1、1EACBDEACBDEACBDEACBDEACBDEACBD初三上学期数学重点期末复习讲义(徐璟璐)重点内容：2.4 圆周角2.5 直线与圆的位置关系5.1-5.5 二次函数6.4 探索三角形相似的条件6.5 相似三角形的性质7.5 解直角三角形2.4 圆周角重点难点：1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。 2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
2、90（直角）。90（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径。2.5 直线与圆的位置关系重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系； 利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题； 2难点:借助数形结合,利用圆的几何性质, 将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差判断直线与圆的位置关系有两种方法： 几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为 d，圆半径为 r，若直线与圆相离，则 dr；若直线与圆相切，则 r=d ；若直线与圆相交，则rd 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若判定式小于零
3、，则直线与圆相离；若判定式等于零，则直线与圆相切；若判定式大于零，则直线与圆相交。5.1-5.5 二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫2yaxbca，0a做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为bc，零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc，abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。32. 的性质：2y
4、axc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。4. 的性质：2yaxhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 00向下 0，轴y时， 随 的增大而减小； 时，0xyx0x随 的增大而增大； 时， 有最大y值 0的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c0向下 0c，轴y时， 随 的增大而减小； 时，0xyx0x随 的增大而增大； 时， 有最大y值 c的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上
5、0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 00向下 0h，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 04三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yaxhk，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，
6、负下移 ”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 k5（或 ）mcbxay2 mcbxay2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成2 cbxay2（或 ）cxbxay)()( xbxay)()(2四、二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc从解析式上看， 与 是两种不同
7、的表达形式，后者通过22x配方可以得到前者，即 ，其中 224bacyax 242bacbhk，五、二次函数 图象的画法2c五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确2yaxbc2()yaxhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点0，0，、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc， x1x2x对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.y六、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为
8、 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当2bxayxyx时， 有最小值 24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当0a 2bxa24bac，6时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，2bxayx2bxayx2bxa有最大值 y24c七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12yax0a1x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，
9、但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越0a大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越aa大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决aa定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当
10、 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；b02ay7当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0b02ay当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即0a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；b02ay当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧b02ay总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，abax2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与
11、 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；c 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为0yxy负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达81. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；2xhk 2hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2axbcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；2yhk 2hk3. 关于原点对称关
12、于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；2hk 2hk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 2hk 2hk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数：9 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的240bacx
13、120AxB， ， ， 12()x是一元二次方程 的两根这两点间的距离12x， 20bca. 2214aAB 当 时，图象与 轴只有一个交点； 0x 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二
14、次函数中2yaxbcabc， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；abc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母2(0)axbc的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的x0a内在联系：106.4 探索三角形相似的条件一、相似三角形的判定：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL相似三角形的判定两边对应成比例且夹角相等
15、三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例注意： “两边对应成比例且夹角相等 ”中的 “夹角 ”不是任意的角，而是成比例的两条线段所构成的夹角。二、相似三角形的传递性如果ABC A1B1C1，A 1B1C1A 2B2C2，那么ABC A 2B2C20抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.116.5 相似三角形的性质对应角相等，对应边成比例；对应高、对应角平分线、对应中线、对应周长之比等于相似比，面积比
16、等于相似比平方。7.5 解直角三角形一、锐角三角函数1锐角三角函数定义在直角三角形 ABC 中，C=90 0，设 BC=a，CA=b，AB=c ，锐角 A 的四个三角函数是：(1) 正弦定义：在直角三角形中 ABC，锐角 A 的对边与斜边的比叫做角 A 的正弦，记作 sinA，即sin A = , ca（2 ）余弦的定义：在直角三角行 ABC，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦，记作 cosA，即cos A = ,cb（3 ）正切的定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切，记作 tanA，即tan A = ，ba这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1 ）锐角A 必须在直角三角形中，且C=90 0； 12（2 ）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系：（1 ）平方关系： sin2A + cos2A = 1；4、互为余角的两个三角函数关系若A+B= 90，则 sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函数： 00 300 450 600sin 0 2123cos 1 31tan 0 1 3
