程的通解是 ，其中 是任意常数 xecy)(22121,c（7 分）10解： (3 分)22ba )()( baba . （7 分）6)(四综合题： 1解：（法一） （4 分） 021sin2sinxdmxd dxmnxn)cos()1(cos0 （10 分） 0 0 ,21)cos(21 ,ii ndxn（法二）当 时m5 （ 4 分） 021sin21sinxdmxd dxmnxn)cos()1(cos0 （7 分）0i)( 当 时 021s
7、in21sinxdxd 0 002 21)2cos(1sin xdnxd（10 分）2证明：（1）考虑函数 , （2 分）xcbxaxF234)(在 0,1上连续，在（0，1）内可导， ， )(xF )1(F由罗尔定理知，存在 ，使得 ，即,0)(，就是 ,f)(f 023d所以函数 在（0，1）内至少有一个根. （7 分）)(（2） cbxax62 因为 ，所以 ，cb832 0)83(1296)(14)(2 acbacba保持定号， 函数 在（0，1）内只有一个根 . （10 分）)(fff2006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 试卷1、填空题1 。lim235nn2函数
8、的间断点是 。2268()(5xf3若 在 处连续，则 。1(, 0), xfxA A4设 ，则 。2ln()ydyx5 。3 221)cosix8微分方程 的通解 。2()xydye二选择题1 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域（ ） 。()fx0,11()()fxfA4,5B6,5C4,D0,1姓名：_准考证号：_报考学校 报考专业： -密封线-62 当 时，与 不是等价无穷小量的是（ ） 。0xxA2sinB2sinC3tanxDsinx3设 ，其中 ，则下面结论中正确（ ） 。0()()xFftd2,01()fx A31,() 2xxB3,01() 2xFC31,0()2FxD3,(
9、),12x4曲线 与 轴所围图形的面积可表示为（ ） 。(1),()yx A 20xdB 1 21()()xxdxC 0D 2(1)xdx5设 为非零向量，且 ，则必有（ ） 。,ababABabCD三计算题1计算 。123lim()6xx2设 ，求 。coslni(l)ydyx3设函数 ，求 。2itxe4计算不定积分 。21sincodx75计算定积分 。 10xde6求微分方程 满足 的特解。232xye0,10xxdy7求过直线 ，且垂直于已知平面 的平面方程。102xzy 235z8将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛半径。2()ln3)fx10当 为何值时，抛物线 与三直线 所围成
10、的图形面积最小，a2y,1,0ay求将此图形绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。x四综合题1 （本题 8 分）设函数 在 上连续，且 ，证明方程：()ft0,1()1fx在 内有且仅有一实根。 x02()ftd2 （本题 7 分）证明：若 ，则 。0,mna()()mnmnxaa3 （本题 5 分）设 是连续函数，求证积分()fx。 20sin()(co)4Idff 2006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 试卷（A 卷）答案一填空题1 。lim235nn2函数 的间断点是 。2268()(5xf3x3若 在 处连续，则1, 0(), fxAx 1A4 。设 ，则 。2ln)yx
11、22ln(1)dyx姓名：_准考证号：_报考学校 报考专业： -密封线-85 3 22(1)cosinxd8微分方程 的通解为 ，其中 为任意常数。2xyye2ln()xeC二选择题1、C 2、D 3、D 4、C 5、B三计算题1计算 。12lim()6xx解： = 分123li()xx631 ( )(2li()xx 3 又因为 分6 3li()xxe5 分1lim 2x 6 所以 = 。 分3li()6xx3e 7 2设 ，求 。coslni(l)ydyx解； 分1()sin(l)cos(ln)dx x4 = 分csl 7 3设函数 ，求 。2ointxeydyx解： 2 分22csicst
12、tdt 4 分iotte 7 分2 2(csincs)(sinco)iitydtttxt 4计算不定积分 .21sincodx解： 3 分22 ssicix 9= 7 分221cotansincosdxxCx 5计算定积分 。 0xe解： 3 分 1 1200xxd = 5 分 120()xde = 。 7 分 10arctnarct4e 6求微分方程 满足 的特解。232xdyx001,xxdy解：微分方程 对应的特征方程为2xed230(1)20rr特征根为 1 分12, 而 ，所以 为单根， 2 分r 对应的齐次方程的通解为 3 分21xxYCe 非齐次方程的通解为 代入原方程得 4 分
13、*y 有通解 5 分21xxxyee 有 00,xxd12120,CC有解 7 分2ye 7求过直线 ，且垂直于已知平面 的平面方程。3102xz 2350xyz解：通过直线 的平面束方程为30yxz即21(232)0xyz3 分()(1x 10要求与平面 垂直，则必须2350xyz1(3)()(12)6 分40 所求平面方程为 7 分850xyz 8将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛半径。2()ln3)f x解： 2 分1l(1ln(2)xx = 3 分l2()x =1100ln()2nnnx= 6 分10l2()()nnx 收敛半径 7 分1R 10当 为何值时，抛物线 与三直线 所围成
14、的图形面积最小，a2y,1,0ay求将此图形绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。x解：设所围面积为 ()Sa2 分312()axd 21Sa令 3()0 分，所以 为最小的面积 4()2Sa1()2S 分7 分111222 450-08xVydxx 四；综合题1设函数 在 上连续，且 ，证明方程()ft,()f在 内有且仅有一实根。 x021d(0,11证明：令 ， 则在 上 连续， 2 分 0()2()1xFftd0,()Fx ， 4 分 10001,ftftd 由闭区间上连续函数的介值定理知道在 内至少存在一点 ，使得(,)C()0F5 分 又因为 ，所以 单调上升， 在 内最多有一()2
15、()10Fxf()Fx()0x,1个根，所以 在 内有且仅有一个实根。 7 分 0td, 2证明：若 ，则 。,mna()()mnmnxaa证明：令 2 分()nFx 11111()()()()()mnmmnmnxaaxaxnxaxnx令 ， （当 时， ，此时0,0,0F 2 11()(1)()()()mnmnFn + 5 分12230()nnaa 所以 是 在 上的极大值，有唯一性定理知： 是最大()mn(Fx,()aFmn值，故 7 分()mnaxa 3设 是连续函数，求积分 的值。()f 20(sin)cofxId解： 令 ,2xtdt 20 0(sin)(cs)coinofxfxId
16、d.2 0(i)()ss4ffI Ix122007 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 试卷一、填空题1函数 的定义域是 。2lg1xy2设 ，则 。3sin5dy3极限 。xn102lim4积分 。dsi1cot5设 则 。,xy5y6积分 。097sinid8微分方程 的通解 。032yyx二选择题1设 ，则 是 的（ ） 。xxfln231si1xf（A）连续点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点2. 下列结论中正确的是（ ） 。（A）若 ，则 存在， 1limnanali（B）若 ，则 ，Anli 1limli1nn（C）若 ， ，则 ，anliBbnli
17、BbAa)(（D）若数列 收敛，且 ，则数列 收敛。2 012nana133设 ， ，则当 时， 是 的 xdt0sinxtdsin010xx（ ） 。（A）高阶无穷小 （B）等价无穷小 （C）同阶但非等价无穷小 （D）低阶无穷小4已知函数 ，则 （ ） 。tytxlndxyelim（A） （B） （C） （D）2e212e21e三计算题1设 ，求 。xy42ln1cosdy2由方程 所确定的 是 的函数，求 。2art yxdxy3计算极限 。xxcoslim04计算积分 。de2sin35计算积分 。x216计算积分 。4022tandex7求经过点 且平行于直线 的直线方程。1,1503
18、zyx9任给有理数 ，函数 满足 ，求af0xdtaff xf10将函数 在点 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑） 。xf30四综合题1设直线 与抛物线 所围成的图形的面积为 ，直线 与抛物线ay2y1S1,xay所围成的面积为 ，当 时， ，试确定 的值，使得 最小。2x2S1aa21S143当 时，求证 。x0x2sin高等数学（一） 答案一填空题：1 .3,22 5lncosin3i2 xy304 Cxsi1l5 6!52y6 948 Cyx22ln二选择题：1、 2、 3、 4、ADD三计算题：1解。 xxyln1coslnxx4343 ln12tal2ta 2。解：方程两边
19、对 求导数，得2222 21 yxyxyxyx 。yxyy2 3解:令 ，xt 21sinlmco1licos1lim20 ttott4解：原式 Cexdexx sin32sin3i5解： x21 dxexdexx 111)(215 CexeCeexedx xxx 1ln1ln16解： 4 022tan4 02 4 02tansecsec xdexddxx 240 4 022 ttatantan ex7解：平行于直线 的直线的方向向量应是1503zyxkjikjiS375213所求直线方程为 。317zyx9解：原方程两边对 求导数，得（1）fxfa，xfaxf所以 满足 （2）f 0f由原方
20、程令 ，得 ，由方程（1）得 。0x0ffa方程（2）对应的特征方程为 ，即 ，20i所以（2）有通解 。12cosinfxCx，得 ，即 。01f sf， ，2sincsxx220cosinfaCa所以 ，则 。2o1iaCsoi1nf x10解： 122 fxx16。100122nnnxx收敛区间为 ，即 。3四、综合题：1解：当 时， 与 的交点坐标是 和 ，则01ayax20,2,a1220aSddx。3331a，令 ，得 。2S0Sa12，所以在 时， 。0amin26S当 时， 与 的交点坐标是 和 ，则yx20,2,a01120aSdxad。3362，则 在 时单调减少。210a
21、SSa0故在 时， 为 的最小值，即 。min13S又因为，所以在 时， 的最小值在 时取到，即21631a2a。min26S3、证明：令 ，则 。sin12xf2costanxf17当 时， ， ， ，0xcos02xtan2x0fx从而 在 内单调减少，所以 ， （ ）f, x即 。sin12sixx2008 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一） 试卷一. 选择题1.函数 是（ ） 。xxfcos12（A）奇函数 （B）偶函数 （C）有界函数 （D）周期函数2.设函数 ，则函数在 处是（ ） 。f 0（A）可导但不连续 （B）不连续且不可导 （C）连续且可导 （D）连续但不可导3.
22、设函数 在 上, ，则成立（ ） 。xf102dxf001ffdfxx B010xxdffdfC01xxdfff D10xxfff4.方程 表示的二次曲面是（ ） 。2yz（A）椭球面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D）抛物面5.设 在 上连续,在 内可导, , 则在 内，曲线 上平xfbababfaa,xfy行于 轴的切线（ ） 。（A）至少有一条 （B）仅有一条 （C）不一定存在 （D）不存在二.填空题1.计算 。2sin1lm0xx2.设函数 在 可导, 且 ,则 。.f 10xdfxffx12lim03.设函数 则 。,ln2xff4.曲线 的拐点坐标 。y3185.设 为 的一个原函数
23、,则 。xarctnfxf6. 。2xdtf7.定积分 。x210. 设平面 过点 且与平面 平行，则平面 的方程为 1,00824zyx。三.计算题:(每小题 6 分,共 60 分)1.计算 。xe1lim02.设函数 ,且 ,求 。xgfcos,dxgfyy3.计算不定积分 。d14.计算广义积分 。0xe5.设函数 ,求 。,cos4xf 12dxf6. 设 在 上连续，且满足 ，求 。xf1,010tfefx xf7.求微分方程 的通解。xedyx28.将函数 展开成 的幂级数。f1ln四.综合题1.设平面图形由曲线 及直线 所xey0,xey围成, 求此平面图形的面积; 1求上述平面
24、图形绕 轴旋转一周而得到的旋转体的体积。22.求函数 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间 .132xy3.求证:当 时, .0e报考学校：_报考专业：_姓名： 准考证号： -密封线-19高等数学( 一)答案一. 选择题:(每小题 4 分,共 20 分)题 号 1 2 3 4 5答 案 B D C C A二填空题:(每小题 4 分,共 40 分)1. ; 2. 2; 3. ; 4. ; 5. ; 21x1)3,1(21x6. ; 7. ; 10. .xf3224zy三计算题(每小题 6 分,共 60 分)1.解法一.由洛必达法则,得到 4 分 1limli00xxee. 6分解法二.令 , 则 2
25、 分tex1txln于是, . 6 分1limli00ttx2.解. , 3 分dxgsinxefdxgfysini故 . 6 分ecosin3. 解法一.令 ,则 , 2 分tx2t.5 分.arctn1122 Ctdtd. .6 分xt解法二. .4 分21)(xdx. .6 分Carctn4.解. .3 分00 dxexdex20. 6 分10xe5.解. .3 分 10024100212 cosxdxdfxfdxf. .6 分in53sin51026.解. 设 ,两边对已给等式关于 从 0 到 1 积分 ,得到Adxf10 x.4010101010 22dxfeAedef xx分从而解
26、得 5exf110分代入原式得 . .6 分fx27.解.特征方程为 ，得到特征根 ， 102k1,021k分故对应的齐次方程的通解为 ， 3 分xecy21由观察法，可知非齐次方程的特解是 ， 5 分因而，所求方程的通解为，其中 是任意常数. .6 分xecy21121,c8.解.因为 , .3 分)1(143ln xnxx 所以 221lx )( x= . 6 分)1(14336543 xnxx 四.综合题:(每小题 10 分,共 30 分) 211.解法一(1). .4 分10dxeS. 6 分11x(2). 9 分02deVx12 分12112022 eex 解法二.(1) .310d
27、eSx分. 6 分10x(2). .9 分022deVx. 121212x分2.解.定义域为 , )(,令 ,得到 (驻点), .2 分2362xxdy0dy2,1x由 ,得到 , .3 分,1223xx)0,(0 )1,(1 (1,2) 2 ),(dy+ 0 0 2x y极大值1极小值58 分故 为单调增加区间， （0，2）为单调减少区间; .10)0,(),2(分22极大值为1，极小值为5, 11 分为凸区间， 为凹区间 12),(),1(分3.证明. 令 ,ln)1l(lnxxxF.2 分,1lll1l xd利用中值定理, ，其中 , .4 分1lnlxx所以 ,因此,当 时， 是单调增
28、加的， 5 分01dxF0F而 ,exxlim所以当 时, . 6 分0x12005 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二） 试卷一、填空题3写出函数 的水平渐近线 和垂直渐近线 。二选择题4可微函数 在点 处有 是函数 在点 处取得极值的 （ ）。充分条件， 必要条件， 充分必要条件， 既非充分又非必要条件。三计算题4计算极限 .)1sin(lm1xex姓名：_准考证号：_报考学校 报考专业： -密封线-237函数方程 ，其中变量 是变量 的函数，求 和9求微分方程 的通解. xydxsin)(icos10直线 把圆 分成左，右两部分，求右面部分绕 轴旋转一周所得的旋1x42y y转体
29、体积.四综合题： （本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分）1设 是整数，计算积分 .mn, 0cosmxdn2005 年高数（二）答案（A 卷）一填空题 3 （1） ， （2） 0yx二选择题4、D三计算题4解： )1sin(lm1xex )1cos(lim1xexe7解： 22, 0Fyy24（3 分）22 22 233420()()1()()()0()()dyxxdyxxyxdydxyxy（7 分）9解： （5 分）xy2cosin)(（其中 为任意常数） （71C分）10解：直线 与圆 的交点是 ， （2x42y)3,1(),(21P分）右面部分绕 轴旋转一周的所得几何体的
30、体积.y（5 分）321)4(dV （7 分）3)(03y四综合题： 1解： （3 分）0cosmxdn0 )cos()cos(21dxmnxn （10 分）n , ,22006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二） 试卷251、填空题1. 若 在 连续，则 。3sin41,0()axefxxa2. 曲线 在 处的切线方程为 。231tyt3. 设函数 ，则其导数为 。sin()x4. 。21coxd5. 设 ，则 。s(in)yydx6. 曲线 与直线 ， 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周，lx13xx所得旋转体体积为 。7. 微分方程 的通解为 。450y8. 若级数 收敛，则 的
31、取值范围是 。31n二选择题1 （ ） 。limarctxx(A) (B) (C) 1 (D) 不存在222. 当 时， 是比 的（ ）.0()sinfx2x（A） 高阶无穷小 （B）等价无穷小 （C）同阶无穷小 （D）低阶无穷小3. 级数 为（ ）.0cos1n绝对收敛 条件收敛 发散 无法判断()()B()C()D4.曲线 与直线 所围成的图形的面积为（ ）.2yxy()A3()344()3()15.广义积分 为（ ）.30(1)xd260 ()A1()B1()2C1()2D三计算题1. 计算极限 。02tanlimxd2计算函数 的导数 。1xyy3 计算由隐函数 确定的函数 的微分 。
32、lnyex()fxdy4. 判别正项级数 的敛散性。21l()n5. 计算不定积分 。()dx6. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间。203n7. 计算定积分 。2sixd8. 计算微分方程 满足初始条件 的特解。2(1)y(0)1y9. 计算函数 的二阶导数 。sin(l)x10. 将函数 展成 的幂级数并指出收敛区间.y1四综合题1.设 ，证明不等式 。0ab11(2,3)()nnba2设函数 ，求 在区间 上的最大值与最小值。20()()fxfxdfx0,3. 设 ， （ 为实数）1sin,(),fx试问 在什么范围时,（1） 在点 连续；()fx027（2） 在点 可导。()fx04若函数 ，求 。0()xxtfde()f2006 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二） 试卷（A）参考答案及评分标准一、填空题1. 若 在 连续，则3sin41,0()axefxx1 .a2. 曲线 在 处的切线方程为 .23xty 37yx3. 设函数 ，则其导数为 .sin(1)x sin2sin(21)col(1)xx4. 4 .2coxd
