1、数学教育案例精选,程向阳,案例1：这个孩子究竟错在哪里？,题曰：小强有9朵红花，小红有15朵，问小强再有多少朵花才能和小红的一样多？ 生答：6朵，列式是9+6=15（朵）。 师判：错。（扣6分，得94分，全班倒数第三） 讨论：这个孩子究竟错在哪里？ 分析：第一，无论数学关系还是最后结果都是正确的； 第二，他的算式表达式与我们惯用的表达形式不一样。过去把这种形式的应用题定位为减法应用题，已知条件放在左边，必须用减法计算。,（续）,第三，这个孩子不但对，而且还有很好的代数思想。因为他很清楚9+（）=15，到中高年级学简易方程时，这十分合理。 反思：这样规定是否合适？ 面对这样的事实，我们成人不能不
2、思考是不是我们自己错了。 再看一个对照的例子（2002年纽约时报上登载美国一个小学四年级课堂的数学题）,案例2：共有240人，每人需要一瓶饮料，饮料每箱12瓶，一共要买多少箱？,我国这样的题目是规定为除法应用题，还要求学生说出“道理”：看240箱里面有多少个12，其算式是24012=20（箱）。 美国课堂上，学生有6、7中算法，有用除法的；用加法的“12+12+”（这在我们看来是一种笨方法，他们却认为也是很好的办法）；用减法的“240-12-12 ”；还有用乘法的；用列表的方法；统计的方法，等。可以用各种各样的办法解决同一道题。,案例2：共有240人，每人需要一瓶饮料，饮料每箱12瓶，一共要买
3、多少箱？,我们关注的是所有的人用同样的方法解更多的题（收敛思维） 他们关注的则是面对同一个问题情景，鼓励不同的学生采取不同的解决问题的策略（发散思维） 究竟哪种做法更好，或是两者各有利弊？ 需要我们对这样的问题多加思考！ 摘自：刘兼数学课程设计高等教育出版社，2003,案例3：怎样数一丛花的朵数？,教师给学生们示范怎样数一丛花的朵数，然后让学生数课本上画的一丛花。接着，问他们数出多少朵，怎样数的？ 生1： “ 10朵。我是把相同颜色的花放在一起数，这里有四种颜色。” 生2：“是10朵。我是从左到右，又从上到下数的。” 生3：“10朵。我像是走迷宫那样数的。” 这是一年级第二周上的一课。面对一些
4、刚从幼儿园上来的小朋友，回答包含着未来思想的胚芽“活生生”创造性思维策略的胚芽,讨论：,生1不满足于老师示范的按原有地理位置的做法，而转了一个角度，把花重新抽象地分类。分类思维在数学上是重要的。在直角坐标系上，按照函数自变量的地理位置去分割求和去极限时，就是黎曼积分；而当我们转向分类思维，把函数值进行分割时，就得到另一种积分勒贝格积分,讨论：（续）,生2直觉地感到仅仅由左到右地数，不能确定花的位置，因而他用了两个规则：由左到右，又由上到下。这正是描述平面上点的位置需要有两个独立坐标意识的萌芽。安知当年笛卡儿发明直角坐标系时，是不是经历了这样的思考？！ 生3的回答虽不那么有数学特点，但是很富有想
5、象力，很有语文特点。,案例4：鸡兔同笼问题解决策略,笼子里有若干只鸡和兔，共有头3个，腿8条，问共有几只鸡，几只兔？ 处理这个问题一般可以用解二元一次方程组的方法。 用算术的方法，过去长要求学生想象“如果笼里都是鸡”或“假设兔子提起两条腿”等问题，看起来有些“莫名其妙”，题目有些偏，许多人建议小学不应要求。 可以换个角度，将重点不要放在具体的解上，而是放在解决问题策略的学习上。,角度比距离更重要,学生完全可以通过列表，运用猜测和检验等策略来解决它 培养学生的数感和估计的能力，使学生经历建立假设、检验假设、判断假设的过程,案例5:小课题(Project) 长作业,在一个游戏中，参与者被要求向一个
6、类似国际象棋棋盘的方格盘中掷硬币。如果硬币接触到某一方格的边界，游戏者就输了；如硬币滚出棋盘，游戏重新开始；如果硬币完全落在某个方格的内部，则游戏者获胜。问:获胜的几率有多大？ （郑毓信，等。数学思维与数学方法论。上海教育出版社，2001，P451-453）,问题的特点与解,这是一个真实意义的问题(学生熟悉的); 解决着个问题需要综合应用数学知识方法，包括概率、几何、解析几何，等; 有多种不同解法,包括实验和计算机模拟; 还可引出很多有趣的问题和有益的方法. 特殊化方法，即设硬币半径为r=3，方格边长s=10的情况，(10-2x3)2/10 2 =4/25,如图所示,硬币半径为r，方格边长为s
7、,r=3,赢,输,赢区,输区,获胜的几率=（ s-2r)2/s2,赢区,引申问题：,若使得游戏是“公平的”（即输赢几率都是1/2），问所用硬币的半径应是多少？（可解方程（ s-2r)2/s2=1/2，s=10，则r=1.46） 假设方格盘上的格子交替涂成红色和白色，而只有落入红色格子内才算胜，求获胜几率？ 若棋盘是正六边形？若硬币半径为10呢？正方形边长与钱币半径之间有怎样的关系？,小课题研究成为一个重要趋势,首先要有好的问题（探究余地,思考空间） 小课题学习是一种研究性学习(方法过程） 学生自主学习，教师起引导作用（经历） 对小课题评价主要不是看结果，而是注重过程（体验与感受） 小课题的内容
8、要结合身边的事物（情景） 小课题的学习过程是有趣的（挑战性的）,案例6：“映射”的力量,中国象棋盘上的马，从角上出发跳了9999步，问：能回到出发点吗？ 要是具体地试验这9999步的各种跳法，100年也不够。 巧妙的数学方法是：把棋盘上的交叉点交替地染成黑色和白色，马走日字，单数步变色，双数步不变色。 把点染成黑和白色，即设计了一个从格子点集到两元素黑，白的映射。,案例7：“符号”的作用,例 设有11只茶杯，杯口全部朝上。若将其中4只杯子翻转过来，称为一次运动。问是否可经过有限次运动，使得茶杯的杯口全部朝下？ 分析 最关键的事情是“杯口向上”与“杯口向下”两种状态，用数学符号表示就是两种相反的
9、状态，自然会想到“+1”和“-1”最为合适。这样，每次运动就是将其中4个数改变符号，即用“-1”分别去乘4个数。原问题由此变成：能否经过有限次运动将11个“+1”全部变成“-1”。,解：,考虑11个数的乘积： 由于每次运动相当于将4个数都乘以-1，而(-1)4=+1，故不论经过多少次运动，11个数的乘积将保持不变，从而不能把11个+1边为11个-1，也就是不能使11只杯子变为全部口朝下。符号在数学应用中的作用，可见一斑。,案例8：数学关联,美国数学课程标准中“关联”的标准 学前期至12年级的数学教育应该使所有的学生都能够： 认识到并应用数学观念间的相互联系； 理解数学观念是如何相互关联和相互依
10、赖而成一个连贯的整体； 认识到并能应用数学于数学以外的情境中。,（一）认识到并应用 数学观念间的相互联系,数学是相互关联的观念，应渗透到各年级水平的数学学习中 保持多种情境中的综合学习 充分利用数学联系，把从一种情境解决问题获得的知识应用到解答另一情境中的问题 有些数学问题在表明数学中的联系时特别有效,例1：利用联系，迁移情境,小学：把整数的减法知识与小数或分数的减法联系起来 初中：能认识到并将同一数学概念的多种表征(representation)联系起来。如表示变化率的比率和直线斜率间的关系。 高中：应能将代数和几何中的观念联系起来,例2：表明联系的数学问题,通过收集和考察圆形物的周长和直径
11、，能够定量地研究圆的直径和周长间关系 初中学生可能会收集和用图表示有关周长(C)和直径(d)两个变量的数据 他们会发现所有的点都很接近一条过(0,0)的直线，这表明C/d的比值是个常数 这样的问题涉及到了测量、数据分析、几何、代数和数方面的知识,（二）理解数学观念是如何相互关联和相互依赖而成一个连贯的整体,当学生不断地接受学校数学教育，他们看待表面上不同的同一数学结构的能力也相应提高。例如： 学前儿童至2年级学生会认出数数、数和图形中的相同结构的例子； 小学生能找出算术运算中相同结构的例子 初中生能发现有理数、比例和线性关系间相同结构的例子 高中生应有充分的准备发现他们遇到的许多数学观念间的联
12、系,例3：计算正棱台体积和梯形面积的方法之间的联系,小面积=ax/2 x 大面积=b(x+h)/2 a 梯形面积=小面积-大面积 h=bx/2+bh/2-ax/2 b 根据相似性x/x+h=a/b，即 bx=a(x+h) 故，梯形的面积= a(x+h) /2+bh/2-ax/2 =h(a+b)/2,（三）认识到并能应用数学于数学以外的情境中,912年级学生的数学关联是怎样的？ 案例：Robinson教数学探究性数学 进一步地拓广学习三角形和圆的性质（直角三角形的动态表示） 最后一个要求：和实际生活或其他数学内容联系蜡烛的实验,912年级数学关联是怎样的？,应该逐渐培养联系各种数学思想的能力，加
13、深理解为什么不同的解题方法会得到等价的结果，尽管那些方法似乎很不一样 学生可以用从一种情况下得到的理解来证明或否定在另一种情况下产生的假设，并通过联系各种数学思想，发展自己对问题的扎实理解,案例7：Robinson教数学探究性数学,Robinson老师“我有一条忠实的狗和一个形状为直角三角形的院子。我想把狗栓住，皮带要越短越好，但要让狗到达院子的任何角落。请想一下，我应该把皮带固定在哪里？” 把学生分成3人一组，允许他们使用平时的所有工具，包括圆规、直尺、计算器以及带几何软件的计算机，要求想出一个办法来解决问题 很快学生 们进入了问题，并进行画图、讨论和实验,学生的探究过程,我们在找把哪个点放
14、在哪里？ 我不想把那个点放在太靠近三角形角上。 我找到了！我们得让所有的长度相等！ 于是，定出目标，即找到D的位置，使得DA、DB和DC等长 小组讨论后的出结论：D必须是斜边中点 还有人认为：D就像是一个圆的圆心。,当学生们渐渐趋向于同一想法时，老师在黑板写下了一个假设：直角三角形斜边中点与三角形三个顶点等距 老师要求学生再分成小组讨论证明或给出一个反例 老师强调了可能有好几种不同的方法可以证明那个假设。,学生的探究证明,建立坐标系 想起了勾股定理A、B、C在一圆上 得出基于圆内接三角 形性质的第二个证明,学生的探究证明（续）,作出包括直角三角形 三个顶点的矩形 讨论矩形对角线的性质利用几何变
15、换的解法 对称、相似、反射、全等,教师的总结,表扬了学生们高质量的工作和各种解法 指出像全等这样一些基本的数学思想，始终是此题各种解法中的一部分 而关于勾股定理的议论则突出了此题和其他数学思想的联系 引导学生反思，他们看到了不同的方法坐标几何、欧氏几何和变换几何，是怎样联系在一起的 这些“数学工具箱”的任何一件都可能成为解决日后某个问题的关键,进一步地拓广学习三角形和圆的性质,此题目可以引导出很多有意义的探索 （1）在已知斜边的情况下，考察一下所有他们能找到的直角三角形的集合 （2）固定直角的位置，看一下斜边为定长的直角三角形的集合 直角三角形的动态表示 (a)共用一条斜边的直角三角形的直角顶
16、点的轨迹 (b)斜边为定长，共用一个直角的三角形的斜边中点的轨迹,最后一个要求：能否和实际生活或其他数学内容联系起来,学生在“剪贴壁报”上介绍他们所看到的联系（交流） 绝大部分壁报描述了与原题类似的情形，其中由于某种需要而必须找出一个直角三角形三个顶点等距的点 而有一个小组设计一个蜡烛的实验：在大楼里某个漆黑天窗的房间里演示 在地上铺下一张画着一个直角三角形的大白纸，并在各个顶点上放置三根高度一样的蜡烛将其点燃，然后再在三角形中放置一个比蜡烛低的物体，移动那个物体，让大家观察它的三个影子的长度 大家看到，仅当那物体移动到斜边中点时，三个影长才相等这是非常有趣的现象,教与学的反思,对三角形讨论结
17、束，但远非工作的结束 教师重述了原题，并要大家考虑如何引申 他告诉学生们：“毕竟不是所有后院都有直角或者是三角形形状的。” 这句话确定了抽象和推广的任务，促使学生去找到更多的联系,教师的角色,选题是十分重要的，因为学生一般不会学到怎样联系，除非他们正在解一些可能提示他们进行联系的题目 由于课程设置把几何、代数和概率统计这些领域分割开来，因此教师要特别积极地寻找这类综合性的问题 在教室里营造一个鼓励学生解决问题探索数学的气氛 以一个可以一题多解的问题开始，鼓励学生探究各种途径。不是简单地把不正确判为错误，予以放弃，而是帮助学生从他们所说的话里找出合理的内核。 当就所给问题尽了一切所能的时候，仍要
18、鼓励学生推广所得到的结论,结语,内涵丰富的题目 一个提倡思考的环境 以及使用各种数学工具的便利条件 都是帮助学生发展把数学看成一个联结的整体这一能力的重要因素,案例9:一堂小学3年级的算法课,活动：让6名学生站在大家面前，教师提问，用什么方法确定他们之间谁最高？ 讨论：分组讨论，酝酿解决问题的办法 交流：学生发表看法。如，站成一排比一比；用尺子量每个人的身高。 激发：教师发表看法，有6,60,600,6000个? 深入交流：师生，生生互动，寻求解决问题的有效算法淘汰矮者，最后者最高。 编程序：编写找出最大数的程序，指导上机。,案例10：三扇门问题,游戏问题： 有三扇门,其中有一扇门后有一部汽车
19、,随意挑选一扇门.主持人将未选的两扇门中一个无车的门打开,此时再给你一次选择机会,问你换不换原来的选择？ （美国检阅杂志一专栏的题目） 该问题有多种解法：如，主观直觉臆断；多次模拟试验；计算概率大小；统计分析推断，等,（1）主观直觉臆断,对这一问题的回答进行过广泛调查，包括大、中、小学生，数学教师。 大多数人认为，只要主持人打开一扇空门，剩下两扇门有车的机会家就是一样的，它们都是1/2，因此不必要重新选择，可以维持原来的选择判断。,（2）多次模拟试验,对问题简化的理解,主持人在第一次选定前还是之后打开空门的意义是不一样的. 如果主持人先打开空门，则剩下两扇门有奖的概率各为1/2。但是如果选中一
20、扇门再打开一扇空门，则剩下的一扇门有奖的概率会增加。 模拟试验：如有100扇门，1000扇，10000扇门 情况会怎样呢？,（3）直接概率计算,设事件A0：第一次选择中奖；A：重新选择中奖；B：坚持原选择中奖，则P(A0)=1/3, P(-A0)=2/3.由全概公式P(A)= P(A0)x0+ P(-A0)x1=1/3*0+2/3*1=2/3P(B)= P(A0)x1+ P(-A0)x0=1/3*1+2/3*0=1/3故有 P(A) P(B) 因此,主持人打开一扇空门后,重选的机会大。,（4）统计分析推断,设1,2,3表示三扇门，v-有车，x-无车。 假定做3n次试验，每次都随机地将车放在某一
21、门后，当n充分大时，下面三种情况出现的频率基本相同：,（续）,试验各约n次。 随机挑选一扇门，例如1号门，如果是第一种情况，主持人任意打开2 ,3号门之一，你不换可猜中车约n次；如果是第二种情况，主持人必打开3号门，于是你换选可猜中车约n次；如果是第三种情况，主持人必打开2号门，你换选又可猜中车约n次。 在所有3n次中不换猜中车的概率为1/3，换猜中车的概率位2/3，要想有较大机会选中，应换。,案例11:为什么不能除以0？,学过微积分的人可能会这样回答：能除以0其结果将是无穷大，但是无穷大的数实际上并不存在，所以不能除以0。 这种说法把除以0的原因与无限接近0混为一谈，以至答非所问。真正的原因
22、是： 弄清楚除法的定义：满足方程bx=a的数（或解）x是a除以b的商，记作ab=x。,首先用不是0的数除以0试试,看看10吧：设答案（商）为x，根据除法定义，x 得满足0x=1.可是0乘以任何数都等于0，可见不存在满足方程的x。就是说10在数学上无意义。 那么00呢：根据除法定义，考察方程0x=0。无论x 取什么值，方程都成立。方程0x=1没有数学意义，而方程0x=0虽有数学意义，但只执此端不足成理。否则的话， 00可以等于任何数，整个数学体系岂不全乱套。因此，00无意义。,案例12:如何评价？,案例13:微软招考员工的一道面试题,一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病
23、狗。假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病, 只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；4、狗只能由他的主人开枪打死。如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？（ 不是“脑筋急转弯”！）,提高数学素养,数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学生的数学素养。,“数学素养”的通俗说法 把所学的数学知识都排除或忘
24、掉后，剩下的东西：,从数学角度看问题的出发点； 有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、 准确地表达； 在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力； 对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。,“数学素养”的专业说法 摘自数学学科专业发展战略研究报告 教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”,主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养； 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养； 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养； 善于对现实世界中的现象和过程进
25、行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。,案例14:有限与无限的问题,设“有无限个房间”的旅馆(希尔伯特)1) 客满后又来1位客人（“客满”的涵义）1234k 2 3 4 5 k+1 空出了1号房间,3) 客满后又来了一万个旅游团，每个 团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间,4) 思考：客满后又来了无穷个 旅游团，每个团中都有无穷个客人， 还能否安排？,案例15:变换的方法,小王先快后慢，以不规则的速度用100秒沿直线从A点走到B点，又先慢后快，以完全相反的方式，从B点沿直线用100秒返回A点。问什
26、么情况下，在A、B间存在一点C，使小王从A走到C的时间等于他从B走到C的时间？为什么？ACB,（答：什么情况下都存在C点。） “先快后慢”“先慢后快”“完全相反的方式返回”、“问什么情况下”都是故意迷惑人的。只要把小王换成替身大王就能解决问题，让他们分别从A、B同时出发，只要100秒时到达终点，无论中间怎么个快慢，甚至停一小会儿，总有一个相遇点，此点就是C。此题发展下去就是更深刻的“不动点定理”。 ,案例16:为何不是1/2+1/3=2/5？,为了变成同一大小，只要分割就OK + 1/3,3/6,+2/6,=,5/6,b/a+d/c=bc/ac+ad/ac=(bc+ad)/ac,可以有这种算法
27、1/2+2/3=3/5吗？,按照分数运算法则这是结果错的,可有人认为这是个“美好”的错误.其合理性在哪? 例：甲、乙两次比赛结果分别是 1:2; 2:3如何描述两次比赛的结果呢？ 显然1/2+2/3=7/6，是不尽合理的。而 1/2+2/3=（1+2）/（2+3）=3/5比较有意义。,案例17:负数x负数为何是正数?,理由从分配率中得来 因为a个0是0，即a0=0，那么，可以这样表示，取a= -2 另一方面，假设0=3-3 a 0=0 (-1) (3-3)=(-2) 3+(-2) (-3)a取-2; 0取(3-3) 由分配率 因为这个式子的值是0(-2) 3+(-2) (-3)=0 (-2)
28、(-3)=6= - 6 移项到右边在直观上，因为负数和正数是相反的，所以可以理解为负数乘负数就是相反的反面返回原来的正数。,案例18:概念的认同,袋中有6个球（5白，1红），问拿出一个是什么球？ 小学低年级学生说是白的；中年级学生说可能是红的；高年级学生说拿白的可能性大一些。 小学低年级对概念只是有认同；高年级有初步的概念；初中可以是逻辑；高中可以是形式。,案例19:谁教你这样算的？,例:10公斤麦谷可以打8.5公斤面粉，问10吨麦谷可以出多少面粉？（这是一个很简单的问题） 可直接解1吨=1000公斤,10吨=10000公斤即得8500公斤(或8.5吨)面粉。 某生解得：10公斤麦谷有1.5公
29、斤谷糠;10吨麦谷有1.5吨麦糠即1500公斤谷糠，又10吨=10000公斤，10000-1500=8500公斤. 教师课堂评点：谁教你这样做的，绕这么大一个圈子干什么？,案例20:一堂小数小数公开课,合肥长江路小学 年青女教师精彩的授课，学生默契的配合浑然一体，学生掌握、练习得都很好，眼看一堂优质公开课诞生了，按惯例在下课前3-4分钟时，向学生问：还有没有问题？有一学生举手，问：“过去学过的乘法（正整数）都是积大于因数，为什么今天小数x小数的积小于因数？”,5,老师回答：任何数 1/2（几分之一）都比原数小。 又有一生问:可不可以直接用小数小数? 女教师没有回答，说留到下一节课再说，便匆匆下
30、课。 课后，女教师大哭一场，认为最后两个学生的问题，破坏了整个课堂教学效果。,专家点评,什么数 任何因数=原因数？ 1任何数=任何数，而任何纯小数1都小于1，所以，任何纯小数任何因数都比原因数小。 对于后一个问题，举一实例演算一下即可，结果是一样的（ex:0.25 0.3=0.075） 整个课堂前大部分非常成功，精彩，最后两个同学的问题，更是把课推向一个高潮。提问的学生都是很优秀的，能提出问题，说明他们真正地参与了课堂教学，有深刻地思考，这也正是本节课最出色的地方。,案例21：数学思维的整体方法,整体方法聪明人的方法 例1 不小心把麦子和豆子混合在一起了，要把它们重新分开，怎么分？ 一般有两个
31、方案： （1）拣豆子； （2）筛麦子。 两种方法差别在哪里？ 拣（个体处理方法），筛（整体处理方法）,例2,甲乙二人从相距20千米的两地出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时。一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后立即掉头来迎乙直到两人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时，在这一奔跑过程中，小狗的总行程多远？,对本题处理可有几种方案：,一是逐段计算小狗奔跑的路程.如:第一次遇到乙时，小狗所走路程13x20/(13+4)千米，再求所有路程的和即得。 二是逐段计算小狗奔跑的时间.如:第一次遇到乙时,小狗奔跑时间为20/(13+4)小时,求奔跑时间的总和
32、,再乘以小狗速度即得. 三是，注意到小狗来回奔跑的时间总和,恰等于甲乙二人出发到相遇所需的时间(这一发现很重要!因为小狗是不停地奔跑的),故小狗奔跑的总时间为20/(6+4)=2小时,再乘以小狗速度即得.,比较三种方案可知：,如果我们的思路被小狗牵着鼻子走，沿着它的奔跑路线，去计算逐段路程或时间（即第一、二方案），将要进行大量计算，且涉及无穷递缩等比数列求和的运算，过程比较繁复。 而第三种方案，以整体思路，全局观念，却显得机巧、简捷，一目了然。,例3（一道数学竞赛题）,正方体的棱长为11，将这个正方体分割成113个单位立方体，从空中的某一点望去，最多能看到多少个单位正方体？ 解法一：最多可以看到原正方体的三个面，而每个面中有112个单位正方体；但3x 112个单位正方体中，三条棱上的立方体作了重复计算，应减去3x11个，但三棱交会处的立方体应计算一次，故有3x112-3x11+1=331（个）.,解法二：设想所看到的三个面上的单位正方体全部移开，那么，剩下的就是藏在后面的、棱长为10正方体，它共有103个单位正方体，从总数113中减去103个,即为所求. 即 113-103=1331-1000=331（个）上述两种方法，或简或繁，思想方法的差异是它们的本质。思考角度的易位，使得解法简化。,谢谢大家，欢迎交流！E-mail:,
