1、.2017 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC ，是否存在 m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，
2、已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么BNC 的面积可表示为：S BNC =SMNC +SMNB=MN（OD +DB）= MNOB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 SBNC 、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则：a（0+1） （03）=3 ，a=1 ；抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x 2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为： y=
3、kx+b，则有：.，解得 ；故直线 BC 的解析式：y =x+3已知点 M 的横坐标为 m，MNy，则 M（m，m +3） 、N（m，m 2+2m+3） ；故 MN=m 2+2m+3（m +3）=m 2+3m（0m3） （3）如图；S BNC =SMNC +SMNB =MN（OD+DB ）=MNOB ，S BNC =（m 2+3m）3=（m） 2+ （0m3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 2如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）
4、若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M点的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题；转化思想分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可.（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3）MBC 的面积可由 SMBC =BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M解答：解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的
5、解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x 2x 2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ；OA=1，OC =2，OB=4，即：OC 2=OAOB，又：OCAB ，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB= OCA+ OCB=OBC+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC 的解析式为： y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x
6、2x2，即： x22x2b=0，且=0 ；44（2b）=0 ，即 b=4；直线 l：y=x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得： 即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2（2+3 ）+2324=4.平行四边形类3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM ，当线段 PM
7、最长时，求 ABM 的面积（3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到
8、PM 的长，即 PM=（t3）（t 22t 3）=t 2+3t，然后根据二次函数的最值得到.当 t= =时，PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM +SAPM 计算即可；（3）由 PMOB ，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t 22t 3）（t 3）=3 ；当 P 在第三象限：PM=OB=3，t 23t=3 ，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解：（1）把 A（3，0）B（0，
9、3）代入 y=x2+mx+n，得解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x22x3设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x3；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t3）（t 22t 3）= t 2+3t，当 t= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =，则 SABM =SBPM +SAPM = = （3）存在，理由如下：PMOB ，当 PM=OB 时，点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限：PM =
10、OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3当 P 在第一象限：PM =OB=3， （t 22t 3）（t3） =3，解得t1= ，t 2= （舍去） ，所以 P 点的横坐标是 ；当 P 在第三象限：PM =OB=3，t 23t =3，解得 t1= （舍去） ，t 2= ，所以 P点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 .4如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到ABO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P
11、，使四边形 PBAB 的面积是A BO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，B（0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPB O+SPOB ，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可；（3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出
12、答案即可.解答：解：（1）ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的，又 A（0，1） ，B（2，0） ，O （0，0） ，A （1，0） ，B（0，2） 方法一：设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c（a0） ，抛物线经过点 A、B、B， ，解得： ，满足条件的抛物线的解析式为 y=x 2+x+2方法二：A （1，0） ，B（0，2） ，B（2，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2）将 B（0，2）代入得出：2= a（0+1） （02） ，解得：a=1，故满足条件的抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2）=x 2+x+2；（2）P 为第一象限内抛物线上的一动
13、点，设 P（x ，y） ，则 x0，y0，P 点坐标满足 y=x 2+x+2连接 PB，PO ，PB，S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB ，=12+2x+2y，=x+（ x2+x+2）+1，=x 2+2x+3A O=1，B O=2，ABO 面积为：12=1，假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，则4=x 2+2x+3，即 x22x+1=0，解得：x 1=x2=1，此时 y=1 2+1+2=2，即 P（1，2） 存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 （3）四边形 PBAB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均
14、可.等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分）或用符号表示：B AB=PBA或A BP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB（10 分）5如图，抛物线 y=x22x +c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上（1）求抛物线顶点 A 的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧） ，试判断ABD的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论分析
15、：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 A 的横坐标，然后代入直线 l 的解析式中即可求出点 A 的坐标.（2）由 A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 B 的坐标则 AB、AD、BD 三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3）若以点 P、A、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分AB 为对角线、AD 为对角线两种情况讨论，即AD PB、AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 P 点的坐标解答：解：（1）顶点 A 的横坐标为 x= =1，且顶点 A 在 y=x5 上，当 x=1 时，y =15=4，A（1，4） （2）ABD 是直角三角形将
16、A（1，4）代入 y=x22x +c，可得，12+ c=4， c=3，y=x 22x3，B（0， 3）当 y=0 时，x 2 2x3=0 ，x 1=1，x 2=3C（1，0） ，D（3，0） ，BD2=OB2+OD2=18，AB 2=（43） 2+12=2，AD 2=（31） 2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD 是直角三角形（3）存在由题意知：直线 y=x5 交 y 轴于点 E（0，5） ，交 x 轴于点 F（5，0）OE= OF=5，又OB= OD=3OEF 与OBD 都是等腰直角三角形BDl，即 PABD则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图，过点
17、 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G设 P（x 1，x 15） ，则 G（1，x 15）则 PG=|1x 1|， AG=|5x 1 4|=|1x 1|PA=BD=3由勾股定理得：.（1x 1） 2+（1x 1） 2=18，x 122x 18=0 ，x 1=2 或 4P（2，7）或 P（4，1） ，存在点 P（2，7）或 P（4，1）使以点 A、B、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形周长类6如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0） 、 （0，4）
18、 ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；（4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ，过点 M 作BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN ，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S和 t
19、 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）根据抛物线 y= 经过点 B（0，4） ，以及顶点在直线 x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ，利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可（3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可；（4）利用 MNBD，得出 OMNOBD，进而得出 ，得到 ON= ，进而表示出PMN 的面积，利用二次函数最
20、值求出即可解答：解：（1）抛物线 y= 经过点 B（0，4）c=4，顶点在直线 x=上， = =，b= ；所求函数关系式为 ；（2）在 RtABO 中，OA=3，OB=4，AB= ，四边形 ABCD 是菱形，BC= CD=DA=AB=5，C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ，当 x=5 时，y= ，当 x=2 时，y= ，点 C 和点 D 都在所求抛物线上；.（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则 ，解得： ， ，当 x=时，y= ，P（ ） ，（4）MNBD，OMNOBD， 即 得 ON= ，设对称轴交 x
21、于点 F，则 （PF+OM） OF=（+t） ， ，SPNF =NFPF=（t）= ，S= （ ） ，= （0t4） ，a=0抛物线开口向下，S 存在最大值由 SPMN =t 2+ t=（t ） 2+ ，当 t= 时， S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0， ） 等腰三角形类7如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由考点：二
22、次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论分析：（1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP= OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P点解答：解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO =90，AOB=120，BOC=60，又OA=
23、 OB=4，OC =OB=4=2，BC= OBsin60=4 =2 ，点 B 的坐标为（2，2 ） ；（2）抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（22 ）代入，得.，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y ） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2 ，当 y=2 时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= = ，POD =60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三点在
24、同一直线上，y=2 不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（2，2 ）若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2 ） ，8在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（ 1，0） ，如图所示：抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B.（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点
25、B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）根据题意，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D；根据角的互余的关系，易得 B 到 x、y 轴的距离，即 B 的坐标；（2）根据抛物线过 B 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分 A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案解答：解：（1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO， （1 分）又BDC=COA=90，CB =AC，BC
26、DCAO， （2 分）BD= OC=1，CD=OA=2， （3 分）点 B 的坐标为（3，1） ；（4 分）（2）抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B（3，1） ，则得到 1=9a3a2， （5 分）解得 a=，所以抛物线的解析式为 y=x2+x2；（7 分）.（3）假设存在点 P，使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：若以点 C 为直角顶点；则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP 1， （8 分）过点 P1 作 P1Mx 轴，CP 1=BC，MCP 1=BCD ，P 1MC=BDC=90，MP 1C DBC （10 分）CM=CD =2，P
27、1M=BD=1，可求得点 P1（1，1） ；（11 分）若以点 A 为直角顶点；则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP 2， （12 分）过点 P2 作 P2Ny 轴，同理可证AP 2NCAO， （13 分）NP 2=OA=2， AN=OC=1，可求得点 P2（2，1） ， （14 分）经检验，点 P1（1，1）与点 P2（2，1）都在抛物线 y=x2+x2 上 （16 分）9在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示，抛物线 y=ax2ax2 经过点 B（1）求点 B 的坐标
28、；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题.分析：（1）首先过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，易证得BDCCOA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点 B 的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从以 AC 为直角 边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，若以 AC 为直角边，点
29、A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2 CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2Ny 轴，若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC，得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3Hy 轴，去分析则可求得答案解答：解：（1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，BCD+ACO=90，AC 0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB =AC，BDCCOA，BD= OC=1，CD=OA=2，点 B 的坐标为（3，1） ；（2）抛物线 y=ax2ax 2 过点 B（3，1） ，1=9a3a2
30、，解得：a=，抛物线的解析式为 y=x2x2；（3）假设存在点 P，使得ACP 是等腰直角三角形，若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，如图（1） ，CP 1=BC，MCP 1=BCD ，P 1MC=BDC=90，MP 1C DBC，CM=CD =2，P 1M=BD=1，P 1（1，1） ，经检验点 P1 在抛物线 y=x2x 2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，.得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2Ny 轴
31、，如图（ 2） ，同理可证AP 2NCAO，NP 2=OA=2， AN=OC=1，P 2（2，1） ，经检验 P2（2，1）也在抛物线 y=x2x2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC，得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3Hy 轴，如图（ 3） ，同理可证AP 3HCAO，HP 3=OA=2，AH= OC=1，P 3（2，3） ，经检验 P3（2，3）不在抛物线 y=x2x 2 上；故符合条件的点有 P1（1，1） ，P 2（2，1）两点综合类10如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5
32、，0） ，另一个交点为A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标.考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）设直线 BC 的解析式 为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即
33、可求出直线 BC 的解析式；同理，将 B（5，0） ，C （0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线 BC 的函 数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 MN 的最大值；（3）先求出ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形证明
34、EBD 为等腰直角三角形，则 BE= BD=6，求出 E 的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y= x1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐标解答：解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，得 ，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y=x+5；将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x26x+5；（2）设 M（x，x 26x +5） （1x5） ，则 N（x，x+5） ，.MN=（x+5）（x 26x+5）=x 2+5x=（x） 2+ ，当
35、 x=时，MN 有最大值 ；（3）MN 取得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5 ，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5，A（1，0） ，B（5，0） ，AB=51=4，ABN 的面积 S2=42.5=5，平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BCBD BC=5 ，BCBD=30，BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD 为等腰直角三角
36、形，BE= BD=6，B（5，0） ，E（1，0） ，设直线 PQ 的解析式为 y=x+t，将 E（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1直线 PQ 的解析式为 y=x1解方程组 ，得 ， ，点 P 的坐标为 P1（2，3） （与点 D 重合）或 P2（3，4） .11如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在x 轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P
37、是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；.（3）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度利用轴对称的性质、两点
38、之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即PCF 周长的最小值解答：解：（1）C（0，1） ，OD=OC，D 点坐标为（1，0） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得： ，解得：b=1，k=1，直线 CD 的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1= a（2） 2+3，解得 a= y= （x 2） 2+3= x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，
39、CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E 的坐标为（4，1） 如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M，则 M（2，1） ，ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD 为等腰直角三角形，ODC =OCD=45，QEC=QCE= ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度.（证明
40、如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接 FC，F P，PC由轴对称的性质可知，PCF 的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C 之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC ，即P CF的周长大于PCE 的周长 ）如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC 为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5） ；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（0，1） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC =4+1+1=6，在 RtCN
41、C中，由勾股定理得：CC = = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 12如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，设抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标（2）试判断BCD 的形状，并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得BCD 的三边的长，然后根据勾股定理的逆
42、定理即可作出判断；（3）分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c由抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3把点 A（1，0） 、点 B（3，0）代入，得 解得 a=1，b=2抛物线的解析式为 y=x 22x +3y=x 22x+3=（x+1 ） 2+4顶点 D 的坐标为（1，4 ） ；（2）BCD 是直角三角形理由如下：解法一：过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F在 RtBOC 中，OB=3，OC=3，BC
43、2=OB2+OC2=18在 RtCDF 中，DF=1，CF=OFOC=43=1 ，CD 2=DF2+CF2=2在 RtBDE 中，DE=4 ，BE =OBOE =31=2，BD 2=DE2+BE2=20BC 2+CD2=BD2BCD 为直角三角形.解法二：过点 D 作 DFy 轴于点 F在 RtBOC 中，OB=3，OC=3OB= OC OCB=45在 RtCDF 中，DF=1，CF =OFOC=43=1DF= CFDCF=45BCD=180DCFOCB=90BCD 为直角三角形（3）BCD 的三边， = =，又 =，故当 P 是原点 O 时，ACPDBC；当 AC 是直角边时，若 AC 与
44、CD 是对应边，设 P 的坐标是（ 0，a） ，则 PC=3a， =，即 = ，解得：a=9，则 P 的坐标是（0，9） ，三角形 ACP 不是直角三角形，则ACPCBD 不成立；当 AC 是直角边，若 AC 与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是（ 0，b） ，则 PC=3b，则= ，即 = ，解得：b= ，故 P 是（0，）时，则ACPCBD 一定成立；当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边，P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（d，0） 则 AP=1d，当 AC 与 CD 是对应边时， = ，即 = ，解得：d=1 3 ，此时，两个三角形不相似；当 P 在 x 轴上时， AC 是直
45、角边，P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（e，0） 则 AP=1e，当 AC 与 DC 是对应边时， = ，即 = ，解得：e=9，符合条件总之，符合条件的点 P 的坐标为： .对应练习13如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1 ，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大
46、面积及 E 点的坐标考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点 D；（3）根据直线 AC 的解析式 ，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ACE 的面积最大，然后求出此时与 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，点 C（4，3） ， ，解得
