1、1二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca何0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数0bc何2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc何 bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性2yaxc质：上加下减。3. 的2yaxh性质：左加右减。4. 2yaxhk的性质：的符号 开口方
2、向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ca向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h何X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0a向下 何X=h时， 随 的
3、增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质2三、 二次函数 图象的平 移1. 平 移步骤：方 法一： 将 抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk何 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kO；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+b
4、x+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个
5、交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 ， 两点 ，交)0,(1A),(2xB)(21xy 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=3O，x 1ACO9例 7、 “已知函数
6、的图象经过点 A（c，2） ， cbxy21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二
7、次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxy21解得,321,2bc.2,3cb所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.2312xy（2）在解析式中令 y=0，得 ，解得0.53,21xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是),5).0,53(令 x=3 代入解析式，得
8、 ,25y所以抛物线 的顶点坐标为312x),253(所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。),(函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思
9、维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？10【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式为152,0kby=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x
10、-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高
11、是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B11分类试题二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .y=x 24x+1； y=2x 2； y=2x 2+4x； y=3x；y=2x1； y=mx 2+nx+p； y =错误！未定义书签。 ； y=5x。F (4)2、在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s=5t2+2t，则 t4 秒时，该物体所经过的路程为 。3、若函数 y=(m2
12、+2m7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。4、若函数 y=(m2)x m 2 +5x+1 是关于 的二次函数，则 m 的值为 。6、已知函数 y=(m1)x m2 +1+5x3 是二次函数，求 m 的值。二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式 y=a(xh) 2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c 则最值为4ac-b24a1抛物线 y=2x2+4x+m2m 经过坐标原点，则 m 的值为 。2抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3） ，则 b ，c .3抛物线 yx 23x 的顶点在( )A.第一象限 B.第二象
13、限 C.第三象限 D.第四象限4若抛物线 yax 26x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. B. C. D.015145若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax 2bxc( )A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴6已知抛物线 yx 2(m1)x 的顶点的横坐标是 2，则 m 的值是_ .147抛物线 y=x2+2x3 的对称轴是 。8若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1，则 m 。9当 n_，m_时，函数 y(mn)x n(mn)x 的图象是抛物
14、线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.10已知二次函数 y=x22ax+2a+3，当 a= 时，该函数 y 的最小值为 0.11已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m _ 。12已知二次函数 y=x24x+m3 的最小值为 3，则 m 。函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是 。2抛物线 y=2x212x+25 的开口方向是 ，顶点坐标是 。3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x2，且与 y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：12（1）y= x22x+1 ；
15、 （2）y=3x 2+8x2； （3）y= x2+x412 145把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x23x+5，试求b、c 的值。6把抛物线 y=2x 2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。7某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？函数 y=
16、a(xh) 2的图象与性质1填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标23xy12已知函数 y=2x2,y=2(x4) 2，和 y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y=2x2得到抛物线 y=2(x4) 2和 y=2(x+1)2？3试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。234试说明函数 y= (x3) 2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值） 。125二次函数 y=
17、a(xh) 2的图象如图：已知 a= ，OAOC，试求该抛物线的解析式。12二次函数的增减性1.二次函数 y=3x26x+5 ，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )6二次函数 yax 2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b 24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.在同一坐
18、标系中，函数 y= ax2+c 与 y= (a 0 时，y 随 x 的增大而增大，则二次函数 ykx 2+2kx 的图象大致为图中的（ kx）A B C D 10.已知抛物线 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论： a，b 同号； 当 x1 和 x3 时，函数值相同； 4ab0; 当 y2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D411.已知二次函数 yax 2bxc 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线 yaxbc 不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二次函数与 x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1
19、. 如果二次函数 yx 24xc 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c （写一个即可）2. 二次函数 yx 2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线 y3x 22x1 的图象与 x 轴交点的个数是( )A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示，二次函数 yx 24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 C， 则ABC 的面积为( )A.6 B.4 C.3 D.15. 已知抛物线 y5x 2(m1)xm 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则 m 的值为( )4925A.2 B.12 C.
20、24 D.486. 若二次函数 y(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是 7. 已知抛物线 yx 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1已知二次函数的图象经过 A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。152已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解
21、析式。二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(xh) 2+k 求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xx 1)(xx 2)。5二次函数的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。6已知 x1 时，函数有最大值 5，且图形经过点（0，3） ，则该二次函数的解析式 。7抛物线 y=2x2+b
22、x+c 与 x 轴交于（2，0） 、 （3，0） ，则该二次函数的解析式 。8若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，3） ，且与 y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。9抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（1,0） 、 （3,0） ，则 b ，c .10若抛物线与 x 轴交于(2，0)、 （3，0） ，与 y 轴交于(0，4)，则该二次函数的解析式 。11根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式（1）当 x=3 时，y 最小值 =1，且图象过（0，7）（2）图象过点（0，2） （1，2）且对称轴为直线 x=32（3）图象经过（0，1） （1，0）
23、（3，0）（4）当 x=1 时，y=0; x=0 时,y= 2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）11当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1= 3，x 2=1 时，且与 y 轴交点为（0，2） ，求这个二次函数的解析式1612已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于(2，0)、 （4，0） ，顶点到 x 轴的距离为 3，求函数的解析式。13知二次函数图象顶点坐标（3，）且图象过点（2， ） ，求二次函数解析式及图象与 y 轴的交点坐标。12 11214已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0)， (1,0)与 y 轴交点是(0,1)
24、求解析式及顶点坐标。15若二次函数 y=ax2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线 x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？1216y= x 2+2(k1)x+2k k2，它的图象经过原点，求解析式 与 x 轴交点 O、A 及顶点 C 组成的OAC 面积。17抛物线 y= (k22)x 2+m4kx 的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线 y= x+2 上，求函数解析式。12二次函数应用(一）经济策略性1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价
25、格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件）是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均
26、每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。（1）设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X 的函数关系式。（2）如果放养 X 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元，写出 Q 关于 X 的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用） ，最大利润是多少？173.某商场批单价为 25 元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双 30 元的价格销售时，每天能卖出 60 双；按每双 32 元的价格销售时，每天能卖出 52 双，假定每天售出鞋的数量 Y（双）是销售单位 X 的一次函数。(1)求 Y 与 X 之间的函数关系式；(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润 W（元）与销售单价 X 之间的函数关系式；(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？
