1、第 1 页/共 27 页姓名 学生姓名 填写时间 2013-12-29学科 数学 年级 高二 教材版本 人教版阶段 第（ 1 ）周 观察期： 维护期：课题名称 圆锥曲线解题方法技巧总结 课时计划第（ ）课时共（ ）课时 上课时间 2014-1-3大纲教学目标 圆锥曲线知识点及题型回顾整理教学目标 个性化教学目标 培养学生分析能力和逻辑思维能力教学重点 圆锥曲线知识点的综合应用教学难点 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法教学过程名 称 椭圆 双曲线图 象定 义平面内到两定点 的距离的和为常数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆 即当 2 2 时，轨迹是 当 2 2 ，轨迹是 当 2 2 时，轨迹 平面内到
2、两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线 即当 2 2 时，轨迹是 当 2 2 时，轨迹是 当 2 2 时，轨迹 标准方 程焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 注：根据 判断焦点在哪一坐标轴上焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 注：根据 来判断焦点在哪一坐标轴上常数的关 系 ， ，最大，最大，可以第一部分：知识梳理第 2 页/共 27 页渐近线 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 共焦点方程抛物线图形方程焦点准线1.圆锥曲线的两个定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常12数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线
3、段 F F ，当常数2a2a21F2112小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且1F a此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 |F F |不可忽视。若12 a12|F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F |，则轨迹不存在。2a12若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 表示的曲线是_ _（答：双曲线的左2(6)(6)8xyxy第二部分：题型方法技巧总结第 3 页/共 27 页支）如已知点 及抛物线 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答)0,2(Q42xy2）2.圆锥曲线的标准方
4、程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） ，焦点在 轴上时x12bya0ay1（ ） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，2bxay0a2ABC且 A，B ，C 同号， AB ） 。如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_（答：123kyxk） ； (3,)(,)2（2）若 ，且 ，则 的最大值是 _， 的最小值是Ryx62yxyx2yx_（答： ）5,（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（x2byay2bxa） 。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异0,ab2AByC号
5、） 。如设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点O1F2 2e，则 C 的方程为_ （答： ）)10,4(P6xy（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向2(0)yp2(0)ypx上时 ，开口向下时 。2()xpyxy如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 453.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：第 4 页/共 27 页（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 1m（答： ）)2
6、3,(1,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；xy（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的12位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问,ab题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大，a22bcc。2c4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦12byax0a,axby点：两个焦点 ；对称性
7、：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶(,0)c,0xy点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离(,)abab2axc心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。ce01ee如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是 （答：3 或 ）52myx510em325；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 （答： ）2（2）双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或 ；21xyab0,abxa,yR焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，两(,)c0,xy个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长
8、为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称(,0)第 5 页/共 27 页为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率：2,0xyk2axc，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；cea1e2ee两条渐近线： 。byxa如 （1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于_（答：03yx或 ） ； 32（2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4 或 ） ； 21axby5:ab1（3）设双曲线 （a0,b0）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角2 2（锐角或直角） 的取值范围是_（答： ） ；,3（4） 已知 F1、F 2 为双曲线 的左焦点,顶点为
9、 A1、A 2, 是双曲线上2109xyP任意一点,则分别以线段 PF1、A 1A2 为直径的两圆一定（ ）A相交 B相切 C相离 D以上情况均有可能（3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点2(0)ypx0,xyR，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对(,0)2p 0y称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物线2pxcea。1e如设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ） ；Ra,024ay)16,0(5、点 和椭圆 （ ）的关系：0(,)Pxy12bx0（1）点 在椭圆外 ；0(,)20ya（2）点 在椭圆上 1；0(,)P
10、xy20bx第 6 页/共 27 页（3）点 在椭圆内0(,)Pxy201xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，0故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，0但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交0且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_ _（答：(- ,-1)
11、） ； 35（2）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是215xym_（答：1，5）（5 ，+ ） ） ； （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、 B 两点，若AB4，则这12yx样的直线有_条（答：3） ；（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛000物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
12、（2）过双曲线 1 外2byax一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不0(,)Pxy含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是第 7 页/共 27 页与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线
13、有_（答：)4,2(xy822） ； （2）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ 1692x_（答： ） ； 45,3（3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若 4，则满12yxl 足条件的直线 有_条（答：3） ； l（4）对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，xy42 024xy),(0yM若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是),(0yxMl)(0_（答：相离） ； （5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的x42F长分别是 、 ，则 _（答：1） ； pq
14、1（6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支9162yxFlm和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为_( 填大于、小于或等RQP,QR于) （答：等于） ； （7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ） ；2842yx 01623yx813（8）直线 与双曲线 交于 、 两点。当 为何值时， 、1a2ABaA分别在双曲线的两支上？当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： B； ） ；3,7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，第 8 页/共 27 页转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F
15、 所对应的准线的距离。red如（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距1625yx离为_（答： ） ；3（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线xy82y的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为_（答：MM） ；7,(24)（4）点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P1925yx的横坐标为_（答： ） ；（5）抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的xy2 y距离为_（答：2） ；（6）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭
16、圆上有一点 M，使1342)1,(P之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；FMP2 )1,362(8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线20tan|Sbcy0|bPmaxS。 2t如 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于532e1F21A、B 两点，则 的周长为_（答：6） ；2ABF（2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F 1、F 2 是左右焦点，若)0(22ayx，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ） ；01F 4xy（3）椭圆 的焦点为 F1、F 2，点
17、 P 为椭圆上的动点，当 0)上异于原点的两点， ，点 C 坐标为0OAB（0，2p） （1）求证：A,B,C 三点共线； （2）若 （ ）且 试求点 M 的轨迹方程。AMBR0OB（1）证明：设 ，由 得221(,)(,)xpA，又221120,4xp2211(,),(,)xxCpABp， ，即 A,B,C 三点共线。21 1()(0xp /（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 及 （ ）知0OMMROMAB，垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y 0)。15.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、
18、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标2为_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 ，因而易发现，当 A、P、FPH三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当B、Q、 R 三点共线时，距离和最小。 解：（1） （2， ） （2） （ ）1,4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内1
19、342yx一定点，P 为椭圆上一动点。第 16 页/共 27 页（1） 的最小值为 PFA（2） 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问题。FP解：（1）4- 5设另一焦点为 ，则 (-1,0)连 A ,PFF542)(2 FAaPaPAP当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 （2）3 作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e= ，21 PFHF2,1即 AP当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142Axca作业 见附页测试卷一份！本节课教学计划完成情况：照常完成 提前完成 延后完成 学生的接受程度：完全能接受 部分能接受 不能接受 学生的课堂表现：很积极 比较积极 一般 不积极 学生上次的作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 课后记备注班主任签字 家长或学生签字 教研主任审批
