1、江苏省盐城中学高三年级 20112012 学年度上学期期中考试数学试题（第卷） （2011.11）一、填空题（本 大 题 共 14小 题 ,每 小 题 5分 ,计 70分 ）1已知全集 ，集合 ， ，则 _,2356U13A1,2BUAB2已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则 _.xy),(0yxy03已知直线 经过点 ，且与直线 垂直，则 的方程是_.l,1P20xl4在等比数列 中，若 ， ，则 =_.na98a55若变量 满足条件 ，则 的最大值为_,xy30xyzxy6当 时，函数 的值域为_.(0,)2sincos7已知 满足 ，且 则 . abcb,|1|2,a|b8数列 满足
2、 ， 是 的前 项和，则 _ n *1()2nNnSan201S9已知函数 的图像过点 ，则此函数的最小值是 _ ()fxx(3,7)A10当钝角 的三边 是三个连续整数时，则 外接圆的半径为_ ABC,abcBC11关于 的方程 在 上有且仅有一个实数解，则 的取值范围x3210x(,)a为_ 12如图，在 和 中， 是 的中点， ， ，若EFB2AEF3A，则 与 的夹角的余弦值等于 _7ABECC13已知 ，0abc且 ， 2 214()aacb则 14已知数列 的各项均为正整数，对于 ，有na,321n1 1527,nn nkkaa 为 奇 数为 偶 数 .其 中 为 使 为 奇 数
3、的 正 整 数，若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则 的值为_.*mNnp二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.）15 （本题满分 14 分）已知函数 （ ， ）的图像如图所示，直线 ，()2sin()fx0238x是其两条对称轴78（1 ）求函数 的解析式；()fx（2 ）若 ，且 ，求 的值6538()8f16 （本题满分 14 分）设函数 (kN *，aR) 2()cos(1)lnfxakx(1) 若 ， ，求函数 的最小值； 01kf(2) 若 是偶数，求函数 的单调区间f17 （本题满分 15 分）中， 、 、 所对的边为 、 、 已知 ，ABCabc(2cos,3in)
4、mA， (cos,2)n1mn（1 ）若 ， ，求 的面积 的大小；3acABCS（2 ）求 的值os(60)b18 （本题满分 15 分）某厂家拟在 2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件x与年促销费用 万元满足 （ 为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品的年0()m31kxm销售量是 1万件. 已知 2011年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产 1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用） （1）将 2011年该产品的利润 万元表示为年促销费用
5、 万元的函数；y（2）该厂家 2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19 （本题满分 16 分）已知函数 ， ，其中 ， 且 函数 在2()lnfxax()2gbxabR2()fx上是减函数，函数 在 上是增函数1,41,4（1 ）求函数 ， 的表达式；()fx（2 ）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围 ()mg,1xm（3 ）求函数 的最小值，并证明当 ， 时 ()2hxf*nN2()3fng20 （本题满分 16 分）设数列 、 满足 ， ， ， nab14a2512nab12nnab（1 ）证明： ， （ ） ；2n0n*N（2 ）设 ，求数列 的通项公式；3logn
6、nacnc（3 ）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，nSnbnTnabnP求证： 83nnSTP2江苏省盐城中学高三年级 20112012 学年度上学期期中考试数学附加题（第卷） （2011.11）一、选做题21.在 A、B、c、D 四小题中只能选做 2题，每小题 10分，共计 20分请在答题纸指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC 与O 相切于点 C，PCAC1.求O 的半径B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵 A ，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为
7、 1 ，属于特a bc d 1 1征值 24 的一个特征向量为 2 .求矩阵 A.32C选修4-4：坐标系与参数方程已知O 1和O 2的极坐标方程分别是 和 (a 是非零常数)2cos2sin(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为 ，求 a 的值5D选修45：不等式选讲设对于任意实数 ，不等式 m 恒成立x|7|1|x(1)求 m 的取值范围；(2)当 m 取最大值时，解关于 的不等式： |3|21x二、必答题：本大题共 2小题。每小题 10分，共 20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程22. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30
8、，BC1，AA 1 ，M 是6棱 CC1的中点(1) 求证：A 1BAM；准考证号 班级 姓名 密封线(2) 求直线 AM 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值23. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分(1) 设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E；(2) 求恰好得到 n(nN *)分的概率盐城中学高三年级 20112012 学年度上学期期中考试数学试题（第卷）答题纸一、填空题1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、9、 10、11、 12、13、 14、二、解答题15、16、17、 18、 座 位 号 19、20、准考证号 班级 姓
9、名 密封线B附加题部分数学答题纸（理）选第 题选第 题22、 23、江苏省盐城中学高三年级 2011/2012 学年度上学期期中考试数学试题（第卷） （2011.11）一、填空题（本 大 题 共 14小 题 ,每 小 题 5分 ,计 70分 ）1已知全集 ，集合 ， ，则 _,2356U13A1,2BUAB1,2462已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则 _.xy),(0yxy03已知直线 经过点 ，且与直线 垂直，则 的方程是_.l,1P20xl30xy4在等比数列 中，若 ， ，则 =_.na98a545若变量 满足条件 ，则 的最大值为_,xy30xyzxy46当 时，函数 的值域为
10、_.(0,)2sincos(1,27已知 满足 ，且 则 . abcb,|1|,a|b78数列 满足 ， 是 的前 项和，则 _ n *1()22nNnSan201S5029已知函数 的图像过点 ，则此函数的最小值是 _ ()fxx(3,7)A610当钝角 的三边 是三个连续整数时，则 外接圆的半径为_ ABC,abcBC81511关于 的方程 在 上有且仅有一个实数解，则 的取值范围x3210x(,)a为_ 507a或12如图，在 和 中， 是 的中点，ABCEFB 2ABEF， ，若 ，则 与 的夹角37AEFBC的余弦值等于 _ 113已知 ，且 ， 则 0abc2 214()aacba
11、bc214已知数列 的各项均为正整数，对于 ，有n ,3n1 1527,nn nkkaa 为 奇 数为 偶 数 .其 中 为 使 为 奇 数 的 正 整 数，若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则 的值为_.*mNnnanap19或二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.）15 （本题满分 14 分）已知函数 （ ， ）的图像如图所示，直线 ，()2si()fx0238x是其两条对称轴78（1 ）求函数 的解析式；()fx（2 ）若 ，且 ，求 的值6538()8f解：(1) 由题意， ， T .T2 78 38 2又 0，故 2， f( x)2sin(2x )(2 分)由 f( )2
12、sin( )2，解得 2k (kZ)38 34 4又 ， ， f(x)2sin(2x )(5 分)2 2 4 4由 2k 2x 2k (kZ)，知 k x k (kZ)，2 4 2 8 38 函数 f(x)的单调增区间为k ，k (kZ)(7 分)8 38(2) 解法 1：依题意得 2sin(2 ) ，即 sin(2 ) ，(8 分)4 65 4 35 ， 02 .8 38 4 2 cos(2 ) ，(10 分)4 1 sin22 4 1 352 45f( )2sin(2 ) 8 4 4 sin(2 ) sin(2 )cos cos(2 )sin ( ) ，4 4 4 4 4 4 2235 4
13、5 7210 f( ) .(14 分)8 725解法 2：依题意得 sin(2 ) ，得 sin2cos2 ，(9 分)4 35 325 ， 02 ，8 38 4 2 cos( ) ，(11 分)4 1 sin22 4 1 352 45由 cos(2 ) 得 sin2cos2 .4 45 425得 2sin2 ，725 f( ) .(14 分)8 725解法 3：由 sin(2 ) 得 sin2cos2 ，(9 分)4 35 325两边平方得 1sin4 ，sin4 ，1825 725 ， 4 ，8 38 2 32 cos4 ，(11 分)1 sin242425 sin 22 .又 2 ， s
14、in2 ，1 cos42 4950 4 34 7210 f( ) .(14 分)8 72516 （本题满分 14 分）设函数 (kN *，aR) 2()cos(1)lnfxakx(1) 若 ， ，求函数 的最小值； 01kf(2) 若 是偶数，求函数 的单调区间f解：（1）因为 ， ，所以 ， （ ） ，201ka2()lnfxx21()xf0由 得 ，且当 时， ， 在 上是增函数；当 时，()fxx()0f()f1,)x， 在 上是减函数故 （5 分）0()f,1minx（2 ）当 是偶数时， ， k2lfxa2()2axf所以当 时， ， 在 上是增函数；（9 分）0a()0f()f,当
15、 时，由 得 ，且当 时， ，当 时，xaxa()0fxa，所以 在 上是减函数， 在 上是增函数 （13 分）()fx()f,)()f,综上可得当 时， 的增区间为 ；0ax(0,当 时， 的减区间为 ，增区间为 （14 分）()f,)a(,)a17 （本题满分 15 分）中， 、 、 所对的边为 、 、 已知 ，ABCbc(2cos,3in)mA， (cos,2)nA1mn（1 ）若 ， ，求 的面积 的大小；3acABCS（2 ）求 的值os(60)b（1）由 可知， ， （4 分）2c3sinco1AAsin216A因为 ，所以 ,所以 ，即 （6 分）063由正弦定理可知： ，所以
16、，因为siniacAC1sin220,C所以 ，所以 （8 分）6C2B所以 （10 分）13ABS（2）原式 =0sinico6C0sin2i3co6BC0sin(12)sin3co6C= = （14 分）03sin2co6C0s3co62C218 （本题满分 15 分）某厂家拟在 2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件x与年促销费用 万元满足 （ 为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品的年0()m31kxm销售量是 1万件. 已知 2011年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产 1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年
17、平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用） （1）将 2011年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；y（2）该厂家 2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当 时， ， 即 ，0m1x3k2 ，每件产品的销售价格为 元.31x86.5x2009 年的利润 )168(5.1mxxy（8 分）m2348 )0(29)1(m（2） 时， .06()1 ，当且仅当 ，即 时， .（15 分）92y13maxy答：该厂家 2011年的促销费用投入 3万元时，厂家的利润最大，最大为 21万元.（16 分）19 （本题满分 1
18、6 分）已知函数 ， ，其中 ， 且 函数 在2()lnfxax()2gbxbR2()fx上是减函数，函数 在 上是增函数1,41,4（1 ）求函数 ， 的表达式；()fx（2 ）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围 ()mg,1xm（3 ）求函数 的最小值，并证明当 ， 时 ()2hxf*nN2()3fng解：（1） 对任意的 恒成立，所以 ，所以 ；20af,14xaxa同理可得 ；b,;b；（4 分）2ln,2fxxgx（2） ， ，且函数 在 上是减函数，函数 在 上(1)017()04()fx1,4()gx1,4是增函数所以 时， ， ， （6 分）,xfx0g()fxmg有条件
19、得 ， ；（8 分）2min()(1)ln1ffgx2（3） ，当 时，2()()hx ()1()xx0， 当 时， 当 时，(1)10x0,10,h(,)hx在 递减，在 递增 （12 分）h,(,)x当 时， ；2n27ln23ln423h，所以 ， 时 成立；（16 分）3*nN()fg20 （本题满分 16 分）设数列 、 满足 ， ， ， nab14a2512nab12nnab（1 ）证明： ， （ ） ；2n0n*N（2 ）设 ，求数列 的通项公式；3lognnacnc（3 ）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，nSnbnTnabnP求证： 83nn
20、STP2（1） ， 两式相乘得 ， 为常数列，1nab1nnab1nnabnab；（2 分）14nb；na1()2nna或0nb（若 ，则 ，从而可得 为常数列与 矛盾） ；（4 分）2n1nna1a（2 ） ，3lognnca211333322 2llloglognn nnn nnaaac c 又因为 ， 为等比数列， （8 分）1nc12nc（3 ）由 可以知道， ，2n1112223433nnna令 ，数列 的前 项和为 ，很显然只要证明 ，124ndndnD8nD23n因为 ，1243nd222 1431nnn nd n22nn 21244nnd所以 nD123()nd 21 1nd2
21、248182134343nnn 所以 （14 分）8nS又 ，故 ，4,2ab4,2nnP且 T所以 （16 分）833nT江苏省盐城中学高三年级 2011/2012 学年度上学期期中考试数学附加题（第卷） （2011.11）一、选做题21.B选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵 A ，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为 1 ，属于特a bc d 1 1征值 24 的一个特征向量为 2 .求矩阵 A.32解：由特征值、特征向量定义可知，A 1 11，即 1 ，得Error!(5 分)a bc d 1 1 1 1同理可得Error!解得 a2，b3，c2，d1.因此矩阵 A .(10 分
22、)2 32 1C选修4-4：坐标系与参数方程已知O 1和O 2的极坐标方程分别是 和 (a 是非零常数)2cos2sin(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为 ，求 a 的值5解：(1)由 2cos ，得 22 cos.所以O 1的直角坐标方程为 x2y 22x.即 (x 1)2y 21.(3 分)由 2asin，得 22asin.所以O 2的直角坐标方程为 x2y 22ay，即 x 2(ya) 2a 2.(6 分)(2)O 1与O 2的圆心之间的距离为 ，解得 a2.(10 分)12 a2 5二、必答题：本大题共 2小题。每小题 10分，共 20分解答时应写出文
23、字说明、证明过程或演算过程22. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA 1 ，M 是6棱 CC1的中点(1) 求证：A 1BAM；(2) 求直线 AM 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值解：(1)因为 C1C平面 ABC，BC AC，所以分别以 CA，CB，CC 1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则 B(0,1,0) ，A 1( ，0， )，A( ，0,0)，M .3 6 3 (0，0，62)所以 ( ，1， )，A1B 3 6 ，AM ( 3，0，62)所以 3030.所以 .A1B AM A1B AM 所以 A1BAM
24、.(5 分)(2)由(1)知 ( ，1,0) ， (0,0 ， )，AB 3 AA1 6设面 AA1B1B 的法向量为 n(x，y，z)，则 Error!不妨取 n( ，3,0) 3设直线 AM 与平面 AA1B1B 所成角为 .所以 sin|cos ，n | .AM |AM n|AM |n| 66所以直线 AM 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为 .(10 分)6623. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分(1) 设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E；(2) 求恰好得到 n(nN *)分的概率解：(1) 所抛 5 次得分 的概
25、率为 P(i)C 5(i5,6,7,8,9,10)，i 55 (12)其分布列如下： 5 6 7 8 9 10P 132 532 516 516 532 132E C 5 (分)(5 分)10i 5i i 55 (12) 152(2) 令 pn表示恰好得到 n 分的概率不出现 n 分的唯一情况是得到 n1 分以后再掷出一次反面因为“不出现 n 分”的概率是 1p n， “恰好得到 n1 分”的概率是 pn1 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 1p n pn1 ，(7 分)12 12即 pn .23 12(pn 1 23)于是 是以 p1 为首项，以 为公比的等比数列pn 23 23 12 23 16 12所以 pn n1 ，即 pn .23 16( 12) 132 ( 12)n答：恰好得到 n 分的概率是 .(10 分)132 ( 12)n座 位 号
