1、1分式知识点总结和题型归纳第一部分 分式的运算（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义:一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，A 为分子，BB 为分母。【例 1】下列代数式中： ，是分式的有： .yxbayx1,21, 2题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为 0（ ） B分式无意义：分母为 0（ ）【例 1】当 有何值时，下列分式有意义x（1） （2） （3） （4） （5）4x12x3|6xx1题型三：考查分式的值为 0 的条件分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ ）BA【例 1】当 取何值时，下列分式的值为 0. x（1） （
2、2） （3）34|x 6532x【例 2】当 为何值时，下列分式的值为零：x（1） （2）4|1|5562x题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 或 ）0BA2分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）0BA【例 1】 （1）当 为何值时，分式 为正；xx84（2）当 为何值时，分式 为负；x2)1(35x（3）当 为何值时，分式 为非负数.x32x【例 2】解下列不等式（1） （2）02|x 035x题型五：考查分式的值为 1，-1 的条件分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）【例 1】若 的值为 1，-1
3、，则 x 的取值分别为 2|x思维拓展练习题：1、若 ab0, 2a b6ab=0,则ab2、一组按规律排列的分式：258134,a （ab 0） ，则第 n 个分式为33、已知 210x，求21x的值。4、已知2450,xy求分式yx的值。（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质： MBA2分式的变号法则： baba题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1） （2）yx432ba04.3题型二：分数的系数变号【例 1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）yxbaba题型三：化简求值题【
4、例 1】已知： ，求 的值.51yxyx23【例 2】已知： ，求 的值.21x21x4【例 3】若 ，求 的值.0)32(|1| xyx yx241【例 4】已知： ，求 的值.31baab2【例 5】若 ，求 的值.0162baba532【例 6】如果 ，试化简 .21xx2| x|1思维拓展练习题1、对于任何非零实数 a,b,定义运算“*”如下：a*b,求 2*1+3*2+10*9 的值2、已知0,34xyz求代数式2xyz的值（3）分式的运算 分式的乘除法法则：乘法分式式子表示为： dbca除法分式式子表示为： 5 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： nba 分式的加减法则
5、： cba异分母分式加减法：式子表示为： bdca整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。题型一：通分1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【例 1】将下列各式分别通分.（1） ； （2） ；cbac25,32 ab2,（3） ； （4）2,21,2xxx a21,题型二：约分分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对
6、分子分母进行因式分解，再约分。【例 2】约分：（1） ； （2） ； （3） .3206xynm2 62x题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1） ； （2） ；4232)()abccba 223)()()( xyxya6（3） ； （4） ；mnnm22 12a（5） ； （6）87432111xxx；)5()()(（7） )12()4(2xx题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知： ，求分子 的值；1x )12()4(82xxx（2）已知： ，求 的值；432zyx223zyx（3）已知： ，试求 的值.0132a)1(2aa题型五：求待定字母的值【例 5】若 ，试求 的值
7、.1132xNMx,思维拓展练习题：1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤15，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？72、若非零实数 a,b 满足22104ab，则ba3、若27xy，求22357xy的值4、已知 abc=1,求 11abcbca的值5、已知 a,b,c 为实数，且11,345abca，求abc的值第二部分 分式方程分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原
8、方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（1） ；（2） ；（3） ；（4）x301x12xx4538题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（1） ； （2）4x 56910867xx提示：（1）换元法，设 ； （2）裂项法， .yx17【例 3】解下列方程组)3(412)(1xzyx题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 的分式方程 有增根，求 的值.x312xm【例 5】若分式方程 的解是正数，求 的取值范围.12xaa题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 的方程x
9、)0(dcbax题型五：列分式方程解应用题1、某服装厂准备加工 400 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？92、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4 月份的营业额为 2000 元，为扩大销售量，5 月份该商店对这种纪念品打 6 折销售，结果销售量增加 20 件，营业额增加 700 元。（1） 求该种纪念 4 月份的销售价格？（2） 若 4 月份销售这种纪念品获得 800 元，5 月份销售这种纪念品获利多少元？3、河边两地相距 50km,船在静水中的速度是 m(km/h)，水流速度是 n(km/h).(1)船从河边两地
10、往返一次需要多长时间？（2）当 m=30,n=10 时，求船往返一次需要的时间？4、 “丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a（m）的正方形减去一个边长为 1m 的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收 2 号”小麦的试验田是边长为（a-1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500kg（1）哪种小麦的单位面积产量高?(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思维拓展练习题：1、已知1ab，求ab的值。（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘
11、法例 1解方程： 231x10二、化归法例 2解方程： 012x三、左边通分法例 3：解方程： 871x四、分子对等法例 4解方程： )(1baxba五、观察比较法例 5解方程： 417254x六、分离常数法例 6解方程： 87329821xx七、分组通分法例 7解方程： 于 的分式方程 无解，试求 的值.413512xx ax12a(三）分式方程求待定字母值的方法11题型一：关于无解的情况例 1若分式方程 无解，求 的值。xmx21题型二：关于不会有增根的情况例 2若关于 的方程 不会产生增根，求 的值。x112xkx k题型三：关于有增根的情况例 3若关于 分式方程 有增根，求 的值。x4321xkx k例 4若关于 的方程 有增根 ，求 的值。x15122xkx1xk
