1、考试时间：2018 年 10 月 31 日 8:00-10:002018 年秋季学期期中考试高三数学(理)试卷（考试时间 120 分钟 满分 150 分）命题人： 审题人：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第卷一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设集合 Ux |xb0)的左、右焦点，点 P(1， )在椭圆 E 上，且x2a2 y2b
2、2 32|PF1|PF 2|4 (1)求椭圆 E 的方程；(2)过 F1 的直线 l1，l 2 分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l 2，问是否存在常数 ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由1|AC| 1|BD|21 （本题满分 12 分）已知函数 f(x)sin x xcos x (x0) (1)求函数 f(x)在区间 0，2上的最大值；(2)若对任意 x(0，)，不等式 f(x)2)P( X89.4) .1100 4100 120(2)记事件 B 为“从样本中任取 2 辆车，这 2 辆车均需矫正速度 ”由题设可知样本容量为 100，又需矫正速度
3、的个数为 5 辆车，故所求概率为 P(B) .C25C2100 1495(3)需矫正速度的个数 服从二项分布，即 B ，(2，120)P(0)C 0 2 ，02(120)(1920) 361400P(1)C 1 1 ，12(120)(1920) 19200P(2)C 2 0 ，2(120)(1920) 1400因此 的分布列为 0 1 2P 361400 19200 1400数学期望 E()2 .120 11019(1)证明：如图 3，连接 AC 交 BD 于 O 点，连接 EO，四边形 ABCD 是菱形， AC ，E 为 PC 中点，OPA ，平面 ABCD， EO 平面 ABCD，E平面
4、BED，平面 BD平面 ABCD （6 分）（）解：四边形 ABCD 是菱形，AC，EO平面 ABCD， BD，如图 4，建立空间直角坐标系 Oxyz， （8 分）y 轴平面 BED，图 3平面 BED 的法向量为 (01)u， ， 设 F 为 AB 中点，连接 CF，菱形 ABCD 的边长为 2a，则 CAB， F 平面 PAB，平面 PAB 的法向量为 ，302Caur， ，cos|uFrg平面 PBA 与平面 EBD 所成二面角（锐角）的余弦值为 32 （12 分）20解 (1)|PF 1|PF 2|4，2a4，a2.椭圆 E： 1.x24 y2b2将 P(1， )代入可得 b23，32
5、椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)当 AC 的斜率为零或斜率不存在时， ；1|AC| 1|BD| 13 14 712当 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，AC 的方程为 yk(x 1)，代入椭圆方程 1，并化简得(34k 2)x28k 2x4k 2120.x24 y23设 A(x1，y 1)，C( x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .8k23 4k2 4k2 123 4k2|AC| |x1x 2|1 k2 .1 k2x1 x22 4x1x2121 k23 4k2直线 BD 的斜率为 ，1k图 4|BD | .121 1k23 4 1k2 121 k23k2 4 .1|A
6、C| 1|BD| 3 4k2121 k2 3k2 4121 k2 712综上，2 ，1|AC| 1|BD| 712 .724故存在常数 ，使得 ， ， 成等差数列724 1|AC| 1|BD|21解：(1)f ( x)xsin x ，00，h(0)0，g(x )0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0(不合题意) 当 3a1，即 a 时， h(x) 0，13h(x)在(0，)上单调递减，h(x)0，h()13a0g(x)0，g(x)在(0 ，x 0)上单调递增，存在 g(x)g(0)0(不符合题意)，综上，a 的取值范围为 .13， )22解 (1)C 的普通方程为(x1) 2y
7、21(0 y 1) 可得 C 的参数方程为Error!(t 为参数，0t). 4 分(2)设 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为 C 在点D 处的切线与 l 垂直，所以直线 CD 与 l 的斜率相同， tan t ，t . 8 分33故 D 的直角坐标为 ，(1 cos 3，sin 3)即 . 10 分(32，32)23解 (1)依题设，得| x1|3x2| ，所以(x 1)2(3x 2) 2，则 x 或 x ，14 32故原不等式的解集为Error!.4 分(2)因为 mn 1(m0，n0)，所以 (mn) 2 4，1m 1n (1m 1n) mn nm当且仅当 mn 时，等号成立12令 g(x)|xa|f(x )| xa| |3 x2|Error! 8 分则 x 时，g( x)取得最大值 a，23 23要使不等式恒成立，只需 g(x)max a4.23解得 a .103又 a0，因此 0a . 10 分103
